解： α=0,
P2(x)=2x2－3
特征方程 r2+1=0, 得 r1,2=i
所以设 y*=Ax2+Bx+C
代入方程得 Ax2+Bx+(2A+C)=2x23
比较得 A=2, B=0, 2A+C= 3
有 A=2, B=0, C= 7
y* 2x2 7
例3. 求方程y－2y＋y=ex 的一个特解.
代入方程(2)得 A B 1
10
y2
*
1 10
(c
os
x
s
in
x)
y* y1 * y2 * 2xe2x 1 (cosx sin x)
y
~y
y*
C1e 2 x
10
C2e3x
2 xe 2 x
1 10
(cosx
sin
x)
谢谢观看！ 2020
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例8. 求解方程y 5y 6y 2e2x sin x
解： (1) 先求y：
特征方程 r2–5r＋6＝0
得 r1=2, r2=3 ~y C1e 2x C2e3x (2) 再求y*：
f (x) 2e2x sin x.
有 y 5y 6 y 2e2x
(1)
y 5y 6y sin x. (2)
解：特征方程 r 2 10r 25 0,
(r 5)2 0
得 r1=r2=5 y e5x (C1 C2 x)
例3.求解方程y''2y'5y 0 解：r 2 2r 5 0
得 r1,2 1 2i
y ex (C1 cos 2x C2 sin 2x)
例4. 求解方程 y(4)+5y'''+9y''+7y'+2y=0 解：特征方程 r4+5r3+9r2+7r+2=0
2k 项 e x[(C1 C2 x Ck xk1) cos x
(D1 D2 x Dk xk1) sin x]
例1. 求解方程y"–2y'–3y=0 解：特征方程 r2–2r –3=0,
(r+1)(r –3)=0 得特征根 r1= –1, r2=3
y C1ex C2e3x
例2.求解方程y''10y'25y 0
y* xk e xQn (x)， 其中： 当 不是特征根时，取 k＝0 ；
当 是单特征根时，取k＝1； 当 是二重特征根时，取 k＝2。
注意: 可以为复数。
例1. 求方程y 3y 2y e2x (4x 5)的一个特解. 解： α=2，P1(x)=4x+5
特征方程： r2－3r＋2＝0 得 r1=2, r2=1 所以设 y*=xe2x(Ax+B)
n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为
n p1 n1 pn1 pn 0
特征根
单实根 k 实重根
一对共轭复根 1,2 i
一对共轭k 重复根 1,2 i
1项 k项
通解中的对应项 Ce x e x (C1 C2 x Ck xk1)
2 项 e x (C1 cos x C2 sin x)
y 5y 6 y 2e2x
(1)
r2–5r＋6＝0, r1=2, r2=3
求方程(1)的y1*: 设y1*=Axe2x 代入方程(1)得 A＝–2 y1* 2xe 2x
y 5y 6y sin x.
(2)
r2–5r＋6＝0, r1=2, r2=3
求方程(2)的y2*: 设 y2* Acos x B sin x
y* xk ex[ Am (x) cos x Bm (x) sin x]
Am (x)，Bm (x)是m次待定多项式，m maxl，n.
其中
0, i不是特征根
k＝
1, i是特征根
例6. 求 y + 4 y = c o s 2 x 的一个特解
解： 0, 2, i 2i
特征方程 r2+4=0, 得r1,2=2i 故设 y* x( Acos 2x B sin 2x)
y*=2Ax2e2x+2(A+B)xe2x+Be2x y*=4Ax2e2x+4(2A+B)xe2x+2(A+2B)e2x
代入方程化简得
比较得
2Ax+(2A+B)=4x+5 2A=4, 2A+B=5
A 2, B 1
y* (2x2 x)e2x
例2. 求方程y y 2x2 3的一个特解。
解得 A 0, B 1 4
y* 1 x sin 2x 4
例7. 求 y + y = e x s i n x 的一个特解. 解： 1, 1, i 1 i
特征方程 r2+1=0, 得r1,2=i
故设 y* ex ( Acos x B sin x)
解得 A 2 , B 1
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故 y* ex (1 sin x 2 cos x)
解： α=1,
P0(x)=1
特征方程 r2－2r＋1＝0, r1,2＝1 故设 y*=x2Aex
求得 A 1 , 2
y* 1 x2e x 2
(II) f (x) ex Pl (x) cos x Qn (x) sin x, 这里，是常数，
Pl (x)，Qn (x)分别是l次和n次多项式。
此时方程具有如下形式的特解：
可求得 r1= 2, r2=r3=r4=1 则 y1=e2x, y2=ex, y3=xex,
y4=x2ex
y C1e 2x e x (C2 3 x C4 x 2 )定理 1 当二阶常系数非齐线性方程 y p y q y f (x) (2)
的右端为 f (x) e xPn (x) 时，它有下列形式的特解：
二阶常系数齐线性微分方程 特征方程
y p y q y 0
2 p q 0。
特征根
1 2 (实根) 1 2 (实重根) 1,2 i (共轭复根 )
通解形式 y C1e1x C2e2 x y e1x (C1 C2 x)
y e x (C1 cos x C2 sin x)