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易错点17 双曲线答案-备战2023年高考数学易错题

易错点17 双曲线易错点1:焦点位置不确定导致漏解 要注意根据焦点的位置选择双曲线方程的标准形式,知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系:易错点2:双曲线的几何性质,渐近线、离心率、焦半经、通径; 易错点3:直线与双曲线的位置关系(1)忽视直线斜率与渐近线平行的情况;(2)在用椭圆与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零?判别式的限制.(求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在下进行).题组一:定义与标准方程1.(2015福建理)若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于( )A .11B .9C .5D .3 【答案】B【解析】由双曲线定义得,即,解得,故选B . 2.(2019年新课标1卷)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -,2(1,0)F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为( ) A .2212x y +=B .22132x y +=C .22143x y +=D .22154x y +=【答案】B【解答】∵22||2||AF F B =,∴23AB BF =, 又1||||AB BF =,∴|BF 1|=3|BF 2|, 又|BF 1|+|BF 2|=2a ,∴|BF 2|=2a , ∴|AF 2|=a ,|BF 1|=32a , 在Rt △AF 2O 中,cos ∠AF 2O =1a, 1226PF PF a -==236PF -=29PF =在△BF 1F 2中,由余弦定理可得cos ∠BF 2F 1=223422222a a a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯, 根据cos∠AF 2O +cos∠BF 2F 1=0,可得214202a a a-+=,解得a 2=3,∠a =b 2=a 2﹣c 2=3﹣1=2.所以椭圆C 的方程为22132x y +=故选:B .3.(2017新课标Ⅲ理)已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点,则C 的方程为 A .221810x y -= B .22145x y -= C .22154x y -= D .22143x y -= 【答案】B【解析】由题意可得:b a =3c =,又222a b c +=,解得24a =,25b =, 则C 的方程为2145x y 2-=,故选B . 4.(2016年新课标1卷)已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( ) A.(-1,3) B.(-1,3) C.(0,3) D.(0,3) 【答案】A【解析】由题意知c=2,()()2224=3,1m n m n m ++-=解得,因为方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线, 所以()()()()2230,130m n m n n n +->+->可得 解得-1<n<3,故选A.题组二:焦点三角形5.(2020·新课标∠文)设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点,O 为坐标原点,点P在C 上且||2OP =,则12PF F △的面积为( ) A .72B .3C .52D .2【答案】B【解析】由已知,不妨设12(2,0),(2,0)F F -, 则1,2a c ==,∵121||1||2OP F F ==,∴点P 在以12F F 为直径的圆上, 即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形,故2221212||||||PF PF F F +=, 即2212||||16PF PF +=,又12||||22PF PF a -==,∴2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ,解得12||||6PF PF =,∴12F F P S =△121||||32PF PF =,故选B . 6.【2020年高考全国Ⅲ卷理数11】已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点12,F F ,离心率为5.P 是C 上的一点,且P F P F 21⊥.若21F PF ∆的面积为4,则=a ( )A .1B .2C .4D .8 【答案】A 【解析】解法一:5ca=,c ∴=,根据双曲线的定义可得122PF PF a -=, 12121||42PF F PF F S P =⋅=△,即12||8PF PF ⋅=, 12F P F P ⊥,()22212||2PF PF c ∴+=,()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=,即22540a a -+=,解得1a =,故选A .解法二:由题意知,双曲线的焦点三角形面积为2tan 221θb S F PF =.∴︒45tan 2b =4,则2=b , 又∵5==ace ,∴1=a . 解法三:设n PF m PF ==21,,则421==mn S F PF ,a n m 2=-,5,4222===+ace c n m ,求的1=a .7.(2015全国1卷)已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上的一点,12,F F 是C 上的两个焦点,若120MF MF <,则0y 的取值范围是( )A.⎛⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭D.⎛ ⎝⎭【答案】A【解析】法1:根据题意12,F F的坐标分别为()),,所以()()1002003,,3,,MF x y MF xy =---=--所以()()2221200000003,,3310MF MF x y x y x y y ⋅=-⋅-=-+=-<所以033y -<<.故选A. 秒杀法2:012==90F MF θ∠当 当由等面积得:33y ⇒y 212tan00212===F F b S θ 因为120MF MF <,所以12F MF ∠为钝角,根据变化规律,可得3333-0<<y 故选A.8.(2016全国II 理)已知1F ,2F 是双曲线E :22221x y a b-=的左、右焦点,点M 在E 上,1MF 与x 轴垂直,211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为( )AB .32C D .2 【答案】A【解析】设1(,0)F c -,将x c =-代入双曲线方程,得22221c y a b -=,化简得2by a=±,因为211sin 3MF F ∠=,所以222212112||tan ||222b MF b c a a MF F F F c ac ac -∠=====12222c a e a c e -=-=,所以210e --=,所以e =A . 题组三:渐进线9.(2019全国3卷)双曲线的右焦点为,点在的一条渐近线上,为22:142x y C -=F P C O坐标原点,若,则的面积为ABC.D.【答案】A【解析】双曲线的右焦点为,渐近线方程为:,不妨设点在第一象限,可得,,所以的面积为:,故选A.10.(2018全国2卷)双曲线22221(0,0)-=>>x ya ba bA.=y B.=yC.2=±y x D.=y x【答案】A【解析】解法一由题意知,==cea,所以=c,所以==b,所以=ba=±=by xa,故选A .解法二由===cea,得=ba,所以该双曲线的渐近线方程为=±=by xa.故选A.11.(2017天津理)已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F,.若经过F和(0,4)P两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为A.22144x y-=B.22188x y-=C.22148x y-=D.22184x y-=【答案】B【解析】设(,0)F c-,双曲线的渐近线方程为by xa=±,由44PFkc c-==-,由题意有4bc a=,又ca=222c a b=+,得b=,a=,故选B.12.(2015新课标1文)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲||||PO PF=PFO∆()22:142x yC-=F2y x=±P tan2POF∠=P PFO△124=)3,4(xy21±=线的标准方程为 .【答案】2214x y -=【解析】∵双曲线的渐近线方程为,故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>,又双曲线过点,∴2244λ-=,∴1λ=,故双曲线的方程为2214x y -=. 题组四:离心率13.(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点,P 为C 上一点,且121260,3F PF PF PF ∠=︒=,则C 的离心率为 ( )A.2B.2CD【答案】A 【解析】因为213PF PF =,由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==,所以2PF a =,13PF a =;因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒,整理可得2247c a =,所以22274a c e ==,即2e =.故选:A14.(2021全国乙卷理科)设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点,若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤,则C 的离心率的取值范围是( )A.2⎫⎪⎢⎪⎣⎭B .1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.0,2⎛ ⎝⎦D .10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】设()00,P x y ,由()0,B b ,因为2200221x y a b+=,222a b c =+,所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0b y b -≤≤,当32bb c-≤-,即22b c ≥时,22max 4PB b =,即max 2PB b =,符合x y 21±=)3,4(题意,由22b c ≥可得222a c ≥,即202e <≤; 当32b b c->-,即22b c <时,42222max b PB a b c =++,即422224b a b b c ++≤,化简得,()2220cb-≤,显然该不等式不成立.故选:C .15.(2019全国1卷)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B =,则C 的离心率为 . 【答案】2【解析】如图,1F A AB =,120F B F B =,∴OA ⊥F1B , 则F 1B :()a y x c b =+①,渐近线OB 为by x a=② 联立①②,解得B 22222,a c abc b a b a ⎛⎫⎪--⎝⎭, 则222212222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 222222222a c abc F B c b a b a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭, 又2221212F B F B F F +=,所以2222222222222224a c abc a c abc c c c b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 整理得:22222223,3,4b a a a a c 所以c 即=-==,故C 的离心率为2ce a== 16.(2019全国2卷)设为双曲线的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆交于,两点,若,则的离心率为( ). A .B .C .2D .【答案】AF 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>O OF 222x y a +=P Q ||||PQ OF =C【解析】法1:由题意,把代入,得,再由,得,即,所以,解得.故选A .法2:如图所示,由可知为以 为直径圆的另一条直径, 所以,代入得, 所以,解得.故选A .法3:由可知为以为直径圆的另一条直径,则,.故选A . 题组五:距离17.【2020年高考北京卷12】已知双曲线22:163x y C -=,则C 的右焦点的坐标为________;C 的焦点到其渐近线的距离是__________.【答案】(3,0),3【解析】∵双曲线22163x y -=,∴26a =,23b =,222639c a b =+=+=,∴3c =,∴右焦点坐标为(3,0),∵双曲线中焦点到渐近线距离为b ,∴3b =.18.【2018·全国Ⅲ文】已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2,则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 A .2B .2C .322D .22【答案】D 【解析】21()2c b e a a==+=,1b a ∴=,∴双曲线C 的渐近线方程为0x y ±=,∴2c x =222x y a +=2224c PQ a =-PQ OF =2224ca c -=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF ,22cc P ⎛⎫±⎪⎝⎭222x y a +=222a c =222c a=2c e a ==PQ OF =PQ OF 12222OP a OF c==⋅=2c e a ==点(4,0)到渐近线的距离d ==,故选D . 19.(2018全国1卷)已知双曲线C :x 23 - y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若ΔOMN 为直角三角形,则|MN|=____. 【答案】3【解析】因为双曲线2213-=x y的渐近线方程为=±y x ,所以60∠=MON .不妨设过点F 的直线与直线3=y x 交于点M ,由∆OMN 为直角三角形,不妨设90∠=OMN ,则60∠=MFO ,又直线MN 过点(2,0)F ,所以直线MN的方程为2)=-y x ,由2)⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x,得322⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩x y,所以3(2M ,所以||==OM|||3==MN OM . 20.【2020年高考浙江卷8】已知点()()()0,0,2,0,2,0O A B -.设点P 满足–2PA PB =,且P为函数y =OP =( )A.2 B.5CD【答案】D【解析】由条件可知点P 在以,A B 为焦点的双曲线的右支上,并且2,1c a ==,∴23b =,方程为()22103y x x -=> 且点P 为函数y =上的点,联立方程()22103y x x y ⎧-=>⎪⎨⎪=⎩,解得:2134x =,2274y =,OP ∴==,故选D .1.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB =C 的实轴长为( )B. 4 D.8 【答案】C【解析】设等轴双曲线C:2220x y a a ,x y 162=的准线:4l x因为C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点,AB = 所以4,23,4,23AB ,将A 点代入双曲线方程得2224234,2,24a a a 所以,故选C.2.双曲线的渐进线方程为x y 21±=,且焦距为10,则双曲线方程为( ) A.152022=-y x B.120522=-y x 或152022=-y x C.120522=-y x D.1|520|22=-y x 【答案】D【解析】当焦点在x 轴时,渐进线方程为x y 21±=, 所以2221,210,2b c a b c a 又,解得25,5a b,所以双曲线的方程为221205x y .焦点在y 轴时,渐进线方程为x y 21±=, 所以2221,210,2a c abc b 又,解得5,25a b,所以双曲线的方程为221205x y .故选D.3.已知双曲线E 的中心为原点,(3,0)F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且AB 的中点为(12,15)N --,则E 的方程式为( )A.22136x y -=B.22145x y -=C.22163x y -= D.22154x y -= 【答案】B【解析】由双曲线E 的中心为原点,(3,0)P 是E 的焦点可设双曲线的方程为2222221(9)x y a b a b -=+=,设1122(,),(,)A x y B x y ,即 2222112222221,1x y x y a b a b -=-= 则22121222121212015115312y y x x b b x x a y y a -+-+=⋅=⋅==-+-+,则22225,5,44b b a a ===,故E 的方程式为22145x y -=.应选B . 4. 已知双曲线C :)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为25,则C 的渐近线方程为( )A.x y 41±=B.x y 31±=C.x y 21±= D.x y ±= 【答案】C【解析】由题意22511,22c b b e a a a 得==+==,所以C 的渐近线方程为,21x a b y ±=±=故选C. 5. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.3B.3C.3mD.3m 【答案】A【解析】由C:223(0)x my m m -=>得2221,33,33,33x y c m c m m -==+=+ ()33,0,Fm 设+33y x m一条渐近线为=即0x m y -=, 则点F 到C 得一条渐近线得距离333,1m d m+==+故选A.6.P 是双曲线右支上的一点,F 1、F 2分别是左、右焦点,且焦距为2c ,则的内切圆的圆心的横坐标为 . 【答案】x=a【解析】如图所示:()()12,0,,0F c F c -,设内切圆与x 轴的切点是点H ,PF 1,PF 2与内切圆的切点分别为M 、N ,由双曲线定义有|PF 1|-|PF 2|=2a ,由圆的切线长定理知, |PM|=|PN|,所以|MF 1|-|NF 2|=2a ,即|HF 1|-|HF 2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为x ,)0,0(12222>>=-b a by a x 21F PF ∆则点H 的横坐标为x ,所以(x+c)-(c -x)=2a ,得x=a.7.已知F 1、F 2为双曲线C :122=-y x 的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为________.【解析】法1:设12,,PF m PF n m n 不妨设==>,可知1,1,a b c ===,根据双曲线定义222,24m n a m n mn 即-=+-=①, 在ΔPF 1F 2中,根据余弦定理22201212122cos60,F F PF PF PF PF =+-228m n mn 即+-=②联立①②得4mn =,设P 到x 轴得距离为h ,则011sin 60,22h mn h ⨯==所有秒杀法2:由等面积得:4⇒3πsin 2132θtan 21212====PF PF PF PF b S设P 到x 轴得距离为h ,01211sin 60,22h PF PF h 所有⨯==8.已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,∆ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为_____.【解析】根据题意,设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>,不妨设点M 在第一象限,所以|AB|=|BM|=2a,∠MBA=1200,作MH ⊥x 轴于点H ,则∠MBH=600,故|BH|=a,(),2,MH M a =将点M 代入()222210,0x y a b a b-=>>得a=b,所以e =9.若双曲线C:22221x y a b-=(0a >,0b >)的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,则C 的离心率为___.【答案】2【解析】双曲线C 的渐近线方程为0bx ay ±=,圆心(2,0)到渐近线的距离为2bd c==,圆心(2,0)到弦的距离也为d ==所以2b c =222c a b =+,所以得2c a =,所以离心率2ce a== 10.设F 1,F 2是双曲线C: x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P .若|PF 1|=6|OP|,则C 的离心率为_____.【解析】法1:不妨设一条渐近线的方程为by x a=, 则2F 到by x a =的距离d b ==, 在2Rt F PO ∆中,2||F O c =,所以||PO a =,所以1||PF =,又1||F O c =,所以在1F PO ∆与2Rt F PO ∆中,根据余弦定理得22212)cos cos 2a c aPOF POF ac c+-∠==-∠=-,即2223)0a c +-=,得223a c =.所以ce a==. 法2:选C 设P(t,- b a t),∵PF 2与y=- ba x 垂直,∴-bt a(t-c)=a b ,解得t=a 2c 即P(a 2c ,- abc ) ∴|OP|=(a 2c )2+(-ab c)2=a ,|PF 1|=(a 2c +c)2+(-ab c)2,依题有(a 2c +c)2+(- ab c )2=6a 2,化简得c 2=3a 2,即c e a ==。

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