导数大题分类一、含参数单调区间的求解步骤：①确定定义域（易错点）②求导函数)('x f③对)('x f 进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.④)('x f 中x 的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间.例1：x x a x a x f ++-=23213)(，则)1)(1()('--=x ax x f 要首先讨论0=a 情况 ⑤)('x f 最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若0)('≥x f ，则)(x f 在定义域内单调递增；若0)('≤x f ，则)(x f 在定义域内单调递减. 例2：x x a x f ln 2)(2+=，则)('x f =)0(,12>+x x ax ，显然0≥a 时0)('>x f ，此时)(x f 的单调区间为),0(+∞.⑥)('x f 最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现0)('≥x f 或者0)('≤x f 的情况 求出)('x f =0的根，（一般为两个）21,x x ，判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即212121,,x x x x x x =<>. 例3:若)0(,ln )1(2)(2≠++-=a x x a x a x f ，则x x ax x f )1)(1()('--=，)0(>x 解方程0)('=x f 得a x x 1,121== 0<a 时，只有11=x 在定义域内.0>a 时,比较两根要分三种情况：1,10,1><<=a a a用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论)('x f在每个子区间内的正负，求得)(x f的单调区间。

（1）求函数的单调区间1.已知函数22)1ln()(x k x x x f +-+= )0(≥k （Ⅰ）当2=k 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程.（Ⅱ）求)(x f 得单调区间.2. 已知函数2()4ln f x ax x =-，a ∈R . （Ⅰ）当12a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.3.已知函数()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈. （Ⅰ）当π2a =时，求函数()f x 值域； （Ⅱ）当π2a >时，求函数()f x 的单调区间. 4．已知函数12e ()44x f x ax x +=++，其中a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a >时，试确定函数()f x 的单调区间.（二）求函数在给定的区间的最值问题5．已知函数1)(2+=ax x f )0(>a ，bx x x g +=3)(.（Ⅰ）若曲线)(x f 与)(x g 在它们的交点),1(c 处具有公切线，求b a ,的值.（Ⅱ）当b a 42=时，求函数)()(x g x f +的单调区间，并求其在)1,(--∞上的最大值.6．已知函数21()ln 2f x ax x =-，a ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[1,e]的最小值为1，求a 的值．7.已知函数bx ax x x f ++=2ln )(（其中b a ,为常数且0≠a ）在1=x 处取得极值.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数)(x f 在区间[0,e]上的最大值为1，求a 的值.8．已知函数)1ln(21)(2x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.9.已知21()ln(1)2f x ax x x =-+-+，其中0>a ． (Ⅰ)若函数()f x 在点(3,(3))f 处切线斜率为0，求a 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．10.设函数()x f x e ax =-，x R ∈．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证： ()0f x >；（Ⅲ）当1a >时，求函数()f x 在[0,]a 上的最大值．二、恒成立问题的几种问法：1．对于()b a x ,∈∀，k x f ≥)(恒成立，等价于函数)(x f 在()b a ,上的最小值k x f ≥min )(.诉讼2．对于()b a x ,∈∀，a x f ≤)(恒成立，等价于函数)(x f 在()b a ,上的最大值k x f ≤max )(.3.对于[]b a x x ,,21∈∀，)()(21x g x f ≥，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最小值min )(x f ，大于等于)(x g在区间[]b a ,上的最大值max )(x g ，即max min )()(x g x f ≥.4. 对于[]b a x x ,,21∈∀，)()(21x g x f ≤，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最大值max )(x f ，小于等于)(x g在区间[]b a ,上的最小值min )(x g ，即min max )()(x g x f ≤.5.对于[]b a x ,∈∀，)()(x g x f ≥，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最小值0)(min ≥x h .6.对于[]b a x ,∈∀，)()(x g x f ≤，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最大值0)(max ≤x h .7.)(x f 在区间[]b a ,上单调递增，等价于[]b a x x f ,,0)(min '∈≥. 8.)(x f 在区间[]b a ,上单调递减，等价于[]b a x x f ,,0)(max '∈≤.1.已知函数k x e k x x f 2)()(-=.（Ⅰ）求)(x f 的单调区间.（Ⅱ）若对于任意的),0(+∞∈x ，都有e x f 1)(≤，求k 的取值范围. 2.设l 为曲线C:xx y ln =在点)0,1(处的切线. （Ⅰ）求l 的方程.（Ⅱ）证明：除切点外，曲线C 在直线l 下方.3.已知函数x x x x f sin cos )(-=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx （Ⅰ）求证：0)(≤x f （Ⅱ）若b x x a <<sin 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上恒成立，求a 的最大值和b 的最小值. 5.已知0a >，函数2()21ax f x a x =++，()ln g x a x x a =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：对于任意的12,(0,e)x x ∈，都有12()()f x g x >.6.已知函数21()e 1x f x ax +=-+，a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线与直线e 10x y ++=垂直，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）设32e a <，当[0,1]x ∈时，都有()f x ≥1成立，求实数a 的取值范围．7.已知函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(（Ⅰ）当0=a 时求)(x f 的极小值 .（Ⅱ） 若函数)(x f 在区间),0(+∞上为增函数，求a 得取值范围8. 已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f .（I ）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值；（II ）对一切)()(2),,0(x g x f x ≥+∞∈恒成立，求实数a 的取值范围.9.已知函数2()ln ,.f x x ax x a =-+∈R（I ）若函数()f x 在(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值；(II) 在（I ）的条件下，求函数()f x 的单调区间；(III) 若1,()0x f x >>时恒成立，求实数a 的取值范围. 10.已知函数，其中a ∈ R ．⑴ 当 时，求 f (x )的单调区间；⑵ 当a ＞ 0时，证明：存在实数m ＞ 0，使得对于任意的实数x ，都有｜ f (x )｜≤m 成立．三、存在性问题的几种问法：1.()b a x ,0∈∃,使得k x f ≥)(成立，等价函数)(x f 在()b a ,上的最大值k x f ≥max )(.2.()b a x ,0∈∃,使得k x f ≤)(成立，等价函数)(x f 在()b a ,上的最小值k x f ≤min )(.3.[]b a x x ,,21∈∃，使得)()(21x g x f ≥成立，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最大值max )(x f ，大于等于 )(x g 在区间[]b a ,上的最小值min )(x g ，即min max )()(x g x f ≥.4.[]b a x x ,,21∈∃，使得)()(21x g x f ≤，等价于)(x f 在区间[]b a ,上的最小值min )(x f ，小于等于)(x g 在区间[]b a ,上的最大值max )(x g ，即max min )()(x g x f ≤.5.[]b a x ,∈∃，使得)()(x g x f ≥，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最大值0)(max ≥x h .6. []b a x ,∈∃，使得)()(x g x f ≤，等价于构造函数)()()(x g x f x h -=，)(x h 在区间[]b a ,上的最小值 0)(min ≤x h .7.)(x f 在区间()b a ,上存在单调递增区间，等价于)('x f的最大值0)(max '>x f . 8.)(x f 在区间()b a ,上存在单调递减区间，等价于)('x f的最小值0)(min '<x f .1.已知曲线()x f x ax e =-(0)a ≠. （Ⅰ）求曲线在点（0,(0)f ）处的切线方程；（Ⅱ）若存在0x 使得0()0f x ≥，求a 的取值范围.2.已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ． （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）设函数()a g x x=-．若至少存在一个0[1,e]x ∈，使得00()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围． 3.已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；（Ⅱ） 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.4.已知函数()e x f x x a -=+⋅．（Ⅰ）当2e a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）求证：存在实数0[3,3]x ∈-，有0()f x a >.四、切线问题1.已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．2.已知函数3()f x x x =-．（I ）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（II ）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线， 证明：()a b f a -<<．五、特殊问题1.已知函数21ln ()x f x x-=. （Ⅰ）求函数()f x 的零点及单调区间； （Ⅱ）求证：曲线ln x y x=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标01y <-.六、构造函数模型1.设函数1)(--=x ae x f x ，R ∈a ．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当),0(+∞∈x 时，0)(>x f 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：当),0(+∞∈x 时，21ln x x e x >-．。