20
x=5.6
V (kN)
88 80
16
M C 72 2 144 kN.m
M (kN.m)
144
113.6
例7 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
160kN.m A C 2m RA=72kN 72 20kN
20kN/m
B 8m 2m RB=148kN 60 D
弯矩极值的计算
E
x 5.6 m 88 80 16
(0 ≤ x≤a )
Fa l
V M
Fab l
CB段 Fa V FB (a＜x ＜ l ) l Fa M (l x) (a ≤ x≤l ) l
3. 画 V、 M 图
例4
Me A FA a
x
x
作图示梁的V 、M 图。 解： 支反力计算 1.
B b l FB
C
Me Me , FB l FA l
ql 2
V
ql 2
M
ql 2 8
3. 作V、M 图
例3
F A
Fb FA l
作图示梁的V、M 图 解： 支反力计算 1.
B b
a
x
Fb l
C l
Fb Fa FA , FB l l
Fa FB l
2. 列 V、 M 方程
AC段
Fb V FA Fb l M x l
x
(0＜x ＜ a )
V图
M图 Mmax
新课: 简捷法作V 、 M 图
分段——两面、两点 两面——集中力、集中力偶作用的截面 两点——分布荷载的起点和终点 求出各分点的内力，按微分关系作图。
简捷法绘制内力图的一般步骤：
(1）求支座反力。
（2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控 制截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、 均布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力 值，按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图 的各控制点。
（4）联线：据各梁段的内力图形状，分别用 直线和曲线将各控制点依次相联，即得内力图。
例5 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
F
A
FA Fb l
解：
B b
Fa FB l
a
Fb l
C
l
Fb Fa FA , FB l l
Fa l
V
M
Fab l
例6
A FA
作图示梁的V、M 图（用简捷法）
q B l
解： 1. 支反力计算
1 、梁的内力
剪力 V 弯矩 M
F
A
x
B
M V x
剪力V 弯矩M
RA
2、 用简捷法绘制梁的剪力图和弯矩图 已知梁上的外力，根据梁上内力图的大致 形状，求出各控制段截面内力值便可绘 出全梁内力图。这种方法叫简捷法。 1）、 M 、V与 q 的微分关系
y
O x dx F q x
dV q dx
dM V dx
d2 M q 2 dx
根据梁的荷载集度 q 、剪力 Q 、弯矩 M 三者 间的微分关系得出梁内力图的规律：
据此，得直梁内力图的形状特征
梁上情况
q=0
水平线
⊕
⊖㊀
q=常数 q↓ q↑
斜直线
抛物线
P 作用处
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化 有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
V V
R
B
RA
x
M－RAx=0
M = RAx
内力总是成对的，大小相等，方向相反， 正负号如何规定？
3)剪力与弯矩的正负号规定 剪力的正负号规定
正的剪力
V V
负的剪力
V V
使脱离体顺时针为正
弯矩的正负号规定
正的弯矩
MM
上凹下凸
M
M
引起的变形 ——使梁下凸弯矩为正。
例1
求图示梁E截面的VE和ME 解：1.求支反力
下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸；
Q 图没有变化。
Q 图为斜直线，荷载向
下直线由左向右下斜
作 业
P. 106 6.4
再见
3.联线
几点说明：
K
1.作EF段的弯矩图 用简支梁叠加法
RB
RA 38 8
1.6m x
Q图(kN)
K
20
12
M图(kN· m) Mk
Mmax=32.4kn· N
2.剪力等于零截面K 的位置 QK=QE－qx=8－5x=0 x=1.6m 3.K截面弯矩的计算
qx 2 MK=ME+QE x－ 2 2 5 1 6 =26+8×1.6－ 2
第六章 基本静定梁的内力分析
目的：用图示法形象地表示出剪力Q、 弯矩M沿梁长变化的情况，梁的内力图 绘制是材料力学教学中的一个重点和难 点内容，熟练、正确地绘制内力图有助 于对杆件自身的受力分析及杆件的强度、 刚度和稳定性计算。
绘制内力图方法： 绘制梁内力图的方法有静力法、简捷法和叠加 法，其中简捷法是利用剪力、弯矩和载荷集度 之间的微分关系作图的一种简便方法，通常是 用来确定梁的危险截面作为强度计算的依据， 因此熟练把握简捷法作梁的内力图是十分必要 的。
ql FA FB 2
V
ql 2
FB
2. 作V、M 图
ql 2
M
ql 2 8
例7 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
R=200kN 160kN.m 20kN 20kN/m B 8m 2m RB=148kN
A
C 2m
RA=72kN
解：1. 支反力计算
M B 0, RA 10 160 20 10 3 20 2 0 M A 0, RB 10 160 20 10 7 20 12 0
2. 列 V , M 方程
V
Me l
Me V FA (0＜x＜ l ) l AC段
M ea l
Me M x l
(0 ≤ x < a )
CB段 M
M eb l
Me M (l x) (a < x≤l ) l
3. 画 V 、M 图
复
习
1、梁的内力（包括剪力和弯矩） 2、在已知梁外力的情况下，根据剪力、弯 矩、荷载三者之间的微分关系，掌握梁 内力图的大致形状。
RB=148kN （↑）
RA=72kN （↑）
例8 作剪力图和弯矩图（用简捷法）
160kN.m A C 2m RA=72kN 72 20kN
20kN/m
B 8m 2m RB=148kN 60 D
2.作剪力图和弯矩图
VB 72 20 8 88 kN VB 72 20 8 148 60 kN VD 20 kN
M A 0, RB 4 F1 1 F2 2.5 0 B 1 1.5m RB 24 1 80 2.5 56 kN 4 RB M B 0, RA 4 F1 3 F2 1.5 0
F1=24kN F2=80kN 1m
A
2m RA
F A B
x l V F
V =－F
（0 ＜ x＜l）
M =－F x
（0≤x＜l）
2. 作剪力图和弯矩图
注意：弯矩图画在受拉一侧 Fl
M
例2
q A B
作图示梁的V、M 图。 1. 解： 支反力计算
ql FA FB 2
x
FA l FB
2. 列 V、 M 方程
1 V ql qx (0＜x ＜ l ) 2 1 1 2 M qlx qx (0 ≤ x≤l ) 2 2
纵对称面
F1 F2
R1
轴线
R2
常见的三种静定梁
—— 简支梁
—— 悬臂梁
—— 外伸梁
二、梁的内力及计算
1）梁的内力 剪力 V
弯矩 M
F
Aபைடு நூலகம்
x
B
M V x
剪力V 弯矩M
RA
2)截面法计算梁的内力 F 剪力V ∑Fy=0, RA－V = 0 x V = RA RA RB 弯矩M y F O MM ∑MO=0,
斜直线
↓
↑
2）V 、M 图的若干规律 q=0 q=0
V﹥0 V= 0 V﹤0
V图
M图
V 、M 图的若干规律 q = 常数
q<0
q>0
V图 M图
抛物线
V、M 图的若干规律
集中力的影响
F
F ｛ F F ｛ 突变F
V图
M图
折角
V 、M 图的若干规律
集中力偶的影响
Me
Me
无影响
V图
M图
突变Me
V 、M 图的若干规律 V= 0的截面，必有Mmax 或 Mmin
M E RA 2 F1 1 48 2 24 1 72 kN.m
三、绘制梁的内力图——剪力图和弯矩图
1、静力法绘制剪力图和弯矩图
F
A B
x
l
剪力方程 弯矩方程
V=－F M =－F x （0≤x＜l）
坐标位置x的任意截面的剪力和弯矩 就是剪力方程和弯矩方程
1. 剪力方程和弯矩方程
Q图(kN) 由∑MB=0, 8 有 RA×8－20×9－30×7－5×4×4－10+16=0 12 得 20 RA=58kN（↑） 再由∑Y=0, 可得 20 RB MC=0,=20+30+5×4－58=12kN（↑） 16 m MA=－20×1=－20kN· 4 M图(kN· MD=－20×2+58×1=18kN· m) m 0 M =－20×3+58×2－30×1=26kN· m E 2 5 4 6 MF=12×2－16+10=18kN· 10m 8 MG左=12×1－16+10=6kN· m 18 18 MG右=12×1－16=－4kN· MB左=－16kN· m m 26