L2n + P = L2n PC L2 • P = C
5
2017/2/23
推论一：如果在偶次旋转轴上有对称中心，则必有一反映面 与旋转轴垂直相交于对称中心。
对称元素的组合：对称图形中具有两个（以上）对 称元素，通常用加号表示。如四次轴和对称中心的组 合表示为：4 i。
显然，如果对称图形具有两个（以上）对称元素， 它们的连续操作必定为复合对称操作。
镜转轴（象转轴）：图形绕一直线旋转一定角度后， 再以垂直于该直线的平面进行反映，相应的对称动 作为旋转和反映的复合操作。
反映面的惯用符号：P；国际符号：m；圣佛里斯符号：Cs
1
反映面的极射赤面投影
2017/2/23
立方体中的反映面
反映操作联系起来的两部分互为对映体。如晶体自身 存在反映面，该晶体不存在对映体。
九个反映面
六个反映面
三个反映面
对称中心的极射赤面投影
对称中心(centre of symmetry/inversion centre)：对称物体或 图形中，存在一定点，作通过该点的任意直线，在直线上 距该点等距离两端，可以找到对应点，则该定点即为对称 中心。相应的对称操作为反演。
第二章 晶体的宏观对称性
第一节 对称性基本概念 第二节 晶体的宏观对称元素 第三节 宏观对称元素组合原理 第四节 晶体的三十二点群
2017/2/23
点阵格子
晶胞
（等效）晶向指数
（等效）晶面指数
第一节 对称性基本概念
对称– 物体或图形的相同（equivalent）部分有规律的 重复。
对称动作（操作）– 使物体或图形相同部分重复出现 的动作。
C i(Ci)
1
P
L3i L4i L6i
Cs
C3i S4 C3h
m 346
图示
双线或 粗线
4
第三节 宏观对称元素组合原理
• 反映面之间的组合 • 反映面与旋转轴的组合 • 旋转轴的组合
2017/2/23
定理一：两个反映面相交，交线必为旋转轴，其基 转角为反映面交角的二倍。
Ln A1
A3
A2
m1
m2
任何图形在旋转一周（360o）必然自相重复，因此有： 360/ = n n正整数
n表示图形围绕旋转轴旋转一周过程中，图形相同部分 重复的次数，因此n定义为旋转轴的轴次。
2017/2/23
晶体的对称性定律：晶体只能出现1，2，3，4，6 次旋转轴。
m’a = ma + 2acos = ma + 2acos(2/n) cos(2/n) = (m’-m)/2 = M/2 M = 0, 1, 2, -1, -2
对称元素（要素）– 对称动作所借助的几何元素（点、 线、面等）。
阶 – 物体或图形通过全部对称操作得到的相同部分的 数目。
晶体的平移周期性是晶体对称性的一种，它表现为晶 体的结构基元在三维晶体空间的平移复原（对称操作 为平移）。结构基元/晶胞中原子排列的几何规律导致 晶体的对称性也包含非（完全）平移的对称操作，使 得宏观晶体具有不同的外观及形状特征。
晶体外形（外观和形状）的对称性为宏观对称性，晶 体内部结构原子或离子排列反映的对称性为微观对称 性。前者是有限大小宏观晶体具有的对称性，后者是 无限晶体结构具有的对称性。两者本质上是统一的， 微观对称性是晶体的本征性质，宏观对称性是微观对 称性的外在表现。晶体的对称必须满足晶体对称性定 律。
第二节 晶体的宏观对称元素
• 宏观对称元素(symmetry element)和对称操作 (symmetry operation)
对称动作类型
简单 复合
对称元素
反映面 对称中心 旋转轴
反轴
对称操作
反映 反演 旋转 旋转反演
反映面(reflection/mirror plane)：对称物体或图形中，存在一 平面，作垂直于该平面的任意直线，在直线上距该平面等距 离两端上必定可以找到对应的点。这一平面即为反映面。相 应的对称操作为反映。
对称中心的惯用符号：C；国际符号：1；圣佛里斯符号：Ci
立方体中的对称中心
有
无
有
2
旋转轴(rotation axis)：物体或图形中存在一直线，当图形 围绕它旋转一定角度后，可使图形相同部分复原，此直线 即为旋转轴。相应的对称操作为旋转。
在旋转过程中，能使图形相同部分复原的最小旋转角 称为该对称轴的基转角（）。
一次镜转轴为反映面 二次镜转轴为对称中心 三次镜转轴为三次轴和反映面的组合（六次反轴） 四次镜转轴为四次反轴 六次镜转轴为三次轴和对称中心的组合（三次反轴）
对称元素
宏观对称元素
旋转轴
对称中 反映面 心
12346
1
2
反轴 346
惯用符号 L1 L2 L3 L4 L6
圣佛里斯 符号
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ国际符号
C1 C2 C3 C4 C6 12346
4(2’)
3(1’)
先旋转后反演
先反演后旋转
2017/2/23
三个四次反轴 四个三次轴
三个二次轴 四个三次轴
反轴类型及其极射赤面投影
2=m
3=3+i
4=4•i
6=3+m
复合对称操作和对称元素的组合的区别
复合对称操作：两个（以上）的对称操作连续进行， 对称图形中不一定具有这些对称操作相应的对称元素， 复合对称操作通常用点乘符号表示。如四次轴的旋转 和对称中心的反演的连续操作表示为：4 i。
推论：基转角为2的旋转轴可以分解为两个夹角 为的反映面的连续操作。 P1 • P2 = Ln
定理二：如果有一反映面穿过一n次旋转轴，则必同时 有n个反映面穿过此旋转轴。
Ln + P/ = Ln nP/
P Ln = P P1 P2 = I P2 = P2
定理三：偶次旋转轴和反映面垂直相交，交点为对称 中心。
= 0(360), 180, 120, 90, 60; n = 1, 2, 3, 4, 6
惯用符号：L1 L2 L3 L4 L6 国际符号：1 2 3 4 6 圣佛里斯符号: C1 C2 C3 C4 C6
旋转轴的极射赤面投影
立方体中的旋转轴 三个四次轴，四个三次轴，六个二次轴
三个二次轴，四个三次轴
3
反轴(inversion/rotainversion axis)：物体或图形中存在 一直线，当图形绕直线旋转一定角度后，再继之以对 此直线上的一个定点进行反演，其最后结果可使图形 相同部分重合。相应的对称操作为旋转和反演的复合 对称操作。
1(2’)
2(3’)
1(3’)
2(4’)
4(1’)
3(4’)