重要极限2 lim (1 1)x e. x x
证 因为对任何实数x 1，都有[x] x [x] 1，所以
(1 1 )[x] (1 1)x (1 1 )[x]1
[x] 1
x
[x]
当x 时，[x]和[x] 1都以整数变量趋于 ,从而
lim (1
x
1 )[x] [x] 1
lim
下面我们来证明limcos x 1. x0
因为
0 ≤ 1 cos x 2sin2 x 2sin x sin x ≤ 21 x x,
2
22
2
且 lim x 0, 所以由定理6推得 lim(1 cos x) 0，
x0
x0
可知lim cos x 1, 又因为lim1 1, 所以再次
x0
5.极限的运算法则
(1) lim( f ( x) g(x)) lim f ( x) lim g(x)
(2) lim[ f (x) g(x)] limf (x) limg(x)
(3)
若
limg(x) 0，lim
f (x) g(x)
limf (x) . limg(x)
(4) lim[cf ( x)] c lim f ( x)
x
－0.1 0.99833
－0.01 0.99998
－0.001 …. 0.9999998
lim sin x 1 x0 x
证明
证
sin x
lim
1.
x x0＋
即 sin x x tan x
各式同除以sin x (因为sin x 0),得 1 x 1 , sin x cos x
即 cos x sin x 1. x
(1
1
x
)
2.868
2.732
x
-1000 -10000
2.720 2.7183
-100000 …
2.71828
lim(1 1 ) x e
x
x
lim(1 1 )x e (1 )
x
x
令t 1,
lim(1
1 )x
lim(1
1
t)t
e
x x
x
t0
1
lim(1 t)t e (1 )
t 0
1
例 2 求 lim sin 5x x0 x
解： lim sin 5x lim 5sin 5x 5lim sin 5x
x0 x
x0 5x
x0 5x
令 5x t, 当 x 0 时,有 t 0
所以 ,原式 5lim sin t t0 t
51 5
注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：
推广：
lim sin 5x 5lim sin 5x 51 5
从而有
cosx sinx 1.
(8)
x
注意 cos x 1 2sin 2 x 1 2( x)2 1 x2 ,
2
2
由上式与(8)式得 1 x2 sin x 1. 2x
因为 lim(1 x2 ) 1, lim1 1,
x0
2
x0
由夹逼准则，可得
lim sin x 1. x0 x
x
(1
1 )[x]1(1 [x] 1
[
1 x]
) 1
1
e 1 e.
又
lim (1
x
1 )[ x]1 [x]
lim
x
(1
1 )[x] (1 [x]
[1x])
e 1 e.
由夹逼准则知 lim (1 1)x e.
x
x
下面证 lim (1 1)x e.
x0
x0 sin 3x
33
4、 lim sin x _____0_____.
x 2x
1
5、 lim(1 x) x ____e_____.
x0
6、
lim (1 x )2x x x
__lixm____1__1x_
x
2
e2
1
7、
lim (1
x
1)x x
____e_____.
思考题
计算
lim
x
(5) lim[ f ( x)]k [lim f ( x)]k
❖第一个重要极限 lim sin x ?
x0 x
X
1
0.5
sin x
0.84147 0.95885
x
0.1 0.99833
0.01 0.99998
0.001 …. 0.9999998
X －1 －0.5
sin x
0.84147 0.95885
x0 x
x0 5x
设 为某过程中的无穷小量 ,
lim sin 1 某过程
练习1. 求下列极限:
（1） lim sin 3x x0 x
解：lim sin 3x lim 3sin 3x 3lim sin 3x 31 3x0ຫໍສະໝຸດ xx0 3xx0 3x
（2） lim sin 5x x0 3x
解：lim sin 5x lim(sin 5x)(5) 1 5 5
则sin x =BD，tan x=AC，
SOAB S扇形OAB SOAC , 当0 x π时，
2
1 sin x 1 x 1 tan x,
2
22
即 sin x x tan x.
而当 π x 0时, 有0 x π ,从而有
2
2
sin(x) x tan(x),
即 sin x x tan x. 即当 0 | x | π时，有 | sin x || x || tan x | .
所以
lim1
2
xx
2
lim(1 u) u
x0
u0
1
lim[(1 u)u ]2 u0
1
[lim(1 u)u ]2 u0
e2
方法二 掌握熟练后可不设新变量
2
1
lim 1 x x lim[(1 x) x ]2
x0
x0
[lim(1
1
x) x
]2
x0
e2
例3 lim( x 1)3x x x
x
x
解 因为
1
x
1 2
1
1
1
x
2
，
且
lim
1 1 x
e，
x x
x x
所以，有
lim
x
1 1 2
lim
1
1
1
x
2
x x x x
1
lim1
1
x 2
1
e2 .
x x
例2
计
算
lim1
2
xx
.
x0
解 方法一 令 u = -x， 因为 x 0 时 u 0，
x0 3x x0 5x 3
33
使用 lim sin x 1 时须注意 : x0 x
(1)类型：
0型 0
sin
(2)推广形式:
lim
某过程
1
（ lim 0 ） 某过程
(3)等价形式： lim x 1 x0 sin x
例3
求
lim
x1
sin(x 1) x2 1
解
lim
x1
sin(x 1) x2 1
lim
x1
sin(x 1) (x 1)(x 1)
sin(x 1) lim[ x1 x 1
1] x 1
lim sin(x 1) lim x1 x 1 x1
1 x 1
1 1 1 11 2
例 4 求 lim x sin 1
x
x
解
lim x sin 1
x
x
sin 1
lim x
x 1
1
x
思考题
lim sin x lim 1 sin x
练习8. lim x sin x ___1___
x x
练习9. lim x sin x __0____
x0
x
❖第二个重要极限 lim (1 1 )x ?
x
x
X 10 100 1000 10000 100000 …
(1
1
x
)
2.594
2.705
2.717 2.718
2.71827
x
X -10 -100
1
20 lim (1 ) e. 某过程
练习题
1、 lim sin x
x0 x
lim sin x x0 x
2、 lim sin 2x lim sin 2x lim sin 2x 3x 2 x0 sin 3x x0 sin 3x x0 2x sin 3x 3
3、 lim x cot3x lim 3x cos3x 1 1
推广 为某过程中的无穷小量 , lim (1 ) e 某过程
使用 lim(1 1)x e 须注意 :
x
x
(1)类型:
1 型
1
(2)推广形式: lim (1 ) e 某过程
（ lim 0 ） 某过程
1
(3)等价形式：lim(1 t)t e t 0
x
例 1 计 算 lim1 1 2 .
§1-4
极限 lim sin x x0 x
极限 lim (1
x
1 x
)x
❖预备知识
1.有关三角函数的知识
tan x sin x cos x
sin0 0 cos0=1 | sin x |1 | cos x | 1
2.有关对数函数的知识
ln x loge x