三 验算点法
为使设计模式符合客观实际，拉克维茨、菲斯莱等人提出当量正态变
量概念，把极限状态函数推广到多个变量的非线性的情况，建立了验
算点法，这种设计模式对任何分布类型都适用
1 两个相互独立的正态分布变量R和S
极限状态方程为： Z R S 0 Rˆ R
R=S极极限限状状态态线线
对R和S作标准化变换
(1)β的几何意义
标准正态化坐标系中, β就是原点o’到极限状态直线的最
短距离o’P*，其中cosθS、cosθR为o’P*对各坐标向量的方向 余弦。
(2)设计验算点
在标准正态化坐标系中，结构的极限状态直线上距离原点最近的点 P*称为结构的设计验算点
P* (Sˆ*, Rˆ * )
Sˆ* coss
R Rˆ S Sˆ R S 0

2 R


2 S

2 R


2 S

2 R


2 S
Rˆ R
0' S

P*
极限状态线
Sˆ
cosR
R

2 R

2 S
cosS
S

2 R

2 S
cosR Rˆ cosS Sˆ 0
极限状态直线的 标准法线式方程
极限状态曲面
Xˆ
* n
P*
θn
θ1
θ2
Xˆ
* 1
Xˆ
* 2
Xˆ 2
Xˆ 1
可证明在原坐标系中P*的坐标为
X
* i

i
cosi

i
①
cosi
g X i
i
p*
②
1


n
( g
i1 X i
2
i )2
p*

g
(
X
* 1
,
X
* 2
，X
* n
)

0
③
设计验算点应为极限状态曲面上与结构最大可能失效概率相对应的 点，也即结构极限状态方程中各基本随机变量在设计验算点处取值 时结构失效概率最大。此点为对结构最不利的各随机变量的取值点 故称之为结构设计验算点
允许值为止
3 多个非正态分布随机变量
需在设计验算点xi＊处将非正态分布随机变量转换成相当的正态分布随 机变量（当量正态化处理）
根据设计验算点xi＊处当
f(Q)
量正态化条件
FX '(x*) FX (x*)
f X '(x*) f X (x*)
得当量正态变量Ｘi’的特征值
0 Ｘ* μ ’X μ X
Xi* i cosi i ①
cosi
g X i
i
p*
1
②


n
(
g
i1 X i
2
i )2
p*

g
(
X
*1,
X
* 2
，X
* n
)

0
③
由于P*点未知，用式① ② ③不能直接求出β，需采用迭代法结合式
① ② ③确定结构设计验算点坐标和计算β
(1) 假设一组Xi＊值，通常取Xi＊＝μi ห้องสมุดไป่ตู้2) 求cosθi (3) 由Xi*=σiβcosθi+μi，求X1*，X2*，…，Xn* (4) 代入g(X1*，X2*，…，Xn*)=0求β (5) 重复(2) - (4)求β,与前一轮值比较，直至两轮β值的差小于
3计算方向余弦 4 求S* 、R*
cosR
R'
0.9347

2 R'


2 S'
cosS
S'
0.3555

2 R'


2 S'
R* R R cosR 133.5 18.8249 S* S S cosS 54.517 2.7231
知识回顾
一 结构可靠度的基本概念
1 结构的功能要求
◆安全性：结构能承受正常施工、正常使用条件下可能出现的各种作 用而不产生破坏；在偶然事件发生时以及发生后，仍能保 持必需的整体稳定性，而不至于因局部损坏而产生连续破坏
◆适用性：结构在正常使用时具有良好工作性能、满足正常使用的要求 ◆耐久性：结构在正常使用和正常维护条件下，在规定的使用期限内有
5求β
Z R*S* 21.548 78.983 0
3.6654
6 求S* R*
R* 133.5 18.8249 64.498kN S* 54.517 2.7231 64.498kN
重复2-6,计算见表8-4
β=3.3005
Z=R-S
Z=R-S>0 结构处于可靠状态
Z=R-S=0 结构处于极限状态 极限状态方程 f (Z)
Z=R-S<0 结构处于失效状态
βσZ
3 结构的可靠度 degree of reliability
σz
结构的可靠性：结的构能力在规定的时间内，P在f 规定的条件下，完成预定功能
结构的可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下z ，完成预定功Z 能 的概率，以可靠概率Ps表示
PS P(Z 0) 1- Pf fx (X1X2 Xn )dX1X2 Xn
4 结构的可靠指标
Ps(Pf)一般要通过多维积分得到、难以求解，为此引入可靠指标β来度
量结构的可靠程度 Z 1 Z Z
β值与Pf值也一一对应， β值越大则Pf值越小，结构可靠度越高
极限状态功能函数中含多个相互独立的随即变量，均符合正态分布
Z=g(X1,X2,….,Xn)＝0
对Xi作标准化变换
Xˆ i Xi i i
Xi i Xˆ i i
Z g(1Xˆ1 1,， nXˆ n n ) 0
Xˆ n
在n维空间中表示一个失 效曲面，推导可知： 在标准正态坐标系中原点 Ô到曲面的最短距离ÔP*就 是结构可靠指标β
Rˆ R R
S

S

S
0'
Sˆ
R
S
以 Rˆ 和 Sˆ 表述的极限状态
S
Z R Rˆ S Sˆ R S 0
用

2 R

2 S
除上式得
R Rˆ S Sˆ R S 0

2 R


2 S

2 R


2 S

2 R


2 S
解：１假设验算点坐标： S*= μS=60kN
２将R、S当量正态化
R R*[1 ln
R ] 133.5kN
1


2 R
R R*
ln(1

2 R
)

20.14kN
R*= μR=135kN
S 7.953
1.28255
S 0.57722 55.41
Rˆ * cosR
Rˆ
R Sˆ *
0' S
Rˆ *
P*
极限状态线
Sˆ
在原坐标系中，验算点的坐标
S* S S cosS R* R R cosR
且点P*在极限状态直线上， S*、R*满足极限状态方程
Z R* S* 0
2 多个正态分布随机变量
足够的耐久性，不因材料的老化、腐蚀、开裂等而影响结构 的使用寿命，完好使用到设计使用年限
2 结构功能函数
设Xi(i=1,2,…,n)表示影响结构某一功能的基本变量，则与此功能对应 的结构功能函数可表示为
Z=g(X1,X2,….,Xn) 考虑结构功能仅与作用效应Ｓ、结构抗力Ｒ两个基本变量有关的简单情况
FS
(
S
*
)

exp{

exp[

S
*


]}

0.5703
fS
(S*)

1

exp(

S*


)
exp{
exp[

S*


]}

0.0403
S

{1[FS (S*)]}
fS (S*)

0.3087 0.0403

7.66kN
S S * 1[FS (S *)] S 54.517 kN
Ｘ
Xi '

xi*

1[F Xi
(xi*)] Xi
Xi ' {1[FXi (xi*)]}/ fXi (xi*)
式中 —标准正态分布概率密度函数
在验算点处，当量前后 分布函数值相等； 当量前后概率密度函数 值相等
求出μXi’、σXi’后根据验算点法可计算β值
例8-2 例8-1钢拉杆R服从对数正态分布， S服从极值Ⅰ型分布 按验算点法计算拉杆可靠指标β