有理数除法、混合运算及科学记数法一、知识清单（一）探索新知亲爱的同学们，请试着填一填空：1、()51⨯=2、()51-⨯=3、()1112-⨯=4、()0.31⨯=-5、()116-⨯= 6、()41⨯=由以上6个小题，我们可以发现上述每个式子的两个数的乘积都为1。

（二）如果两个数的乘积为1，则两个数互为倒数。

由于11aa= (0)a ≠，所以当a 是不为0的有理数时，a 的倒数是1a 。

若a 、b 互为倒数，则ab ＝1。

如：13________3⨯=；1(2)_______2-⨯-=；（三）有理数的除法法则：1、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

如：9(2)9()_________÷-=⨯=。

2、 0除以任何一个不等于0的数，都得0；0不能作为除数。

3、 除以一个数等于乘这个数的倒数。

（转变成乘法）（四）有理数混合运算法则：1、先算乘方，再算乘除，最后算加减；2、同级运算，按照从左至右的顺序进行；3、如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。

如：计算：2(3)[(912)(7)]+-⨯+÷-=（五）科学记数法：把一个大于10的数记成“10na ⨯”的形式，其中a 是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。

如42 000 000＝4.2×710。

二、经典归纳1考点一 倒数【例1】填空：（1）20的倒数是________；（2）-1的倒数是________； （3）0的倒数是_________；（4）-113的倒数是_______；【例2】若一个数的相反数的倒数是31-，则这个数是 __________。

【例3】m 和n 互为相反数，p 和q 互为倒数，则3()+-m n pq 的值为_________。

【变式1】有理数-3的倒数是（ ）。

A ．-13B ．13C ．-3D ．3【变式2】一个数和它的倒数相等，则这个数是（ ）。

A ．1B ．-1C ．1±D ．1±和0【变式3】已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求2a +b +x -cdx 。

方法总结：倒数的求法1、求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a 的倒数为a1 2、求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即b a 的倒数为ab.3、求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再求倒数.4、求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，再求倒数.考点二 有理数除法【例1】化简下列分数：（1）312- （2）1624-- 解：()12123______3-=-÷=； 解：24______________16-==-。

【例2】计算：（1）728-＝______； （2）12144--＝______；（3）35÷（-7）＝______； （4）0÷991＝______； （5）⎪⎭⎫ ⎝⎛-53÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-2512＝______； （6）（-8）+4÷（-2）＝______；【变式1】计算：（1）()284-÷；解法一：()()284284-÷=-÷= ；解法二：()28________________-⨯=；（2）121______________555⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）64_____________255⎛⎫÷-== ⎪⎝⎭；【变式2】计算⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-1433274所得的结果应该是（ ）。

A ．494-B ．4C ．-4D ．494 方法总结：有理数的除法，给出了两种形式的法则，用不同的法则计算，所得的商是相同的，但一般情况下，如果不能整除的，则选用“转化”的法则，即把除法转化为乘法来计算，能整除的就直接用除法法则计算较简便，熟练运用除法法则计算也是重点.考点三 有理数加减乘除混合运算【例1】计算：（1）⎪⎭⎫⎝⎛-⨯÷-43875.3（2） 31111432⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）341125777⎛⎫⎛⎫÷-⨯÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3【例2】计算：（1）16(8)(4)-+-÷-（2）(7)(5)90(15)-⨯--÷-【例3】（1）3571491236⎛⎫ ⎪⎝⎭--+÷ （2）11124234⎛⎫÷+- ⎪⎝⎭【例4】计算：()[]⎪⎭⎫⎝⎛-÷+-⨯-⨯--328533835232【例5】已知9=-a ，且1=ab ，0+=a c ，求：()a b c +的值。

【变式1】 计算（1）（-7）×（-56）×0÷（-13） （2） 3.5÷（)323()154-⨯-；【变式2】计算：（1）311)2131(51254÷-⨯⨯； （2）3822120.2542155⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+÷-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；【变式3】（2）112263973⎛⎫⎛⎫-÷-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）1311641248⎛⎫-+-÷ ⎪⎝⎭【变式4】计算：222192411124⎛⎫-+-----÷ ⎪⎝⎭【变式5】如果规定符号“*”的意义是ba abb a +=*，求()234*-*的值。

(说明：ab 表示a 代表的数与b 代表的数的乘积)方法总结：混合计算技巧方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。

“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。

方法技巧2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。

当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。

含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。

在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。

方法技巧3：灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可5达到简化运算的效果。

凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

考点四 科学记数法【例1】用科学记数法表示：（1）＝ ，123.4＝ ，-＝ ； （2）2.653×107的原数是 。

【例2】德州市2011年实现生产总值（GDP ）1540亿元，用科学记数法表示应是（ ）A ．81054.1⨯元B ．91054.1⨯元C ．101054.1⨯元D ．111054.1⨯元【变式1】（1）科学记数法表示：-123.4＝ ，1020＝ ，-5678＝ 。

（2）6.3×103的原数是＝ ；用科学记数法表示6万 。

【变式2】过度包装既浪费资源又污染环境．据测算，如果全国每年减少10％的过度包装纸用量，那么可减排二氧化碳吨．把数用科学记数法表示为 。

方法总结：用科学记数法表示大数应注意一下几点1、10a 1＜≤ 2、当大数是大于10的整数时，10的指数n=整数位-1三、巩固练习（一）选择题1.下列运算中正确的是（ ）A ．()24124145120-+÷+=-⨯+=-B ．()()()()3021*******--+÷-=+÷-=÷-=- C ．()()2225255252550+-÷-=+=D ．()111127234⎛⎫--+⨯-=- ⎪⎝⎭2．下列运算中，正确的是（ ） A ．―15―5=－10 B ．()075.3433=+-⎪⎭⎫⎝⎛-C ．()1392=-÷-D ．()4.3114.373614.3743-=⨯--⨯3．下列各对数值相等的是（ ）。

A ．()52-和()52-- B ．()23--和()23- C ．232-⨯和232-⨯D ．()23--和()32--4.下列计算中正确的是（ ）。

A ．-9÷2 ×12＝-9 B ．6÷1132⎛⎫- ⎪⎝⎭＝-1C ．114-114÷56＝0 D ．-12÷14÷14＝-8 5．在算式()1____32-<-中的_____填入一种运算符号可使不等关系成立，则这个运算符号是（ ）。

A ．+B ．-C ．×D ．÷6．两个有理数a ，b 在数轴上的位置如图，下列四个式子中运算结果为正数的式子是（ ）。

A ．a +b B ．a -b C ．ab D ．ba7.已知|x | = 0.19，|y | =0.99，且xy< 0，则x –y 的值为（ ）。

A ．1.18或-1.18 B ．0.8或-1.18 C ．0.8或-0.8 D ．1.18或0.88.一个正整数a ，与其倒数a1，相反数–a ，相比较，大小关系正确的是（ ）。

A ．1-<a a a ≤ B ．–a <1a <a C ．1a>a >–a D ．–a ≤a ≤1a9.自上海世博会开幕以来，中国馆以其独特的造型吸引了世人的目光。

据预测，在会展期间，参观中国馆的人数估计可达到14 900 000，此数用科学记数法表示是（ ）。

-1 a 0 1 b7A ．61.4910⨯B ．70.14910⨯C ．714.910⨯D ．71.4910⨯（二）填空题1.计算：()()3218352-+-÷---= 。

2．计算：=⎪⎭⎫⎝⎛--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-654132361 。

3.（用“＞”，“＜”，“≥”，“≤”填空）若||a a = 1，则a ____0，若aa ||= -1，则a ____0。

4.一列等式如下排列：-2+25＝-4÷212，-3+310＝-9÷331，-4+417＝-16÷414，……，根据观察得到的规律，写出第五个等式： 。

（三）解答题1.计算：（1）8×⎪⎭⎫ ⎝⎛-52-（-4）÷⎪⎭⎫⎝⎛-92＋8×⎪⎭⎫ ⎝⎛-53；（2）()43140.1253(1)21944⎡⎤⎛⎫-⨯---÷÷⨯- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；（3）)5(7525-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-；2.计算：（1）()()32231.01.014397152-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯--（2）4325⨯－()7123⨯-+⨯2541+7623⨯ （3）]52)491(5.2[2.0122-⨯+--÷3.已知2,1=-=a b ，求22a ba b+-的值。