平面向量单元检测题学校学号成绩一、选择题（每小题5分，共60分）1.若ABCD是正方形，E是CD的中点，且AB a=，AD b=，则BE =（）A．12b a+B．12b a-C．12a b+D．12a b-2.下列命题中，假命题为（）A．若0a b-=，则a b=B．若0a b⋅=，则0a =或0b =C．若k∈R，k0a =，则0k=或0a =D．若a，b都是单位向量，则a b⋅≤1恒成立3.设i，j是互相垂直的单位向量，向量13()a m i j=+-，1()b i m j=+-，()()a b a b+⊥-，则实数m为（）A．2-B．2 Ｃ．12-Ｄ．不存在4.已知非零向量a b⊥，则下列各式正确的是（）A．a b a b+=-B．a b a b+=+... . .... . .C ．a b a b -=-D ．a b +=a b -5. 在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC a =，CA b =，AB c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值为 （）A ．32B ．32-C ．0D ．36. 在△OAB中，OA =（2cos α，2sin α），OB =（5cos β，5sin β），若5OAOB ⋅=-，则S △OAB（）A B ．2C ．5D ．527. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 （）A ．长方形B ．平行四边形C ．菱形D ．梯形8. 把函数23cos y x =+的图象沿向量a 平移后得到函数的图象，则向量 是 （ ）A ．（33,π-） B ．（36,π） C ．（312,π-） D ．（312,π-）9. 若点1F 、2F 为椭圆 的两个焦点，P 为椭圆上的点，当△12F PF 的面积为1时， 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．3 D ．62sin()y x π=-6a 2214x y +=12PF PF ⋅... . .10. 向量a =（-1，1），且a 与a +2b 方向相同，则a b ⋅的围是 （ ）A ．（1，+∞）B ．（-1，1）C ．（-1，+∞）D ．（-∞，1）11. O 是平面上一点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三个点，一动点P 满足OP OA =+()AB AC λ+，λ∈（0，+∞），则直线AP 一定通过△ABC 的（ ）A ．心B ．外心C ．重心D ．垂心12. 已知D 是△ABC 中AC 边上一点，且 22+，∠C =45°，∠ADB =60︒，则 = （ ） A ．2 B ．0 Ｄ．1二、 填空题（每小题4分，共16分）13. △ABC 中，已知4a =，6b =，sinB = ，则∠A = 。

14. 已知M (3，4)，N (12，7)，点Q 在直线MN 上，且13||:||:QM MN =，则点Q 的坐标为 。

15. 已知|a |=8，|b |=15，|a +b |=17，则a 与b 的夹角θ为 。

16. 给出下列四个命题：①若||||||a b a b ⋅=⋅，则a ∥b ； ②()()b c a c a b ⋅-⋅与c 不垂直；③在△ABC 中，三边长BC 5=，AC 8=，AB 7=，则20BC CA ⋅=；④设A(4，a )，B(b ，8)，C(a ，b )，若OABC 为平行四边形（O 为坐标原点），则AB DB ⋅A DDC=34... . .∠AOC = . 其中真命题的序号是 （请将你正确的序号都填上）。

三、 解答题（74分）17. （本小题满分12分）设向量OA =（3，1），OB =（1-，2），向量OC OB ⊥，BC ∥OA ，又OD +OA =OC ，求OD 。

18. （本小题满分12分）已知A(2，0)，B(0，2)，C(cos α，sin α)，(0<α<π)。

（1）若7||OA OC +=O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角； （2）若AC BC ⊥，求tan α的值。

4π19.（本小题满分12分）如图，O，A，B三点不共线，2=，OB b=。

=，设OA a=，3OC OAOD OB（1）试用,a b表示向量OE；（2）设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明L，M，N三点共线。

20.（本小题满分12分）在直角坐标系中，A (1，t)，C（-2t，2），OB OA OC=+（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）。

⑴求四边形OABC在第一象限部分的面积S(t)；⑵确定函数S(t)的单调区间，并求S(t)的最小值。

... . .... . .21. （本小题满分12分）如图，一科学考察船从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，其中 .在距离港口O为3（a 为正常数）海里北偏东β角的A 处有一个供给科学考察船物资的小岛，其中cos β 。

现指挥部紧急征调沿海岸线港口O 正向m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装运物资供给科学考察船，该船沿BA 方向不变全速追赶科学考察船，并在C 处相遇。

经测算，当两船运行的航线OZ 与海岸线OB 围成的三角形OBC 面积S 最小时，补给最合适。

（1）求S 关于m 的函数关系式S(m)； （2）当m 为何值时，补给最合适？2=13tan α=... . .22. （本小题满分14分）已知在直角坐标平面上，向量a =（-3，2λ），b =（-3λ，2），定点A （3，0），其中0<λ<1。

一自点A 发出的光线以a 为方向向量射到y 轴的B 点处，并被y 轴反射，其反射光线与自点A 以b 为方向向量的光线相交于点P 。

（1）求点P 的轨迹方程；（2）问A 、B 、P 、O 四点能否共圆（O 为坐标原点），并说明理由。

平面向量答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1． B ；2．B ；3．A ；4．D ；5．B ；6．D ；7．D ；8．A ；9．A ；10．C ；11．C ；12．B10．C ．解析：注意与+2同向，可设+2=λ（λ>0），则=a 21-λ，从而01212>-=-=⋅λλ。

11．C ．解析：OA OP =+)(AC AB +λ，即)(AC AB AP +=λ，即AP 与AC AB +同向。

12．B ．解析：解三角形可得∠ABD=90°。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．30° 14．(6,5) 或(0,3) 15．2π16．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．（本小题满分12分）解： 设OC =（x ,y ），∵⊥，∴0=⋅，∴2y – x =0，①又∵BC ∥OA ，BC =（x +1，y-2），∴3( y-2) – (x +1)=0，即：3y – x-7=0，② 由①、②解得，x =14，y=7，∴=（14，7），则=-=（11，6）。

18．（本小题满分12分）... . .解：⑴∵)sin ,cos 2(αα+=+OC OA ，7||=+OC OA ， ∴7sin )cos 2(22=++αα，∴21cos =α． 又),0(πα∈，∴3πα=，即3π=∠AOC ，又2π=∠AOB ，∴与的夹角为6π．⑵)sin ,2(cos αα-=AC ，)2sin ,(cos -=ααBC ， 由⊥，∴0=⋅， 可得21sin cos =+αα， ① ∴41)sin (cos 2=+αα，∴43cos sin 2-=αα， ∵),0(πα∈，∴),2(ππα∈， 又由47cos sin 21)sin (cos 2=-=-αααα，ααsin cos -＜0， ∴ααsin cos -＝－27，②由①、②得471cos -=α，471sin +=α，从而374tan +-=α． 19．（本小题满分12分）解：(1)∵B ，E ，C 三点共线，∴=x +(1-x )=2 x a+(1-x )，① 同理，∵A ，E ，D 三点共线，可得，OE =y a+3(1-y)b ，②比较①，②得，⎩⎨⎧-=-=)1(31,2y x y x 解得x=52， y=54,∴OE =b a5354+。

... . .（2）∵2+=，103421OM +==，232)(21+=+=， 10126OM ON MN +=-=，102OM OL ML +=-=， ∴6=，∴L ，M ，N 三点共线。

20．（本小题满分12分）解：（1）∵+=，∴OABC 为平行四边形， 又∵0=⋅OC OA ，∴OA ⊥OC ，∴四边形OABC 为矩形。

∵+==(1-2t ，2+t)，① 当1-2t>0，即0<t<21时，A 在第一象限， B 在第一象限，C 在第二象限，（如图1） 此时BC 的方程为：y-2=t(x +2t)，令x =0，得BC 交y 轴于K(0,2t 2+2), ∴S(t)=S OABC -S △OKC =2(1-t+t 2-t 3).② 当1-2t ≤0，即t ≥21时，A 在第一象限，B 在y 轴上或在第二象限，C 在第二象限，（如图2）此时AB 的方程为：y-t=t 1- (x -1)，令x =0，得AB 交轴于M(0,t+t1),∴S(t)= S △OAM =)1(21tt +.∴S(t)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+<<-+-).21(),1(21),210(),1(232t t t t t t t（2）当0<t<21时，S(t) =2(1-t+t 2-t 3)，S ′(t) =2(-1+2t-3t 2)<0，∴S(t)在（0，21）上是减函数。

... . .当t ≥21时，S(t) =)1(21t t +，S ′(t) =)11(212t-，∴S(t)在[21，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数。

∴当t=1时，S(t)有最小值为1。

21．（本小题满分12分）解：（1）以O 为原点，正北方向为轴建立直角坐标系。

直线OZ 的方程为y=3x ，①设A(x 0，y 0)，则x 0=3a 13sin β=9a ，y 0=3a 13cos β=6a ，∴A(9a ，6a )。

又B(m ，0)，则直线AB 的方程为y=ma a-96(x -m) ② 由①、②解得，C(am ama m am 76,72--)， ∴S(m)=S △OBC =21|OB||y c |= a m am 732- ，(a m 7>)。

（2）S(m)=3a [(m-7a )+a a m a 147492+-]≥84a 2。

当且仅当m-7a =am a 7492-，即m=14a >7a 时，等号成立，故当m=14a 为海里时，补给最合适。