导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤：① 确定定义域（易错点）②求导函数 f '(x)③对 f '( x) 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.④ f '( x) 中 x 的最高次系数是否为 0，为 0 时求出单调区间 .例 1： f ( x)a x 3 a 1 x 2 x ，则 f '( x)(ax 1)( x 1) 要首先讨论 a 0 情况3 2⑤f '( )最高次系数不为 0，讨论参数取某范围的值时， 若 f '(x)0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递增；x 若 f '(x) 0 ，则 f ( x) 在定义域内单调递减 .例2：f (x)a x 2 ln x ，则 f '( x) =ax 2 1, ( x0) ，显然 a0时 f '( x) 0 ，此时 f (x) 的2 x单调区间为 (0,) .⑥f '( )最高次系数不为 0，且参数取某范围的值时，不会出现f '(x)0 或者 f '( x) 0 的情况x求出 f '( x) =0 的根，（一般为两个） x 1 , x 2 ，判断两个根是否都在定义域内 . 如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段 .若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数 . 则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即 x 1x 2 , x 1 x 2 , x 1 x 2 .例 3: 若 f ( x)a x 2 (a 1)x ln x, (a 0) ，则 f '( x) ( ax 1)( x 1) ， (x 0) 解方程 f'( x) 2 1 x0 得 x 11, x 2aa 0时，只有 x 1 1 在定义域内 .a 0 时 , 比较两根要分三种情况： a 1,0 a 1, a 1用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论f'( x) 在每个子区间内的正负，求得f (x)的单调区间。

（ 1）求函数的单调区间1.已知函数f ( x) ln( x 1) x k x2 (k 0)2（Ⅰ）当 k 2 时，求曲线y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程. （Ⅱ）求 f ( x) 得单调区间.2. 已知函数 f ( x) ax 2 4ln x ， a R .（Ⅰ）当 a 1时，求曲线y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；2（Ⅱ）讨论 f ( x) 的单调性.3. 已知函数f ( x) ( x a)sin x cosx, x (0, ) .（Ⅰ）当 a πf ( x) 值域；时，求函数2（Ⅱ）当 a πf ( x) 的单调区间.时，求函数2e x 1，其中 a R .4．已知函数f (x)4x 4ax2（Ⅰ）若 a 0 ，求函数 f (x)的极值；（Ⅱ）当 a 1 时，试确定函数 f ( x) 的单调区间. （二）求函数在给定的区间的最值问题5．已知函数f ( x) ax 2 1 (a 0) ， g( x) x3 bx .（Ⅰ）若曲线 f (x) 与 g(x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公切线，求（Ⅱ）当 a 2 4b 时，求函数 f (x) g( x) 的单调区间，并求其在6．已知函数f ( x) 1 ax2 ln x ，a R ．2（Ⅰ）求函数 f ( x) 的单调区间；a,b 的值.( , 1) 上的最大值.（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间[1,e] 的最小值为 1，求a的值．7. 已知函数f xln x ax 2 bx（其中 a, b 为常数且 a 0）在x 1处取得极值.( )（Ⅰ）当 a 1 时，求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间[0,e] 上的最大值为 1，求a的值 .8．已知函数f ( x) x1ax 2ln(1 x) ，其中 a R .2（Ⅰ）若 x2 是 f ( x) 的极值点，求 a 的值；（Ⅱ）求 f ( x) 的单调区间；（Ⅲ）若 f ( x) 在 [0,) 上的最大值是 0 ，求 a 的取值范围 .9. 已知 f ( x)1ax 2x ln(1 x) ，其中 a 0 ．2( Ⅰ ) 若函数 f (x) 在点 (3, f (3)) 处切线斜率为 0 ，求 a 的值；( Ⅱ ) 求 f ( x) 的单调区间； ( Ⅲ ) 若 f ( x) 在 0,上的最大值是 0 ，求 a 的取值范围．10. 设函数 f (x)e x ax ， xR ．（Ⅰ）当 a2 时，求曲线 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f ( x) 0 ；（Ⅲ）当 a1 时，求函数 f ( x) 在 [0, a] 上的最大值．二、恒成立问题的几种问法：1．对于x a, b ， f ( x) k 恒成立，等价于函数 f ( x) 在 a, b2．对于xa, b ， f ( x)a 恒成立，等价于函数f ( x) 在 a, b上的最小值 f (x)mink . 诉讼上的最大值 f (x)maxk .3. 对于 x , xa,b ， f ( x )g( x ) ，等价于f ( x) 在区间 a,b 上的最小值f ( x)min ，大于等于g( x)1212在区间 a,b 上的最大值 g( x)max ，即 f ( x) min g( x) max .4. 对于x 1 , x 2 a,b ， f (x 1 ) g (x 2 ) ，等价于 f (x) 在区间 a, b 上的最大值 f (x) max ，小于等于 g( x)在区间 a,b 上的最小值 g( x)min ，即 f (x) max g( x) min .5. 对于 xa, b ， f ( x) g( x) ，等价于构造函数h( x) f ( x) g( x) ， h(x) 在区间 a, b 上的最小值h( x) min 0 .6. 对于 x a, b ， f ( x) g( x) ，等价于构造函数 h( x) f ( x)h( x) max0 .7. f (x) 在区间 a, b 上单调递增，等价于 f '( x) min 0, x a, b 8.f (x) 在区间a, b 上单调递减，等价于 f '(x) max 0, x a,bg( x) ， h(x) 在区间 a, b 上的最大值..x1. 已知函数 f ( x) ( x k) 2 e k .（Ⅰ）求 f ( x) 的单调区间 .（Ⅱ）若对于任意的 x (0,) ，都有 f (x)1，求 k 的取值范围 .xe在点 (1,0) 处的切线 .2. 设 l 为曲线 C: yln x（Ⅰ）求 l 的方程 .（Ⅱ）证明：除切点外，曲线 C 在直线 l 下方 .3. 已知函数 f ( x)x cos x sin x ， x0,2（Ⅰ）求证： f (x) 0（Ⅱ）若 asin x b 在 0, 上恒成立，求 a 的最大值和 b 的最小值 .x25. 已知 a 0 ，函数 f ( x)ax 2a ， g( x) a ln xx a .x21（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的 x 1, x 2 (0,e) ，都有 f (x 1) g (x 2 ) .6. 已知函数 f ( x)e 2 x 1ax1 ， a R ．（Ⅰ）若曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ey 1 0 垂直，求 a 的值；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅲ）设 a2e 3 ，当 x [0, 1] 时，都有 f ( x) 1 成立，求实数 a 的取值范围．7. 已知函数 f ( x) ( x a) ln x, a R（Ⅰ）当 a 0 时求 f (x)的极小值.（Ⅱ）若函数 f ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数，求 a 得取值范围8. 已知f ( x) xln x, g( x) x2 ax 3 .（ I ）求函数f ( x)在[ t,t 2]( t 0) 上的最小值；（ II ）对一切x (0, ),2 f ( x) g( x) 恒成立，求实数 a 的取值范围.9. 已知函数 f ( x) x2 ax ln x,a R.（ I ）若函数 f (x) 在 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴，求实数 a 的值；(II) 在（ I ）的条件下，求函数 f ( x) 的单调区间；(III) 若 x 1时 , f ( x) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围.10. 已知函数，其中a R ．⑴当时，求f( x) 的单调区间；⑵当 a＞0时，证明：存在实数m ＞0，使得对于任意的实数x，都有｜f( x) ｜≤m成立．三、存在性问题的几种问法：1. x0 a, b ,使得2. x0 a, b ,使得f (x) k 成立，等价函数 f (x) 在 a, bf (x) k 成立，等价函数 f (x) 在 a, b上的最大值 f ( x) max k .上的最小值 f ( x) min k .3. x1 , x2 a,b ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) 成立，等价于 f ( x) 在区间 a,b 上的最大值 f ( x) max，大于等于g(x) 在区间 a,b 上的最小值g( x)min，即 f (x) max g( x) min.4. x1 , x2 a,b ，使得 f ( x1 ) g( x2 ) ，等价于 f ( x) 在区间 a,b 上的最小值 f ( x) min，小于等于 g( x)在区间 a,b 上的最大值 g( x) max，即 f ( x)min g( x) max.5. x a, b ，使得 f ( x) g( x) ，等价于构造函数h( x) f ( x) g( x) ， h( x) 在区间 a, b 上的最大值h( x) max 0 .6.x a,b ，使得 f ( x) g( x) ，等价于构造函数h(x) f ( x) g( x) ， h( x) 在区间a,b 上的最小值h(x) min0 .7. f (x) 在区间 a, b8. f (x) 在区间 a, b 上存在单调递增区间，等价于 f'(x)的最大值 f'(x)max0 . 上存在单调递减区间，等价于 f'(x)的最小值 f'(x)min0 .1. 已知曲线 f ( x) ax e x ( a0) .（Ⅰ）求曲线在点（0, f (0) ）处的切线方程；（Ⅱ）若存在x0使得 f ( x0 ) 0 ，求a的取值范围.2. 已知函数 f ( x) a( x 1) 2ln x (a R ) ．x（Ⅰ）若 a 2 ，求曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调区间；（Ⅲ）设函数g( x) a．若至少存在一个 x0 [1,e] ，使得 f ( x0 ) g (x0 ) 成立，求实数 a 的取值范围．x3. 已知函数f ( x) 1a ln x ( a 0, a R ) x（Ⅰ）若 a 1 ，求函数 f (x)的极值和单调区间；（Ⅱ）若在区间 [1,e] 上至少存在一点x0，使得 f (x0 ) 0 成立，求实数 a 的取值范围.4.已知函数f ( x) x a e x．（Ⅰ）当 a e2时，求 f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数x0 [ 3,3] ，有f (x0 ) a .四、切线问题1. 已知函数 f ( x)x a ln x, a R ．（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间；（Ⅱ）当 x 1,2 时，都有 f (x)0 成立，求 a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点P(13)，可作多少条直线与曲线y f ( x) 相切？并说明理由．2. 已知函数 f ( x) x 3 x ．（I ）求曲线 y f (x) 在点 M (t ，f (t)) 处的切线方程；（II ）设 a0 ，如果过点 (a ， b) 可作曲线 y f ( x) 的三条切线， 证明： a b f (a) ．五、特殊问题1. 已知函数 f ( x) 1 ln x .x2（Ⅰ）求函数 f ( x) 的零点及单调区间；（Ⅱ）求证：曲线 yln xy 0 1 .x 存在斜率为 6 的切线，且切点的纵坐标六、构造函数模型1. 设函数 f ( x) ae x x 1， a R ．（Ⅰ）当 a 1 时，求 f ( x) 的单调区间；（Ⅱ）当 x(0,) 时， f ( x) 0 恒成立，求 a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当 x (0,) 时， lne x1 x ．x 2。