数列
题型一:求值类的计算题(多关于等差等比数列) A)根据基本量求解(方程的思想)
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,63,6,994=-==n S a a ,求n ;
2、等差数列{}n a 中,410a =且3610a a a ,,成等比数列,求数列{}n a 前20项的和20S . 3、设{}n a 是公比为正数的等比数列,若16,151==a a ,求数列{}n a 前7项的和.
4、已知四个实数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这四个数. B )根据数列的性质求解
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,1006=a ,则=11S ;
2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和,327++=n n T S n n ,则=5
5b a
. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若
==5
935,95S S
a a 则( ) 4、等差数列{}n a ,{}n
b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若
231n n S n
T n =+,则n n
a b =( ) 5、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(,m n n S m S m n ≠==,则=+n m S . 6、在正项等比数列{}n a 中,153537225a a a a a a ++=,则35a a +=_______。
7、已知数列{}n a 是等差数列,若 471017a a a ++=,45612131477a a a a a a +++
+++=且
13k a =,则k =_________。
8、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和,54=n S ,602=n S ,则=n S 3 . 9、在等差数列{}n a 中,若4,184==S S ,则20191817a a a a +++的值为( ) 10、在等比数列中,已知910(0)a a a a +=≠,1920a a b +=,则99100a a += . 11、已知{}n a 为等差数列,20,86015==a a ,则=75a . 12.在等差数列中,若 84816
1
,.3S S S S =求= . 题型二:求数列通项公式: A) 给出前几项,求通项公式
1,0,1,0,……
,,21,15,10,6,3,1
3,-33,333,-3333,33333……
B)给出前n 项和求通项公式
1、⑴n n S n 322
+=; ⑵13+=n n S .
2、设数列{}n a 满足2
*12333()3
n n
a a a a n N +++=
∈n-1
…+3,求数列{}n a 的通项公式 C)给出递推公式求通项公式
a 、⑴已知关系式)(1n f a a n n +=+,可利用迭加法或迭代法;
已知数列{}n a 中,)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式; b 、已知关系式)(1n f a a n n ⋅=+,可利用迭乘法.
已知数列{}n a 满足:111
(2),21
n n a n n a a n --=≥=+,求求数列{}n a 的通项公式; c 、构造新数列
1°递推关系形如“q pa a n n +=+1”,利用待定系数法求解
已知数列{}n a 中,32,111+==+n n a a a ,求数列{}n a 的通项公式. 2°形如“,两边同除1
n p
+或待定系数法求解
n n n a a a 32,111+==+,求数列{}n a 的通项公式.
3°递推已知数列{}n a 中,关系形如“n n n a q a p a ⋅+⋅=++12”,利用待定系数法求解 已知数列{}n a 中,n n n a a a a a 23,2,11221-===++,求数列{}n a 的通项公式.
4°形如"11n n n n a pa qa a ---=≠(p,q 0),两边同除以1n n a a -
1、已知数列{}n a 中,1122n n n n a a a a ---=≥=1(n 2),a ,求数列{}n a 的通项公式.
2、数列{}n a 中,)(42,211++∈+==N n a a a a n
n
n ,求数列{}n a 的通项公式.
d 、给出关于n S 和m a 的关系
1,已知数列{}n a ,)(3,11++∈+==N n S a a a n n n ,设n
n n S b 3-=,求数列{}n b 的通项公式.
2、已知数列{}n a ,11=a ,)2(212
≥⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
=n S a S n n n . ⑴求{}n a 的通项; ⑵设1
2+=n S b n
n ,求数列{}n b 的前n 项和n T . 题型三:证明数列是等差或等比数列 A )证明数列等差
1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,)(+∈=
N n n
S b n
n .求证:数列{}n b 是等差数列. 2、已知数列{a n}的前n 项和为S n ,且满足a n+2S n ·S n -1=0(n ≥2),a1=21
.求证:{n
S 1}是等差数列;
B)证明数列等比
1、设{a n }是等差数列,b n=n
a ⎪⎭
⎫
⎝⎛21,求证:数列{bn }是等比数列;
2、设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知()21n
n n ba b S -=-
⑴证明:当2b =时,{}
12n n a n --⋅是等比数列;⑵求{}n a 的通项公式
3、已知数列{}n a 中,*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
⑴证明:数列{}1n n a a +-是等比数列;⑵求数列{}n a 的通项公式; ⑶若数列{}n b 满足12111
*44
...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列.
题型四:求数列的前n项和 基本方法: A)公式法, B )拆解求和法.
求数列n
{223}n +-的前n 项和n S . 求数列 ,,,,,)21(81341221
1n
n +
的前n 项和n S . 求和:2×5+3×6+4×7+…+n(n +3) C)裂项相消法,数列的常见拆项有:
1111()()n n k k n n k =-++;n n n n -+=++11
1
;
求和:S =1+
n
+++++
+++++ 3211
3211211 求和:
n
n +++++++++11341231121 . D)倒序相加法,
设2
2
1)(x
x x f +=,求: (1)
)
4()3()2()()()(21
3141f f f f f f +++++
⑵).2010()2009()2()()()()(21
312009120101f f f f f f f ++++++++
E)错位相减法,
若数列{}n a 的通项n
n n a 3)12(⋅-=,求此数列的前n 项和n S .
F )对于数列等差和等比混合数列分组求和
已知数列{an}的前n 项和S n =12n-n 2
,求数列{|a n|}的前n 项和T n . 题型五:数列单调性最值问题
1、数列{}n a 中,492-=n a n ,当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时,=n .
2、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,.16,2541==a a 当n 为何值时,n S 取得最大值;
3、数列{}n a 中,12832
+-=n n a n ,求n a 取最小值时n 的值.
4、数列{}n a 中,22+-=n n a n ,求数列{}n a 的最大项和最小项.
5、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*
n ∈N .
(Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*
n ∈N ,求a 的取值范围.
6、已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,31=a ,)2(21≥=-n a S S n n n . ⑴求数列{}n a 的通项公式;
⑵数列{}n a 中是否存在正整数k ,使得不等式1+>k k a a 对任意不小于k 的正整数都成立?若存在,求最小的正整数k ,若不存在,说明理由.。