数列常见题型分析与做法一、等差、等比数列的概念与性质1、已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比，求n a ；（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a21101322==⇒=+-∴q q q q 或211=∴≠q q 1)21(64-⨯=n n a 故二、求数列的通项 类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例:已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 答案：nna n 1231121-=-+=∴类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，nn a n n a 11+=+，求n a 答案：na n 32=∴类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 提示：)3(231+=++n n a a 答案：321-=+n n a . 类型4 递推公式为n S 与n a 的关系式。
(或()n n S f a =)解法：这种类型一般利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S)2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例：已知数列{}n a 前n 项和2214---=n n n a S . （1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .解：（1）由2214---=n n n a S 得：111214-++--=n n n a S 于是)2121()(1211--++-+-=-n n n n n n a a S S所以11121-+++-=n n n n a a a nn n a a 21211+=⇒+.（2）nn n a a 21211+=⇒+ 两边同乘以12+n 得：22211+=++n n n n a a由1214121111=⇒--==-a a S a .于是数列{}n na 2是以2为首项，2为公差的等差数列，所以n n a n n2)1(222=-+=12-=⇒n n n a三、数列求和公式法、分组求和、错位相减求和、裂项求和、倒序相加求和、累加累积1、设12122132(*),{}3log log n n n n n n n b b n N C T C C -++=⋅∈=⋅已知且为数列的前n 项和，求n T .解：,231-==n n n b C ,)1(12log 2log 1loglog11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n nn n而,111)1(1+-=+n nn n .111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n nT n2、求和： . 答案：3、求数列n a =的前n 项和答案：14、已知集合A ＝{a|a ＝2n ＋9n －4，n ∈N 且a ＜2000}，求A 中元素的个数，以及这些元素的和提示：210＝1024，211＝2048 答案：10 ； 25015、求证：nn n n nn n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 倒序相加 6、求数列311⨯，421⨯，531⨯，…，)2(1+n n ，…的前n 项和S7、求数5，55，555，…，55…5 的前n 项和S n解： 因为55…5=)110(95-n所以 S n =5+55+555+…+55…5 =[])110()110()110(952-+⋅⋅⋅+-+-n=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---n n110)110(1095 =815095108150--⨯n n一、选择题 1．在数列55,34,21,,8,5,3,2,1,1x 中，x 等于（ ）A ．11B ．12C ．13D ．142．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和9S 等于（ ） A ．66B ．99 C ．144 D ．297 3．等比数列{}n a 中, ,243,952==a a 则{}n a 的前4项和为（ ）nnA ．81B ．120C ．168D ．192 4．12+与12-，两数的等比中项是（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．215．已知一等比数列的前三项依次为33,22,++x x x ，那么2113-是此数列的第（ ）项A ．2B ．4C ．6D ．86．在公比为整数的等比数列{}n a 中，如果,12,183241=+=+a a a a 那么该数列的前8项之和为（ ）A ．513 B ．512 C ．510 D ．8225二、填空题1．等差数列{}n a 中, ,33,952==a a 则{}n a 的公差为______________。
2．数列{n a }是等差数列，47a =，则7s =_________ 3．两个等差数列{}{},,n n b a ,327......2121++=++++++n n b b b a a a nn 则55b a =___________.4．在等比数列{}n a 中, 若,75,393==a a 则10a =___________.5．在等比数列{}n a 中, 若101,a a 是方程06232=--x x 的两根，则47a a ⋅=___________. 6．计算3log n=___________. 三、解答题1.成等差数列的四个数的和为26，第二数与第三数之积为40，求这四个数。
2.在等差数列{}n a 中, ,1.3,3.0125==a a 求2221201918a a a a a ++++的值。
3.求和：)0(),(...)2()1(2≠-++-+-a n a a a n4.设等比数列{}n a 前n 项和为n S ，若9632S S S =+，求数列的公比q《数列》参考答案一、选择题 1.C 12n n n a a a +++=2.B 147369464639,27,339,327,13,9a a a a a a a a a a ++=++===== 91946999()()(139)99222S a a a a =+=+=+= 3.B43521423(13)27,3,3,12013a a q q a S a q-=======-4.C 2121)1,1x x ===±5.B 2(33)(22),4x x x x +=+⇒=- 133313,134(),422222n x q n x -+==-=-⨯=+ 6.C 332112131(1)18,()12,,2,22q a q a q q q q q q++=+====+或而89182(12),2,2,2251012q Z q a S -∈====-=-二、填空题 1.85233985252a a d --===-- 2. 49 71747()7492S a a a =+==3.12651955199"55199199()2792652929312()2a a a a a a Sb b b b S b b ++⨯+======+++ 4. 3375±610925,q q a a q ===⋅=± 5. 2- 471102a a a a ==- 6．112n-111111 (242422)333log log (333)log (3)nnn+++=⋅⋅⋅⋅=211[1()]111122 (11222212)nn n -=+++==--三、解答题1. 解：设四数为3,,,3a d a d a d a d --++，则22426,40a a d =-= 即1333,222a d ==-或，当32d =时，四数为2,5,8,11当32d =-时，四数为11,8,5,22. 解：1819202122201255,7 2.8,0.4a a a a a a a a d d ++++=-===20128 3.1 3.2 6.3a a d =+=+= ∴18192021222056.3531.5a a aaaa ++++==⨯= 3. 解：原式=2(...)(12...)na a a n +++-+++2(1)(1)(1)12(1)22n a a n n a a n n a ⎧-+-≠⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩4. 解：显然1q ≠，若1q =则3619,S S a +=而91218,S a =与9632S S S =+矛盾由369111369(1)(1)2(1)2111a q a q a q S S S qqq---+=⇒+=---96332333120,2()10,,1,2q q q q q q q --=--==-=得或 而1q ≠，∴243-=q。