定 理3 1、若A为实对称矩阵，则 A的特征值为实数 . 2、 A是Hermite矩阵，则 的特征值为实数 若 A . 3、 若A为 正 交 矩 阵 或 酉 矩 阵 则A的 特 征 值 为 单 ，
位 根. 4、 A为 实 反 对 称 矩 阵 或 斜 若 Hermite矩 阵 ， 则 的 A 特征值为零或纯虚数 .
1 1 1 1 H 6、A 1 1 ，A - 1 1， 2 0 . A A AA 0 2 ， A是正规矩阵
H H
7、若A为一个斜 rmite He 矩阵， ( )为一个多项式 g 则g( A)是正规矩阵 .
第四章
正规矩阵与矩阵分解
第二节 正规矩阵
定义 正规矩阵举例 正规矩阵的特征与性质
一、定义
定义 设矩阵 M n，若AH A AA H，则称 正规 1 A A 矩阵.
引理1 A M n是正规矩阵 酉等价于 的一切矩阵 A 都是正规矩阵 .
二、正规矩阵举例
1、酉矩阵是正规矩阵 . 2、 正交矩阵是正规矩阵 . 3、He rmite 矩阵是正规矩阵 . 4、斜He rmite 矩阵是正规矩阵 . 5、 实对称矩阵、反对称矩 阵是正规矩阵 .
下述命题等价： 1、 A是正规矩阵 ; 2ห้องสมุดไป่ตู้A是可酉对角化矩阵；
3、
i , j 1
a
n
2 ij
i ；
2 i 1
n
4、A有n个特征向量组成标准正 交基； 5、 存在一个多项式 )，使AH g( A). g(
定理2 设A M n是正规矩阵，且 y是A的不同 x和 特征值的特征向量，则 y. x
定 理2 若U 1、U 2均 为n阶 酉 矩 阵 ， 则 有 (1) U 1U 2是 酉 矩 阵 ； ( 2) U 11是 酉 矩 阵 .
定理3 所有的 阶酉矩阵按矩阵乘法构 n 成一个群 . 定理4 酉矩阵的特征值的模等1. 于
三、正规矩阵的特征与性质
定义2 若A M n酉等价于一个对角矩阵 ，则称 A 是可酉对角化的 . 定理 如果A (aij )nn 有特征值 1 , 2 ,, n，那么 1
8、 循环矩阵是正规矩阵 .
c0 c1 c n 1 c n 1 c0 c n 2 方 阵C 称 为n阶 循 环 矩 阵 ， c c 2 c0 1 记 为circ(c0 ,c1 , ,cn- 1 ).
方阵P circ(0 ,1, ,0)称为基本循环阵 . 任一循环矩阵都是基本 循环阵的多项式 .