第三节 正态总体的抽样分布
分布图示
★ 抽样分布
★ 单正态总体的抽样分布
★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3
★ 双正态总体的抽样分布
★ 例 4 ★ 例 5
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题12-3
内容要点
一、抽样分布
有时, 总体分布的类型虽然已知, 但其中含有未知参数,此时需对总体的未知参数或对总体的重要数字特征(如数学期望、分差等) 进行统计推断, 此类问题称为参数统计推断.在参数统计推断问题中, 常需利用总体的样本构造出合适的统计量, 并使其服从或渐近地服从已知的总体分布. 统计学中泛称统计量分布为抽样分布.
二、单正态总体的抽样分布
设总体X 的均值μ,方差为2σ,n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本,X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 ,)(,)(2σμ==X D X E )(2S E .2
σ=
定理1 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )/,(~2n N X σμ; (2) ).1,0(~/N n X U σμ-= 定理2 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有
(1) 2χ=);1(~)(1
1
212222--=-∑=n X X S n n i i
χσσ
(2) X 与2S 相互独立.
定理3 设总体),,(~2σμN X n X X X ,,,21 是取自X 的一个
样本, X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差, 则有 (1) )(~)(121222n X n i i χμσχ∑=-=
(2) ).1(~/--=n t n S X T μ
三、双正态总体的抽样分布
定理 4 设),(~211σμN X 与),(~222σμN Y 是两个相互独立的正态总体, 又设
1
,,,21n X X X 是取自总体X 的样本, X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差. 2
,,,21n Y Y Y 是取自总体Y 的样本, Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差. 再记2w S 是21S 与22
S 的加权平均, 即
.2
)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w 则 (1) );1,0(~//)
()(222
12121N n n Y X U σσμμ+---= (2) );1,1(~2122
2
1212--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n F S S F σσ
(3) 当22221σσσ==时, ).2(~/1/1)()(212
121-++---=n n t n n S Y X T w μμ
例题选讲
单正态总体的抽样分布
例1 (E01) 设),2,21(~2N X 2521,,,X X X 为X 的一个样本,求:
(1) 样本均值X 的数学期望与方差; (2) }.24.0|21{|≤-X P
解 )1( 由于),2,21(~2N X 样本容量,25=n 所以,252,21~2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛N X 于是,21)(=X E .4.0252)(22==X D )2( 由),4.0,21(~2N X 得),1,0(~4
.021N X - 故 ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-6.04.021}24.0|21{|X P X P .4514.01)6.0(2=-Φ=
例2 假设某物体的实际重量为μ, 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称了n 次,得到n X X X ,,,21 . 假设每次称量过程彼此独立且没有系统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布),(2σμN , 方差2σ反映了天平及测量过程的总精度, 通常我们用样本均值X
去估计μ, 根据定理1, .,~2⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n N X σμ 再从正态分布的σ3性质知
%.7.993||≥⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<-n X P σμ 这就是说, 我们的估计值X 与真值μ的偏差不超过n /3σ的概率为99.7%,并且随着称量次数n 的增加, 这个偏差界限n /3σ愈来愈小. 例如若,1.0=σ10=n . 则
%,7.99}09.0|{|101.03||≥<-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⨯<-μμX P X P 于是我们以99.7%的概率断言, X 与物体真正重量μ的偏差不超过0.09.如果将称量次数n 增加到100, 则
%.7.99}03.0|{|1001.03||≥<-=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⨯<-μμX P X P 这时,我们以同样的概率断言, X 与物体真正重量μ的偏差不超过0.03.
例3 (E02) 在设计导弹发射装置时, 重要事情之一是研究弹着点偏离目标中心的距离的
方差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标中心的距离服从正态分布),(2σμN , 这里22100米=σ, 现在进行了25次发射试验, 用2S 记这25次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差. 试求2S 超过502米的概率.
解 根据定理2, 有
),1(~)1(222--n S n χσ 于是 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧->-=>222250)1()1(}50{σσn S n P S P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯>=1005025)24(2χP }12)24({2>=χP }401.12)24({2>>χP .975.0=(查表)
于是我们可以以超过%5.97的概率断言, 2S 超过50 米2.
双正态总体的抽样分布
例4 (E03) 设两个总体X 与Y 都服从正态分布)3,20(N ，今从总体X 与Y 中分别抽得容量15,1021==n n 的两个相互独立的样本, 求}.3.0|{|>-Y X P
解 由题设及定理4, 知),1,0(~5.0153103)
2020()(N Y X Y X -=+--- 于是
}3.0|{|>-Y X P ⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=5.03.05.01Y X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ-=15.03.021.6744.0)42.0(22=Φ-=
例5 (E04) 设总体X 和Y 相互独立且都服从正态分布);3,30(2N
251201,,;,,Y Y X X 分别来自总体X 和Y 的样本, ,,Y X 21S 和22
S 分别是这两个样均值和方差. 求}.4.0/{2221≤S S P
解 因,3221==σσ 由定理4, ),125,120(~/2221--F S S 即).24,19(~/2221F S S
因F 分布表中没有,191=n 但由F 分布的性质, 知),19,24(~/2122F S S
于是 }5.2/{}4.0/{21222221≥=≤S S P S S P
查表有,45.2)19,24(025.0=F 即,025.0}45.2)19,24({=>F P 故.025.0}4.0/{2221≈≤S S P
课堂练习
1. 设1521,,,X X X 为正态总体)3,0(2N 的一个样本, X 为样本均值, 求: .235)(65.361512⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤∑=i i X X P
2. 设n X X X ,,,21 为总体),(~2σμN X 的一个样本, X 和2S 为样本均值和样本方差.又设新增加一个试验量11,++n n X X 与n X X ,,1 也相互独立, 求统计量
1
1+-=+n n S X
X U n 的分布.。