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并且U和V相互独立, 由F 分布的定义可得
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解 因为
从而有
即
故
自由度为2.
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例2 设
与
分别为来自
正态总体
和
的样本, 且X和Y
相互独立. 试判断以下统计量服从什么分布:
(1)
(2) 解 (1) 因为
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由 分布的可加性可知
即
(2) 由题设条件和正态分布的性质可得
从而有
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由正态分布的性质可得 即 从而有 又因为
和
的样本, 且这两
个样本相互独立. 设
分别是两个样本的均值,
分别是两个样本的方差, 则有:
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(1)
(2)
特别地, 当
时,
(3) 当
已知时,
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(4) 当
未知时,
其中
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例1 设总体 X的一个样本. 统计量
为来自总体
试确定C, 使CY 服从 分布, 并指出其自由度.
一. 单个正态总体的样本均值和样本方差的分布
设总体X(不管是什么分布,只要均值和方差
存在)的均值为 方差为
是来自
总体X的样本, 与 分别是样本均值和样本方差.
则有
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定理1 设
为来自总体
的样本, 与 分别是样本均值和样本方差. 则有
(1) 与 相互独立;
(2)
(3)
推论 设
为来自总体
的样本, 是样本均值. 则有
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定理2 设
为来自总体
的样本, 与 分别是样本均值和样本方差. 则有
证明 由定理1和推论, 有
且两者相互独立. 由t分布定义可知 化简可得结论成立.
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二. 两个正态总体的样本均值差和样本方差比的分布
定理3 设
与
分别为来自
正态总体