静安区2019学年第一学期期末教学质量调研九年级数学试卷（完成时间：100分钟 满分：150分 ） 考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3. 答题时可用函数型计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知y x a +=，y x b -=，那么ab 的值为（A ）x 2； （B ）y 2； （C ）y x -； （D ）y x +．2．已知点P 在线段AB 上，且AP ∶PB=2∶3，那么AB ∶PB 为 （A ）3∶2； （B ）3∶5；（C ）5∶2；（D ）5∶3．3．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB =4：5，下列结论中正确的是 （A ）54=BC DE ； （B ）49=DE BC ； （C ）54=AC AE ； （D ）45=AC EC ．4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，如果a =3b ，那么∠A 的余切值为 （A ）31； （B ）3； （C ）42； （D ）1010．5．如图1，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，设=，b OB =，下列式子中正确的是（A ）b a DC +=； （B ）b a DC -=； （C ）b a DC +-=； （D ）b a DC --=．6．如果将抛物线22-=x y 平移，使平移后的抛物线与抛物线982+-=x x y 重合，那么它平移的过程可以是（A ）向右平移4个单位，向上平移11个单位；（B ）向左平移4个单位，向上平移11个单位； （C ）向左平移4个单位，向上平移5个单位； （D ）向右平移4个单位，向下平移5个单位． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：=-x x 52 ▲ ．8．已知13)(+=x x f ，那么)3(f = ▲ ．9．方程2111=+-x x 的根为 ▲ ． 10．已知：43=y x ，且y ≠4，那么43--y x = ▲ ．11．在△ABC 中，边BC 、AC 上的中线AD 、BE 相交于点G ，AD =6，那么AG = ▲ ． 12．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是 ▲ ． 13．如图2，在大楼AB 的楼顶B 处测得另一栋楼CD底部C 的俯角为60度，已知A 、C 两点间的距离为15米，那么大楼AB 的高度为 ▲ 米．（结果 保留根号）14．某商场四月份的营业额是200万元，如果该商场第二季度每个月营业额的增长率相同，都为)0(>x x ，六月份的营业额为y 万元，那么y 关于x 的函数解式是 ▲ ．15．矩形的一条对角线长为26，这条对角线与矩形一边夹角的正弦值为135，那么该矩形的面积为 ▲ ． CBAD 图2图116．已知二次函数a x a x ay ++=2228（a 是常数，a ≠0），当自变量x 分别取-6、-4时，对应的函数值分别为y 1、y 2，那么y 1、y 2的大小关系是：y 1 ▲ y 2（填“>”、“<”或“=”）．17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD 中，ADFC DF如图3，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：2222442y xy x y x y x y x ++-÷+-，其中x =sin45°，y =cos60°．20．（本题满分10分, 其中第（1）小题7分，第（2）小题3分） 如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =20，53sin =A ， CD ⊥AB ，垂足为D ． （1）求BD 的长；（2）设=， =，用a 、表示．21．（本题满分10分，其中第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）CABD 图4图3ABCD已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线12++=bx x y （b 为常数）的对称轴是直线x =1． （1）求该抛物线的表达式；（2）点A （8，m ）在该抛物线上，它关于该抛物线对称轴对称的点为A'，求点A'的坐标； （3）选取适当的数据填入下表，并在如图5所示的平面直角坐标系内描点，画出该抛物线．22．（本题满分10分，其中第（1）小题7分，第（2）小题3分）如图6，在东西方向的海岸线l 上有长为300米的码头AB ，在码头的最西端A 处测得轮船M 在它的北偏东45°方向上；同一时刻，在A 点正东方向距离100米的C 处测得轮船M 在北偏东22°方向上． （1）求轮船M 到海岸线l 的距离；（结果精确到米） （2）如果轮船M 沿着南偏东30°的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB 靠岸请说明理由． （参考数据：sin22°≈，cos22°≈，图6MABC l图5tan22°≈，3≈．）23．（本题满分12分，其中第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于点O ，点E 在线段OB 上，AE 的延长线与BC 相交于点F ，OD 2 = OB ·OE ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果BC =BD ，AE ·AF =AD ·BF ，求证：△ABE ∽△ACD ．24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知二次函数c bx ax y ++=2（其中a 、b 、c 是常数，且 a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果2:3:=∆∆BCD ABD S S ，求tan ∠DBC 的值；（3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．图8Oyx图7ABDCE F O25．（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：如图9，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别在边BC 、DC 上，AB 2 =BE · DC ，DE :EC =3:1 ，F 是边AC 上的一点，DF 与AE 交于点G ．（1）找出图中与△ACD 相似的三角形，并说明理由； （2）当DF 平分∠ADC 时，求DG :DF 的值；（3）如图10，当∠BAC=90°，且DF ⊥AE 时，求DG :DF 的值．静安区2019学年第一学期期末学习质量调研九年级数学试卷参考答案及评分说明一、选择题1． C ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．D ． 二、填空题图9CAD EFG图10GFABDEC7．x （x -5）； 8．10； 9．x =3； 10．43； 11． 4； 12．16:25； 13．315 ； 14．21200）（x y +=或2004002002++=x x y ； 15．240； 16．>；17． 32； 18．71 ．三、解答题19．解：原式＝ ))(()2(22y x y x y x y x y x -++⋅+-…………………………………………………………………（4分）＝yx yx ++2．………………………………………………………………………………………（2分） 当x =sin45°=22，y =cos60°=21时…………………………………………………………………………（2分）原式＝2212221222=+⨯+． ……………………………………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =∠BDC =90°，在Rt △ACD 中，AC CD A =sin ，∴125320sin =⨯=⋅=A AC CD ．…………………………（2分）∴1612202222=-=-=CD AC AD …………………………………………………………（1分）∴43tan ==AD CD A ．………………………………………………………………………………（1分）∵∠ACB =90°，∴∠DCB+∠B =∠A+∠B =90°，∴∠DCB =∠A ．………………………（1分） ∴94312tan tan =⨯=⋅=∠⋅=A CD DCB CD BD ．…………………………………………（2分） （2） ∵25916=+=+=DB AD AB ，∴2516=AB AD ．…………………………………………………（1分）又∵-=+=， …………………………………………………………………（1分）∴b a AB AD 251625162516-==．…………………………………………………………………（1分）21．解：（1）∵对称轴为2b x -=∴12=-b．……………………………………………………（1分）∴b =-2．…………………………………………………………………………………………（1分）∴抛物线的表达式为122+-=x x y ．………………………………………………………（1分）（2） ∵点A （8，m ）在该抛物线的图像上，∴当x =8时，4918)1(12222=-=-=+-=）（x x x y ．∴点A （8，49）．………………………………………………………………………………………（1分）∴ 点A （8，49）关于对称轴对称的点A'的坐标为（-6，49）．…………………………………（2分）（3）表格正确，得2分；图正确得2分．22．解：（1）过点M 作MD ⊥AC 交AC 的延长线于D ，设DM =x ．…………………………………（1分）∵在Rt △CDM 中， CD = DM ·tan ∠CMD = x ·tan22°，………………………………………（1分）又∵在Rt △ADM 中，∠MAC =45°，∴AD =DM ，………………………………………………（1分） ∵AD =AC +CD =100+ x ·tan22°，…………………………………………………………………（1分） ∴100+ x ·tan22°=x ．………………………………………………………………………………（1分）∴79.167785.167404.0110022tan 1100≈≈-≈-=οx ．………………………………………………（2分）答：轮船M 到海岸线l 的距离约为米．（2）作∠DMF =30°，交l 于点F ．在Rt △DMF 中，DF = DM ·tan ∠FMD = DM ·tan30°=33DM ≈79.1673732.1⨯≈米．……………………………………………（1分） ∴AF =AC +CD +DF =DM +DF ≈+=<300．……………………………………（1分）所以该轮船能行至码头靠岸．………………………………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵OD 2 =OE · OB ，∴OBODOD OE =． ……………………………………………………（1分）∵AD //BC ，∴OBODOC OA =．……………………………………………………………………（2分）∴ODOEOC OA =．……………………………………………………………………………………（1分）∴ AF//CD ．…………………………………………………………………………………………（1分）∴四边形AFCD 是平行四边形．…………………………………………………………………（1分）（2）∵AF//CD ，∴∠AED =∠BDC ，BCBFBD BE =．…………………………………………（1分） ∵BC =BD ，∴BE =BF ，∠BDC =∠BCD …………………………………………………………（1分） ∴∠AED =∠BCD ．∵∠AEB =180°-∠AED ，∠ADC =180°-∠BCD ，∴∠AEB =∠ADC ．…………………………（1分） ∵AE ·AF =AD ·BF ，∴AF ADBF AE =．…………………………………………………………（1分）∵四边形AFCD 是平行四边形，∴AF =CD ．…………………………………………………（1分） ∴DCADBE AE =．…………………………………………………………………………………（1分）∴△ABE ∽△ADC ．24．解：（1）将A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0）代入）（02≠++=a c bx ax y 得，⎪⎩⎪⎨⎧++=--+=-+=cb a b a 003,4390,30…………………………………………………………………………………（3分）解得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=.3,4,1c b a ∴此抛物线的表达式是342-+-=x x y ．…………………………………（1分）（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，则23:)21(:)21(：：==⋅⋅=∆∆DC AD h DC h AD S S BCD ABD （1分）又∵DH //y 轴，∴52===OA DH AC DC OC CH ．∴56352=⨯==DH CH ．………………………（1分）∴54562=-=-=CH BC BH ．…………………………………………………………………（1分）∴tan ∠DBC=23=BH DH ．……………………………………………………………………………（1分）（3）方法一：∵1)2(3422+--=-+-=x x x y ，所以对称轴为直线x =2，设直线x =2与x 轴交于点G ．（1分） 过点A 作AF 垂直于直线x =2，垂足为F ．∵OA =OC =3，∠AOC =90°，∴∠OAC=∠OCA=45°．∵AF //x 轴，∴∠FAC=∠OCA=45°． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC=∠EAC∵∠BAO=∠OAC-∠BAC ，∠EAF=∠FAC-∠EAC ，∴∠BAO=∠EAF ………………………（1分）∵∠AOB =∠AFE =90°，∴△OAB ∽△FEA ，∴31==AF EF OA OB ．∵AF =2，∴32=EF ．…………………………………………………………………………………（1分） ∴EG =GF -EF =AO -EF =3-32=37． ∴E （2，37-）．……………………………………………（1分） 方法二：延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，∵OA =OC =3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC -∠BAC=45°-∠BAC ，∠OFA=∠OCA -∠FAC=45°-∠FAC ，∵∠BAC =∠FAC ，∴∠OAB=∠OFA ．………………………………………………………………（1分）∴△OAB ∽△OFA ，∴31==OF OA OA OB ．∴OF =9，即F （9，0）…………………………………（1分）设直线AF 的解析式为y =kx +b （k ≠0），可得⎩⎨⎧=-+=,3,90b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,3,31b k ∴直线AF 的解析式为331-=x y ……………………………（1分）将x =2代入直线AF 的解析式得37-=y ，∴E （2，37-）……………………………………（1分） 25．（1）与△ACD 相似的三角形有：△ABE 、△ADC ，理由如下：……………………………………（2分）∵AB 2 =BE · DC ，∴DCAB AB BE =．……………………………………………………………………（1分） ∵AB =AC ，∴∠B =∠C ．………………………………………………………………………………（1分）DCAC AB BE =…………………………………………………………………………………………（1分）∴△ABE ∽△DCA ．∵△ABE ∽△DCA ，∴∠AED =∠DAC ．∵∠AED =∠C +∠EAC ，∠DAC =∠DAE +∠EAC ，∴∠DAE =∠C ．∴△ADE ∽△CDA ．……（1分）（2）∵△ADE ∽△CDA ，又∵DF 平分∠ADC ，∴CDAD AD DE DF DG ==…………………………………（1分） 设CE =a ，则DE=3CE =3a ，CD =4a ，∴aAD AD a 44= ，解得a AD 32=（负值已舍）………（2分） ∴23432===a a CD AD DG DF …………………………………………………………………………（1分） （3）∵∠BAC=90°，AB =AC ，∴∠B =∠C =45° ，∴∠DAE =∠C=45°∵DG ⊥AE ，∴∠DAG =∠ADF =45°，∴AG=DG=a a AD 6322222=⋅=…………………（1分） ∴a DG DE EG 322=-=………………………………………………………………………（1分）∵∠AED =∠DAC ∴△ADE ∽△DFA ∴AD AE DF AD =， ∴a AE AD DF ）（3642-==…………………………………………………（1分） ∴422+=DF DG ……………………………………………………………………………………（1分）。