一、有理数的运算（1）有理数的加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数.（2）有理数的减法：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b -=+-（3）有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.（4）有理数的除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b a b ÷=⋅ （0b ≠ ）（5）有理数的乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.二、科学计数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做科学记数法．一、有理数的加法有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. ③一个数同0相加，仍得这个数. 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数的混合运算知识回顾知识讲解有理数加法的运算律：+=+（加法交换律）①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.++=++（加法结合律）a b c a b c()()有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.二、有理数的减法有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算.有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果.注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.三、有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等. ab ba =（乘法交换律）②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等. ()abc a bc =（乘法结合律） ③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加. ()a b c ab ac +=+（乘法分配律）有理数乘法法则的推广：① 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.② 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.③ 在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算. 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数.四、有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.1a b a b÷=⋅，（0b ≠）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.五、有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在中，a 叫做底数，n 叫做指数，读作a 的n 次幂。

注意： ()()221221nn n n a a a a++-=-=-，，，六、科学计数法科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中110a ≤<，n 是整数），此种记法叫做科学记数法．例如：5200000210=⨯就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=⨯也是科学记数法表示数的形式．有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．如：0.00027有两个有效数字：2，7 ；1.2027有5个有效数字：1，2，0，2，7．n a注意：万410=，亿810=常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．记忆方法：移动几位小数点问题．比如：1800000要科学记数法，实际就是小数点向左移动到1和8之间，移动了6位，故记为61.810⨯．七、有理数的混合运算要正确掌握运算顺序，即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．一、有理数的加法【例1】 计算下列各题：（1）（一11）+（一9）； （2）（一3.5）+（+7）； （3）（一1.08）+0；．（4）（23+）+（23-) （5）[（-22）+（-27）]+（+27）；（6）（-22）+[（-27）+（+27）]【变式练习】计算：（1）()()()()()-+++-+-++36475同步练习（2）()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..（3）+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪5751432527225914【例2】 小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃，调高4℃后的温度为（ ）A ．4℃B ．9℃C ．-1℃D ．-9℃【例3】 绝对值不大于10的所有整数的和等于（ ）A ．-10B ．0C ．10D ．20【例4】 已知a ，b ，c 的位置如图，化简：|a -b |+|b +c |+|c -a |= ______________二、有理数的减法【例5】 计算（1）(3)(5)--+ （2）()()+59-- 【变式练习】计算bca同步课程˙有理数的混合运算（1）21(4)(3)33-+-⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+【例6】 对于任何有理数a ，下列各式中一定为负数的是（ ）A ．()3a --+B ．a -C ．1a -+D ．1a --【例7】 a ，b 在数轴上的位置如图所示，则a ，b ，a +b ，a -b 中，负数的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例8】 两个数的差是负数，则这两个数一定是（ ）A ．被减数是正数，减数是负数B ．被减数是负数，减数是正数C ．被减数是负数，减数也是负数D ．被减数比减数小【例9】 如果a ，b 均为有理数，且b ＜0，则a ，a-b ，a +b 的大小关系是（ ）A ．a ＜a +b ＜a -bB ．a ＜a -b ＜a +bC ．a +b ＜a ＜a -bD ．a -b ＜a +b ＜a三、有理数的乘法【例10】下面计算正确的是（ ）A ．-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80B ．12×（-5）=-50C ．（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180D ．（-36）×（-1）=-36 【变式练习】 1337⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭316169⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________ba【变式练习】（1）4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）11171113()71113⨯⨯⨯++；（3）()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【例11】若两个有理数的和与积都是正数，则这两个有理数（ ）A ．都是负数B ．一正一负且正数的绝对值大C ．都是正数D ．无法确定【例12】a 、b 、c 为非零有理数，它们的积必为正数的是（ ）A ．0a >，b ．c 同号B ．0b >，a ．c 异号C ．0c >，a ．b 异号D ．a ．b ．c 同号【例13】已知|x |=3，|y |=2，且x •y ＜0，则x +y 的值等于（ ）A ．5或-5B ．1或-1C ．5或1D ．-5或-1【例14】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc ＜0 （2）|a -b |+|b -c |=|a -c | （3）（a-b ）（b-c ）（c-a ）＞0 （4）|a |＜1-bc 其中正确的命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个四、有理数的除法【例15】下列关于0的说法中，正确的个数是（ ）①0既不是正数，也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．b ac-11A ．1B ．2C ．3D ．4【例16】下列运算有错误的是（ ）A ．()()13333÷-=⨯-B ．()()15522⎛⎫-÷-=-⨯- ⎪⎝⎭ C ．8-（-2）=8+2 D ．2-7=（+2）+（-7）【变式练习】计算：（1）111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）231(4)()324+÷⨯÷-； （4）71()2(3)93-÷⨯+；【例17】两个有理数的商为正，则（ ）A ．和为正B ．和为负C ．至少一个为正D ．积为正数【例18】用“＞”或“＜”填空（1）如果0abc>，0ac <那么b _____ 0 ； （2）如果0a b>，0bc <那么ac _______0 .五、有理数的乘方【例19】计算：（1） （2）【例20】计算：【例21】观察下面三行数：3)4(-4)2(-)2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+-．．．．．…… ①．．．．．…… ②．．．．．…… ③（1）第①行按什么规律排列？（2）第②③行与第①行分别有什么关系？ （3）取每行第10个数求这几个数的和？六、科学计数法【例22】我国第六欢人口普查的结果表明，目前肇庆市的人口约为4050000人，这个数用科学记教法表示为（ ）A ．410405⨯ B ．51005.4⨯C ．61005.4⨯D ．71005.4⨯【例23】某种鲸的体重约为1.36×105kg ．关于这个近似数，下列说法正确的是（ ） A ．精确到百分位，有3个有效数字 B ．精确到个位，有6个有效数字 C ．精确到千位，有6个有效数字 D ．精确到千位，有3个有效数字【例24】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ）A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.05（精确到千分位）D ．0.050（精确到0.001）【例25】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》，总人口为1370536875人，这一数字用科学记数法表示为（ ）（保留四个有效数字） A ．91037.1⨯ B ．81037.1⨯ C ．910371.1⨯ D ．810371.1⨯七、有理数的混合运算【例26】计算（1）13502215⎛⎫+÷⨯-- ⎪⎝⎭ （2）()21110.5233⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ 2-48-1632-64066-1830-661-24-816-32同步课程˙有理数的混合运算（3）()()()22101423212125.0-⨯-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-（4）（－32 ）×（－1115 ）－32 ×（－1315 ）＋32 ×（－1415 ）八、有理数的大小比较【例27】下列各数中，比-1小的数是（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．2【例28】比较111234--，，的大小，结果正确的是（ ） A ．111234-<-< B ． 111243-<<-C ．111432<-<-D ．111324-<-<【例29】给出两个结论：（1）a b b a -=-，（2）1123->-．其中（ ）A ．只有（1）正确B ．只有（2）正确C ．（1）和（2）都正确D ．（1）和（2）都不正确【例30】a ，b ，c 在数轴上的位置如图．则在1a c b c a a---+，，，中，最大的一个是（ ）A ．a -B ．c b -C ．c a +D ．1a-bac -11【例31】若b ＜0，则a+b ，a ，a-b 的大小关系为（ ） A ．a+b ＞a ＞a-b B ．a-b ＞a ＞a+b C ．a ＞a-b ＞a+b D ．a-b ＞a+b ＞a【习题1】式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（ ）A ．2+1-3+2B ．-2+1+3-2C ．2-1+3-2D ．2-1-3-2【习题2】计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100= 1684_______【习题3】计算()74 1.6 2.54÷--÷之值为何（ ） A ．-1.1 B ．-1.8 C ．-3.2 D ．-3.9【习题4】下列判断：①若ab =0，则a =0或b =0；②若22a b =，则a =b ；③若22ac bc =，则a b =；④若a b =，则()()a b a b +⋅-是正数．其中正确的有（ ）A ．①④B ．①②③C ．①D ．②③【习题5】下列计算正确的是（ ）A ．113122-⨯=-B ．()32321---=C ．16363÷⨯=D ．()220051111324⎛⎫--= ⎪⎝⎭ 【习题6】下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）×|-3|=-6；（3）5÷ ×5=5；（4）23=6，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【习题7】已知|x |=0.19，|y |=0.99，且0<yx ，则x -y 的值为（ ） A ．1.18或-1.18 B ．0.8或-1.18 C ．0.8或-0.8 D ．1.18或-0.8【习题8】计算：-2-（-3）+（-8）+42= ______；（2）计算：（122)637+-×（-42）= ________. 【习题9】若a ．b ．c 在数轴上位置如图所示，则必有（ ）A ．abc ＞0B ．ab -ac ＞0C ．（a+b ）c ＞0D ．（a-c ）b ＞0【习题10】有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则在a +b ，a -b ，ab ，3a ，23a b 这五个数中，正数的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ． 5 c b a -2-1210ba 1-10课后练习【习题11】定义a※b=a b，则（1※2）※3=_________。