I. QUESTION ISummarize the known constructions of orthogonal matrices and unitary matrices. Give some numerical examples for each construction.1》正交矩阵：是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。

尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。

正交矩阵不一定是实矩阵。

实正交矩阵可以看做是一种特殊的酉矩阵，但存在一种复正交矩阵，复正交矩阵不是酉矩阵。

正交矩阵有以下几种等价定义及其判定 (满足的结构性质) 定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若E AA =',则称A 为正交矩阵. 定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若E A A =',则称A 为正交矩阵. 定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1-=A A ,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.实例：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθc o s s i n s i n c o s⎥⎦⎤⎢⎣⎡10012》酉矩阵：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵。

酉矩阵是正交矩阵往复数域上的推广。

酉矩阵的相关性质： 设有矩阵 ，则（1）若是酉矩阵，则的逆矩阵也是酉矩阵； （2）若是酉矩阵，则也是酉矩阵；（3）是酉矩阵的充分必要条件是，它的个列向量是两两正交的单位向量。

一个简单的充分必要判别准则是： 酉矩阵的共轭转置和它的逆矩阵相等 酉矩阵基本性质:(A 是酉矩阵) 1.A 的行列式的模等于1 2.H A A =-1,11)()(--=H H A A3.1-A 也是酉矩阵，两个n 阶酉矩阵的乘积也是酉矩阵4.A 的每个(列)行向量(看作酉空间n C 的向量)是单位向量；不同的两个(列)行向量是酉矩阵正交的。

实例：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ββααs i n c o s 00s i n c o s i i （βα,为任意角度）II. QUESTION IIA Hadamard matrix of order n is an n n ⨯matrix with elements in {}1,1+- such that T n n HH nE ⨯=where T H is the transpose of H andn E is the identity matrix of order n .This class of matrices are useful inmany practical applications.Q1 Does Hadamard matrix exist for any order? Please list a Hadarmard matrix of order n with 20n ≤ if such a matrix exists.Q2DesigntwoHadamardmatrices []12 ;;; n H h h h =and12; ;[; ]n G g g g = of order 2m n = (where m is odd) such that:12/2; ;{}; n h h h is orthogonal to 12/2 ; ;{}; n g g g ;and/21/22;;};{n n n h h h ++is orthogonal to /21/22; ;; {}n n n g g g ++.If this cannot be done for general n, please give numerical examples for the cases that m = 3, 5,7.Q3 Let 12; ;[; ]n H h h h =be a Hadamard matrix of order n,where2m n = for a positive integer m and j h denotes the column vector of H. Let12; ;;{( :11)}n i T i A a a a a a and a h for i n ===±≠≤≤Define()max ;1I = ,max j a A j na h ∈≤≤where (),j a h denotes the absolute value of the inner product of a and j h . Try to derive a lower bound for max I . If this cannot be achieved, please guess a lower bound for max I respectively for even and odd m based on numerical results by computer.2.1Hadamard 矩阵是以+1和-1两个元素组成的，并且是任意两行互为正交的一种方阵，比如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a (2122221112)11这其中，ij a 只能取+1和-1，同时也满足⎩⎨⎧=≠=∑=j i n ji a a nk jk ik 01其实hadamard 矩阵它的转置也是一个hadamard 矩阵n n n n n T T n T nI I nI A A nI A nI A A AA A A A I A A ======---111经过MATLAB 测试hadamard 矩阵并不是存在任何阶次，当且仅当矩阵的阶次为：k k k n n n 2202122===或或此时hadamard 矩阵才可能存在。

最简单的hadamard 矩阵就是[1],只有一个元素，也不难得到2阶的hadamard 矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11112H其他的所有hadamard 矩阵都可以由此构成（当然除了阶次为1），比如阶次为4阶的，其构成如下：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=22224H H H H H可以证明：若n H 是hadamard 矩阵，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n nn nH H H H 也是hadamard 矩阵，证明如下：不妨令：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=n nn nH H H H A ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=T n TnT n T nT H H H H A ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=T n T nTn Tn n nn n TH H H H H H H H AAn nI nI nI H H H H n n nT n n T n n 20022002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=很明显可以看出上述A 矩阵为hadamard 矩阵，并且由此再进行推导可以得出，hadamard 矩阵的阶次必须为4的整数倍，所以可以得出在20≤n 时存在的Hadamard 矩阵的阶次分别为：20,16,12,8,4,2,1=n2.2由上述的结论和hadamard 矩阵的定义可以得出：若一个矩阵是hadamard 矩阵，则对其进行如下操作（以下变换中的一种或者多种变换），所得到的矩阵还是一个hadamard 矩阵，这四种变换分别是： 1》矩阵的行变换 2》矩阵的列变换3》矩阵的任意一列乘以-1 4》矩阵的任意一行乘以-1 由上述结论性质可以很容易得到：（1）当m n m 2,3==，很容易构造出下面的一个hadamard 矩阵1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111H ----⎛⎫ ⎪---- ⎪ ⎪---- ⎪---- ⎪= ⎪---- ⎪---- ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭（2）当mn m 2,5==，可以由上述2阶hadamard 矩阵构成，所得到就是32阶hadamard 矩阵。

（3）当mn m 2,7==，同样可以得到一个128阶的hadamard 矩阵。

2.3要想得到12; ;;{( :11)}n i T i A a a a a a and a h for i n ===±≠≤≤采用matlab可得到，运行程序如下：n 取任何整数A=zeros(1,n); B=rand(1,n) for i=1:n if (B>=0.5) A(i)=1; elseA(i)= -1;endIII. QUESTION IIIFind an example in known literature to show that how orthogonal matrices or unitary matrices work in practical applications. Details should be given such that this example is self-contained.3.正交矩阵的应用正交矩阵在图像中应用非常广泛，比如：图像特征提取、图像复原、图像去噪、图像压缩和图像增强等方面，在数字图像中起着中重要的作用。

下面就是在基于图像的双正交基的联合字典学习方法的应用（图像去噪）。

设字典D 是由两个正交变换所构成的D=[D1，D2],其中D1、D2是n n 2⨯矩阵，,然后可以将所有的图像块的稀疏分解系数组成一个矩阵A ，与字典对应分解成两个子矩阵：T TTA A A ],[21= 此时求解所得到的原图像的表达式)(..m i n0022元素个数的范数，表示不为零的是其中L yD t s αξαα≤-可以转化为 FD D A A YA D A D 22211,,,2121m i n -+I D D D D t s TT==2211.. (1)其中Y 对应的所有的图像块。

上面优化问题的直接求解就显得困难，因此可以将上述的算法分为两个阶段进行，首先运用正交匹配追踪算法确定系数矩阵A ，然后再对系数矩阵A 固定，最后就进入计算字典D 的阶段。

计算的过程中，我们首先固定一个正交基然后优化计算另一个正交基，上式(1)就可变换为:22211,21m i nFD D Y A D A D -+I D D D D t s TT==2211.. (2)此时，我们假设2D 是固定不变的，令22A D Y P -=，则上式(2)可变换为：2111m i nFD P A D - (3)I D D t s T=11..此时的上式（3）的优化问题就变成了如下问题：)(2)()(1111211T T T F P A D tr A A tr P P tr P A D -+=-优化上述问题后，就可求得最后一项的最大值，计算出T P A 1的奇异值分解 T T V U P A ∑=1)()()()(1111∑=∑=∑=Q tr U D V tr V U D tr P A D tr T T T 其中U D V Q T 1=是正交矩阵，因此：∑∑≤=∑ii iii ii q Q tr δδ)(其中：i δ为∑对角矩阵的第i 个奇异值， ii q 为Q 矩阵对角线的第i 个元素。