Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它们相互独立，
则
定理3
(两总体样本均值差的分布)
2 2
且 设 X ~ N (1 , )，Y ~ N (2 , )，
X 与Y 独立,
X1,X2,…,
X n1
2 2
是取自X的样本, Y1,Y2,…,
Yn2 是
取自Y的样本, 均值, S 2
i 1 i 1 n
i 1 n
i 1
E( X )
4


x
4
1 2
e
x2 2
dx

x


x
1
3
1 2
e
x2 2
de

x2 2
3
2



1 2

e
x2 2
3 x dx 3
2
(3) 应用中心极限定理可得，若 X ~ 2 (n)
N ( , 2 ) 的样本，
则有
N 取不同值时样本均值
X 的分布
X ~ N ( ,
2
n
)
关于
( n 1) S 2
2
~ 2 ( n 1)的简要说明
( n 1) S 2
2
＝
1

( X i X )2 2
i 1
n
从以上两式子看出，仅 和X 不同
但是，第一个式子，X i自由，第二式
设 X: 1. 2. 若 X~N（0，1），则 X1，X2，…，Xn
四大统计量
两个正态总体
Y ~ N (μ2,σ2 2) ： Y1，Y2，…,Yn2 ，它们相互独立，
（1） 若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1
则
（2）
当σ12 =σ22 =σ2时，
（3）
请回答： 设X1,X2,X3,X4是总体N（0，1）的样本，则：
则服从自由度为 n-1 的 t 分布的随机变量是
．
练习
设总体X的密度函数为 | x |, | x | <1 f ( x) 其他 0, X1 ,X 2 , Xn为取自X的一个样本:求
(1)E (X),D(X) (2)E(S 2 )
练习
设总体X~N(0,1),样本X 1 , X 2 , X 6 令Y=(X1 +X 2 +X 3 )2 (X 4 +X 5 +X 6 )2 求常数C,使cY ~ 分布
正态总体的抽样分布
一、样本均值分布 定理 设总体 是X的样本。
样本均值
（标准化）
二、 1.定义:
分布 设随机变量 相互独立,都服从
标准正态分布N(0,1), 则称统计量：
所服从的分布为自由度为 n 的
分布. 记为
注:
自由度是指*右端所含独立的随机变量的个数。
分布的密度函数为
其中伽玛函数
通过积分
2
并确定其参数
练习
设随机变量X~F(m , m ), 证明 p{ X 1} p{ X 1} 0.5
练习
设随机变量X和Y都服从标准正态分布,则 (A)X+Y服从正态分布 (B)X 2 +Y 2服从 2分布 (C)X ,Y 服从 分布
2 2 2
(D) X /Y 都服从F分布
2 2
[( n 1) 2] x2 f ( x; n) (1 ) n (n 2) n
n 1 2
t(n) 的概率密度为 n 1 [( n 1) 2] x2 2 f ( x; n) (1 ) n (n 2) n
2. 性质 （1）具有自由度为 n 的 t 分布的随机变量 T 的 数学期望和方差为:
2
(2) X 和 S 相互独立.
2
取不同值时 的分布
例题分析Βιβλιοθήκη 定理 3设（与样本均值和样本方差有关
的一个分布） 的样本,
X1, X2 ,…, Xn 是取自正态总体
分别为样本均值和样本方差, 则有
且它们独立。 则由t-分布的定义：
当
4. 两个正态总体
（1） 若 X ~ N (μ1,σ12) ： X1，X2，…,Xn1
问题
设 则
相互独立, 都服从正态分布
为什么？
例2 设总体X~N（0，0.32）, n =10,求
解 ∵ X/0.3~N（0，1），
∴
三、t 分布
1. 定义: 设 X～N(0,1) , Y～
2
(n)
, 且X与Y
相互独立， 则称变量 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布. T的密度函数为： 记为T～t(n).
1
X 和Y
分别是这两个样本的样本
和S
分别是这两个样本的样本方差,
则有
X Y ( 1 2 )
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 n1 n2 2
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
定理 3
(两总体样本方差比的分布)
2 设 X ~ N ( 1 , 12 ), Y ~ N (2 , 2 )， X与Y独立, 且
2 2
则称统计量
服从自由度为n1及 n2 的F分布，
n1称为第一自由度，
n2称为第二自由度，
记作 F ~F (n1,n2).
若X ~ F (n1,n2)， X的概率密度为
( ) n1 n1 ( n2 )( n2 x ) n1 n2 f ( x; n1 , n2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0
(X
i 1
n
i
X )＝0
无形中多了一个条件，减少了一个自由度 故为 2 ( n 1)
定理 2
(样本方差的分布)
设 X1, X2, … , Xn 是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本,
X 和 S2
分别为样本均值和样本方差,
则有
(1)
( n 1) S 2

N
2
~ ( n 1)
i=1
n
(d) S 2 =
1

(X i -X)2 ~ 2 (n) 2
i=1
n
请回答：设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，X8为
一个样本，则（
（1）
）成立。
~ t (8) (2) ~ t (7)
(3)
~ t (7)
(4)
~ t (8)
请回答：设 是样本均值，记
是来自正态总体N(μ ，σ 2）的样本，
练习
设总体X~N( , ),样本X 1 , X 2 , Xn来自X
2
样本n取多大时,有 (1)E(|X- | ) 0.1
2
(2)P(|X- | 0.1) 0.95
(3)
F 分布的分位点 称满足条件
对于给定的正数
的点
为
分布的上
分位点。
关于 F 分布分位点的重要结论
表中所给的
当
都是很小的数，如0.01，0.05等
较大时，如0.95，
表中查不出，可由以上结论
休息片刻
四、几个重要的抽样分布定理 定理 1 设 (样本均值的分布)
X1,X2,…,Xn 是取自正态总体
n1 n2 2
n1 1 2
1 x
n1 n2

n1 n2 2
x0
x0
2. 性质 (1) 由定义可见，
1 Y n2 ~ F( n2, n1) F X n1 (2) X的数学期望为: n2 E( X ) 若 n2 > 2 n2 2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.
来定义.
2—分布的密度函数曲线
n x 1 1 n2 x2 e 2 f ( x; n ) 2 ( n 2 ) 0
x0 x0
2. 2分布的性质
由 分布的定义，不难得到：
(2) 设
则 这个性质叫 分布的可加性.
且X1 , X2相互独立，
（ ） E n, D 2n 2
2 2
证：EX i 0, DX i 1,
2 i 4 i 2 2 i n
X i ~ N (0,1)
n
EX 1,
2 i
DX EX ( EX ) 3 1 2, i 1, 2, n
所以 E 2 E ( X i2 ) EX i2 n.
D 2 D( X i2 ) DX i2 2n.
E( T ) = 0;
D( T ) = n / ( n - 2 ) ,
对 n > 2
（2）t 分布的密度函数关于 x = 0 对称，且
Lim f ( x; n) 0
x
当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度
函数的图形.
很大.
不难看到，当n充分大时，
t 分布近似
N (0,1)分布. 但对于较小的n， t分布与N (0,1)分布相差
则当n充分大时，
X n 2n
的分布近似正态分布 N (0,1).
(4)
分布的分位点
称满足条件的点 分布的上 分位点.
对于给定的正数 为
P443
分布表供查阅。
例 即 对于给定的 的点 为
称满足条件
分布的“上 百分位点”
上侧
分位点。
分布的下侧 当 下侧 双侧 时 分位点 分位点
分位点。 双侧
分位点。
例题分析 设X1,X2,X3,X4是总体
例题分析
Z
Y1 Y2 2(Y1 Y2 ) / 2 S 2S 2 /2 2