1 2
(3k 2
5k+2)
1 = 2 (k+ 1)[3(k+ 1)-1]
这 就 是 说 ， 当 n =k +1时 ， 等 式 也 成 立 。
-
19
二、新课
例 摆砖问题（取n块砖）
12 3
……
-
k k+1
20
-
21
证明当n=k+1时命题也成立，
这种证明方法叫做 数学归纳法
因为证明了这一点，就可断定这个命题对于 n 取
第一个值后面的所有正整数也都成立。
-
6
例：用数学归纳法证明首项为 a 1 ，公差为 d 的
等差数列 a n 的通项公式为 ana1(n1)d。
分析：（1）当 n 1 时，ana1n1d成立吗？
确，并证明当 nk1时结论也正确。
根据(1)(2)知对任意的 nN且nn0时命题成立。 注：（1）两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结
论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失
去了递推的依据。
（2）只有把第一、二步的结论结合在一起才能得
出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要
做一个总的结论。
（3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。
-
18
假 设 当 n = k (k 1 ,且 k N *)时 ,等 式 成 立 ,就 是
1+ 4+7 +
+ (3k-2)=
1 2
k (3k
1)
那 么 当 n=k+1时 ,就 是
第
1+ 4+7 + +(3k 2) [3(k+ 1) 2]
二
1
步
2 k (3k 1)+ [3(k+ 1) 2]
2 2 k -1
=2 k+1 -1
这 就 是 说 ， 当 n =k +1时 ， 等 式 也 成 立 。
-
17
假设当n=k(k 1,且k N*)时,等式成立,就是
ak a1q k 1
第 那么当n=k+1时,就是
二 步
ak 1 ak q
(a1qk1)q
a1qk
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
那么当 nk1时，
ak1 ak d
a1(k1)dd （传递性）
a1 kd
a1(k1)1d
根据(1即)(2当)知n当对k 任1意时的命题n成立N 。命题成立。（结论）
-
8
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当 n 取第一个值 n0(n0 1或 2) 时结论正确
（2）假设当 nk(k N ,且 kn0)时结论正
-
14
四、作业
习题2.1 1、（1）（2）
-
15
-
16
假 设 当 n=k(k 1,且 k N*)时,等 式 成 立 ,就 是
1+ 2+ 2 2 + + 2 k-1 = 2 k -1
那 么 当 n=k+1时 ,就 是
第
1+ 2+ 2 2 + + 2 k-1 2 k
二 步
(2 k -1)+2 k
-
1
一、复习与引入
1、在等差数列 a n 中，已知首项为 a 1 ，公差为 d，
an
a1 a1
（ 不
a2 a1 d
完
a3a2da12d全归
a4a3da13d纳法
ana1(n1)d
）
像这种由一 系列有限的 特殊事例得 出一般结论 的推理方法， 通常叫做归
纳法。
2、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？
（2）假设当 nk(k1且 kN*)时命题成立，
即 aka1k1d
那么当 nk1 时命题成立吗？
即 ak1a1k11d成立吗？
综(1)(2)知命题成立。
-
7
证明：（1）当 n 1 时，左边 a 1 ，右边 a10da1 ，
命题成立。
（依据）
（2）假设当 nk(k1且 kN*)时命题成立，即
ak a1(k1)d
＝ k2＋2k＋1 ＝（k+1）2
（利用假设）
即当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
-
10
练习：用数学归纳法证明
1、1 2 2 2 2 n 1 2 n 1
2、首项是 a 1 ，公比是 q 的等比数列的通项公式是
an a1qn1 3、147(3n2)1n(3n1)
2
-
11
练 习 (1)用数学 24
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，不等式左边的D变化是
（
(A)
）：1
;
2(k 1)
(B) 1 1 ; 2k1 2k2
(C)
1 1; 2k2 k1
(D )
1 1 1. 2k1 2k2 k1
结论：盒内粉笔都是白色的 （完全归纳法）
-
2
想一想：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
例： an(n25n5)2
说 （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 明： 不一定正确。
（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
-
3
问题情境三
多 米 诺 骨 牌 课 件 演 示
-
4
问题情境三
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）
（2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌）
-
5
（一）、数学归纳法的定义（原理）
对于由不完全归纳法得到的某些与 自然数有关自然数的数学命题我们常采 用下面的方法来证明它们的正确性：
（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立， （2）假设当n=k(k∈N* ,k≥ n0)时命题成立
-
9
（三）数学归纳法的应用举例
例1、用数学归纳法证明
1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ n2
证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。
（2）假设当n＝k时，等式成立，即 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k2
（假设）
那么当n=k+1时
1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］
＝ k2 + [2(k+1)－1］
-
12
(2)用数学归纳法证:11 21 31 4 2n11n
(n≥2,n∈N )过程中,由“n=k”变到
“n=k+1”时，左式所需添加的Ｃ项数为
（ ）： Ａ.１项
Ｂ.2k1 项
Ｃ. 2 k 项
Ｄ. 2k 1 项
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13
三、小结
归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法。 数学归纳法的原理与科学性：基础正确；可递推。 数学归纳法的步骤：两个步骤，一个结论。 数学归纳法的优点：可以帮助我们 认识 事物 由简到繁、由特殊到一般、由有限到无限。