专题15 计数原理与排列组合、二项式定理易错分析【正解】一、混淆二项式系数与项的系数致错1．523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10B ．20C ．90D ．80【错解】A ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=, 所以523x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为2510C =，故选A.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】C ，由题可得()5210315533rrrr r r r T C xC x x --+⎛⎫== ⋅⋅⎪⎝⎭⋅⋅ 令103r 4-=,则r 2=,所以22553390r r C C ⋅⋅==，故选C.2、()11a b -的展开式中,系数最大的项是第 项 【错解】6或7，()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C,第7项的系数为611C ,又511C =611C ，所以数最大的项是第6或7项.【错因】错把二项式系数当成项的系数。

【正解】()11a b -的展开式中共12项,第6项的系数为511C -,第7项的系数为611C ,所以数最大的项是第7项.二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r 项致错3、二项式62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第二项是（ ） A ．260xB ．260x -C ．412xD ．412x -【错解】展开式的通项为()662C rrrx x -⎛⎫- ⎪⎝⎭,令2r =,可得展开式的第二项为22462C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=260x .故选A.【错因】误认为第二项是2r =而错误【正解】展开式的通项为()6162Crrr r T x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭,令1r =,可得展开式的第二项为11562C x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=412x -.故选D.三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错 4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为（）A ．2264A CB ．22642A CC ．2264A AD ．262A【错解】选A ，先将4名学生均分成两组方法数为24C ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为2246C A ．【错因】该题为均匀分组，忽略除以22A 而错误.【正解】先将4名学生均分成两组方法数为2422C A ,再分配给6个年级中的2个分配方法数为26A ,根据分步计数原理合要求的安排方法数为224622C A A ．故选B ．5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）A ．72B ．108C ．216D ．432【错解】A ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421333C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213333C C C A A 72A ⋅⋅=种不同的分配方案.【错因】该题为部分均匀分组，应除以22A ，而不是33A .【正解】C ，根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有2113421322C C C A A ⋅种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有23A 种分法，所以共有211324213322C C C A A 216A ⋅⋅=种不同的分配方案.四、计数时混淆有序与定序6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有________种． 【错解】1010A ，原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法有1010A 种．【错因】忽略了不改变原来的节目顺序这一条件，即原来的七个节目是定序的。

【正解】原先七个节目的不同安排方法共有77A 种，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，先将这十个节目进行全排列，不同的排列方法有1010A 种，而原先七个节目的顺序一定，故不同的安排方式共有101077A A ＝720(种)．7、身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有（）A ．5040种B ．720种C ．240种D ．20种【错解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有36A 120=种排法,第二步：排右边,有33A 种排法,根据分步乘法计数原理,共有1206720⨯=种,故选B ．【错因】混淆有序与定序【正解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,因顺序固定有3620C =种排法,第二步：排右边,因顺序固定,有1种排法,根据分步乘法计数原理,共有20120⨯=种,故选D ．五、混淆排列与组合导致计数错误8．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是( )A ．1 260B ．2 025C ．2 520D ．5 040【错解】先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有21110875040A A A =种．故选A.【错因】本题是组合问题，是无序的，不是排列问题。

【正解】选C ，先从10人中选出2人承担甲任务；再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务．根据分步乘法计数原理，不同的选法共有C 210C 18C 17＝2 520种．故选C.六、考虑问题不全面导致漏计出错9、如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为( )A ．10B ．40C ．44D ．70【错解】选B ，由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数，则3个数都为奇数，共有C 35＝10种方法；所以满足题意的方法共有10种．【错因】没有考虑两偶一奇的情况，【正解】选B ，由题意可知，阴数为2,4,6,8，阳数为1,3,5,7,9，若选取3个数的和为奇数，则有两类：一类是3个数都为奇数，共有C 35＝10种方法；另一类是两偶一奇，共有C 24C 15＝30种方法，所以满足题意的方法共有10＋30＝40种．故选B.10．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法．(用数字作答)【错解】42，5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则按3,1,1住，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)．【错因】没有考虑按2,2,1住的情况，【正解】114，5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有3,1,1和2,2,1两种．当为3,1,1时，有C 35·A 33＝60(种)，A ，B 住同一房间有C 13A 33＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为2,2,1时，有C 25C 23A 22×A 33＝90(种)，A ，B 住同一房间有C 23A 33＝18(种)，故有90－18＝72(种)．根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)． 11、若{},1,2,3,4,8,9a b ∈,则log a b 可表示________个不同的实数。

【错解】当1,1a b ≠=时log 0a b = ；当1a b =≠时log 1a b =,当,a b 不相等且均不为1时满足条件的实数个数为2520A =,所以log a b 可表示22个不同的实数.【错因】忽略24log 3log 9=,392349log 2log 4,log 4log 9,log 2log 3===.【正解】当1,1a b ≠=时log 0a b = ；当1a b =≠时log 1a b =,当,a b 不相等且均不为1时,由,a b 可组成4520A =个对数式,其中24log 3log 9=,3923log 2log 4,log 4log 9,==所以log a b 可表示20个不同的实数.七、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错12．已知3()n x x+的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中4x 项的系数是_____．【错解】令1x =，则4n ＝256，则n ＝4，43()x x+的展开式的通项为T r ＋1＝442443()3r r r r r r C x C x x--=⋅⋅(r ∈N *，r ≤4)，由4－2r ＝4得r ＝0，所以所求展开式中4x 项的系数是00431C ⋅=.【错因】混淆二项式系数之和与所有项系数之和，本题是说3()nx x+的展开式中各项的二项式系数的和为256，【正解】依题意2n ＝256，则n ＝8，83()x x+的展开式的通项为T r ＋1＝882883()3r r r r r r C x C x x--=⋅⋅(r ∈N *，r ≤8)，由8－2r ＝4，得r ＝2，所以所求展开式中4x 项的系数是2283C ⋅＝252.八、利用分步乘法原理计数,分步标准错误13、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有( ) A ．24种 B ．4种 C ．43种 D ．34种【错解】因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3×3×3×3＝34(种)投法． 【错因】没有考虑每个球只能投入一个盒子中,导致错误【正解】第1个球投入盒子中有4种投法；第2个球投入盒子中也有4种投法；第3个球投入盒子中也有4种投法．只要把这3个球投完,就做完了这件事情,由分步乘法计数原理可得共有43种方法．九、混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错14、若⎝⎛⎭⎫x ＋24x n 展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项第________项．【错解】5或6，展开式的通项为T k ＋1＝2k C k n x4n k23－，由题意可得，20C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＝163，解得n ＝9.则展开式中共有10项，且第5项、第6项为二项式系数最大的项。