= 1,
参数方程为⎨⎧ ⎩
x y
= =
cos3 sin 3
t, t,
(0 ≤ t ≤ π) 2
高等数学十
ds = ( xt′)2 + ( y′t )2dt = 3sin t cos tdt,
π
∫ S = 8 2 1 − cos6 t − sin6 t 3sin t cos tdt 0
π
∫ = 24 2 3sin2 t cos2 t sin t cos tdt 0
[P(ξi ,ηi
)Δxi
+Q(ξi
, ηi
)Δyi
]
联
系
∫LPdx+Qdy= ∫L(Pcosα +Qcosβ)ds
计 ∫L f (x, y)ds
∫=
β
f [ϕ, ψ]
ϕ′2 + ψ′2dt
α
算 三代一定
(α < β)
∫LPdx + Qdy
∫=
β
[
P
(ϕ,
ψ)ϕ′
+
Q(ϕ,
ψ
)ψ′]dt
α
二代一定 (与方向有关)
∂Q = ∂ (e x cos y − m) = e x cos y ∂x ∂x
即 ∂P ≠ ∂Q ∂y ∂x
(如下图)
高等数学十
1188//228★8
1199//228★8
∫ ∫ ∫ ∫ I = − = −
y
L+OA O A AMOA OA
∫ ∫∫= (∂Q − ∂P )dxdy
AMOA D ∂x ∂y
一、主要内容 二、典型例题
22//228★8
（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步
高等数学十
（一）曲线积分与曲面积分
对对弧弧长长的的
对对面面积积的的
曲曲
曲曲线线积积分分
曲曲面面积积分分
线线 积积 分分
定定 义义
联 系
计计 算算
定定 联 义义 系
计计 算算
对对坐坐标标的的 曲曲线线积积分分
系Σ
Σ
计
∫∫ f (x, y,z)ds
Σ
∫∫R(x, y,z)dxdy
Σ
= ∫∫ f[x, y,z(x, y)] 1+ zx2 + z2ydxdy = ±∫∫R[x, y,z(x, y)]dxdy
Dxy
Dxy
算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
高等数学十
77//228★8
D
a y1 ( x )
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ f ( x, y, z)dV =
b
dx
y2
(
x
)
dy
z2( x,y) f ( x, y, z)dz, (dV体元素)
Ω
a
y1 ( x )
z1 ( x , y )
∫ ∫ f ( x, y)ds =
b
f [ x, y( x)]
1 + y′2dx, (ds线元素(曲))
（三）场论初步
梯度 gradu = ∂u ir + ∂u rj + ∂u kr ∂x ∂y ∂z
通量 散度
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy Σ divAr = ∂P + ∂Q + ∂R ∂x ∂y ∂z
∫ 环流量 Γ = Pdx + Qdy + Rdz Γ
旋度
r rotA
=
(
曲线积分 当Σ → R3上空间曲线Γ时,
∫Σ f (M )dσ = ∫Γ f ( x, y, z)ds.
曲面积分 当Σ → R3上曲面S时,
∫Σ f (M )dσ = ∫∫ f ( x, y, z)dS. S
高等数学十
1100//228★8
计算上的联系
∫∫ ∫ ∫ f ( x, y)dσ =
b
[
y2( x) f ( x, y)dy]dx, (dσ面元素)
− 1 [2 f ( x, y, z) + y]dzdx + 1 [ f ( x, y, z) + z]}ds
3
3
=
1 3
∫∫
∑
(
x
−
y
+
z)ds
∫∫ = 1 1⋅ 3dxdy = 1 .
3 Dxy
2
高等数学十
2266//228★8
向量点积法
{ } 设Σ :
z=
f ( x, y),
法向量为
−
f
′
x
高等数学十
2277//228★8
例５ 计算 I = ∫∫ ydydz − xdzdx + z2dxdy, 其中 ∑ 为 ∑
锥面 z = x2 + y2 被平面 z = 1, z = 2 所截部分的外侧．
23 . 15
高等数学十
例 2 计算
∫ I = (e x sin y − my )dx + (e x cos y − m)dy , L
其中 L为由点(a ,0)到点(0,0)的上半圆周 x 2 + y2 = ax, y ≥ 0.
解
Q
∂P = ∂ (e x sin y − my) = e x cos y − m ∂y ∂y
+
∂Q ∂y
+
∂R ∂z
)dv
=
∫∫ Σ
Pdydz
+
Qdzdx
+
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
∫∫
Σ
∂R ( ∂y
−
∂Q )dydz
∂z
+
∂P (
∂z
−
∂R )dzdx
∂x
+
∂Q (
∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
= ∫ Pdx + Qdy + Rdz Γ
斯托克斯公式
高等数学十
Green公式,Guass公式,Stokes公式之1144//228★8
∫π
= 24 3 2 sin2 t cos2 tdt
= 3 3 π.
0
2
高等数学十
2233//228★8
2244//228★8
例４ 计算
I = ∫∫[ f ( x, y, z) + x]dydz + [2 f ( x, y, z) + y]dzdx ∑
+ [ f ( x, y, z) + z]dxdy, 其中 f ( x, y, z) 为连续函数,
∑ 为平面 x − y + z = 1在第一卦限部分的上侧 ．
z
解 利用两类曲面积分之间的关系
1
Q ∑ 的法向量为 nr = {1,−1,1},
∑
∴cosα =
1
, cos β =
1
, cosγ
=
1
−1
.
3
3
3
o
1
x
y
高等数学十
2255//228★8
I
=
∫∫ {
∑
1[ 3
f
( x,
y,z) +
x]dydz
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S = ∫∫ dS
Σ
∫∫ =
1
+
z
2 x
+
z
2 y
dxdy
Dxy
∫ x S =
f ( x, y)ds
L( A,B)
∫=
b
f (x, y)
1 + y′2dx
a
高等数学十
曲顶柱体的表面积
2211//228★8
如图曲顶柱体，
z z = f (x, y)
∫∫ S =
(1 +
1+
I = ∫L Pdx + Qdy
∫ ∫∫ I =
( x, y)
Pdx
( x0 , y0 )
+ Qdy 非闭 ∂P
=
∂Q
∂P ≠ ∂Q 闭合 I =
(∂Q − ∂P )dxdy D ∂x ∂y
∫ I = L Pdx + Qdy =0闭合 ∂y ∂x ∂y ∂x 非闭 补充曲线或用公式
高等数学十
1177//228★8
∫∫ ( Ar ⋅ nr )ds = ∫∫∫ div Ar dv
Σ
Σ
Ω
∫Γ Pdx + Qdy + Rdz
dydz dzdx dxdy
∫∫ Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy
Σ
= ∫∫ Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
PQ R
=
∫Ω∫∫(∂∂Px
+
∂Q ∂y
+
∂R)dv ∂z
高等数学十
1155//228★8
∂R
−
∂Q
r )i
+
(
∂P
−
∂R)
r j
+
(∂Q
−
∂P
r )k
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
高等数学十
1166//228★8
∫ 例 1 计算I = ( x2 + 2xy)dx + ( x2 + y4 )dy, L
其中L为由点O(0,0)到点 A(1,1)的曲线 y = sin π x. 2