圆压轴题八大模型题(一)市七中佳彼学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中老题中的倒数第二题的位責上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。

一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。

把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。

类型1弧中点的运用在OO中，点O是处的中点，CE1AB于点£(1)在图】中，你会发现这些结论吗？CP= FP\② CH= AD\©AC^ = AP- AD=CF・ CB=AE・ SB.(2)在图2中，你能找出所有与相似的三角形吗?【分析】(1)①由等弧所对的圆周角相等及同角或等角的余角相等得：ZCAD= LAC巳/_ PCF= Z 所以AP= CP= FP.(1)②由垂径定理和弧中点的性质得，DC= AC= AH, 再由弧脅加得：CH^AD^X CH= AD.⑴③由共边角相似易证：\ACEs、ABC4ACPs“ADC4ACFs、BCA送而得AC1 =AE AB^ACr^APAaACr^CF CB:(2)垂径定理的推论得：CO丄SD易证：RtA/45C<^RtA C55^>RtA BD2 RtAZCG^RtACG^此外还有RtA/4^£^RtAZOG^RtA^5D^RtAC^G.运用这些相似三角形可以解决相关的计算与证明题.建议：将下列所有例题与习题转化到图】或图2上观察、比较、思考和总结。

【典例】(2018 •永州)如图，线段处为OO的直径，点C F在OO上，BC=CE, CQ丄S3,垂足为点O连接BE、弦3F与线段CQ相交于点F.(1)求证：CF= BF\⑵若COSZ/I5F=A,在S3的延长线上取一点M使购=4, OO的半径为6.求证:5・・ •专业【分析】（1）延长OQ 与圆相交，由垂径定理得到缸 =BG,再由BC=CE^到五=血=无，等弧所对的 角相等，等角对等边。

（2）由垂径定理的推论得OCBE 、再由锐角三角函数得到边 釦、站的长度，由对应边成比例得BEII CM,由LMCO = ZBHO=90°证得结论。

证明：（】）延长CQ 交G ）O 于G,如图,•・・UQ 丄AB, /.BC= BG,T BC= CE, /. CE= BG,/ CBE= Z GCB, /. CF= BF\（2）连接OO 交3F 于”如图， vBC=CE, :.OCLBE.在 R\、OBH 中，cos/O3/y=型■ =OB 5■■•5Zy=f X6 = V 叫/邂）2晋 ,.0H_ 5 _3 0B_ 6 _3•而一〒一T ON "6+4 ""51 ・・・塑=坐，而厶HOB= / COM 、OC ON••・ HOHBsfOCM 、：•厶 OCM=/OHB=9Y , :.OCLCM y /.直线OW 是0O 的切线.【点拔】弧中点得到弧等、弦等、圆周角等，进一步引出角平分线、垂径定理、相似三角形。

再 结合勾股定理、同角或等角的余角相等、中位线定理，垂径定理、相似三角形的性质定理。

可以组合出综合性比较强的有关的习题组。

抓边等角等是关键，要善于分解图形。

【变式运用】1. （2018-）如图，S3是半圆的直径，SO 是一EC8M（图 1-1）（图4）条弦，。

是so的中点，DELAB于点F且QF 交比于点一3交兀于点G,需弓2. (2010-)如图，在平行四边形ABCD中，F为30边上的一点，且力F与QF分别平分和LAD6⑴求证：/4F丄QF; (2)设以为直径的半圆交力3于尸，连接FGDF交AE干G、已知09“ 二8,求——值。

AF(1)证明：在中，-ABWCD. .\Z^/4Z?+Zz4Z9C= 180°•••HF与QF平分上K4Q和/_ADC：・厶 EAD二［厶 BAD、£EDA=1 厶 ADC,2 2:.AAED^ 180°一{AEAD+ AEDA)=180°—(—上BAD+ —厶 ADC}2 2二180°一丄1 厶 BAD+ 厶 ADC) 2= 180°-90° =90°:.AEVDE(2)解：在ABCD中，-ADWBC :•厶 EAD二厶 AEB、且厶 BAE二厶 DAE 二Z BAE二 Z AEB、:. AB- BE、同理：DC二 EC二 5又・・・AB=DC、・・・AB=BE= DC二EC=5、 .\BC=AD= 10在RtA^Z?中，由勾股定理可得：DE二 y)AD2-AE2 =V102-82 =6 *,• Z BAE= Z EAD,厶 AFD 二厶 AED=9$ :.'AFS'AED、AF8 4• —. = _ = _••而一莎一石一亍3. (2012 •)如图，'ABC接于(DO, S3是OO的直径，O是AD的中点，弦CELAB于点”连结HQ,分别交C£BC于点、P、Q,连结別入(1)求证：尸是线段SQ的中点；15(2)若OO的半径为5, SQ二寿,求弦黒的长。

(1)证明：是OO的直径，弦CE]_AB,:.AC =Zk 又•・•<?是处的中点，・•・处二Q?,:.AE= CD ・:.厶 ACP= / CAP. :.PAPC.•・・力3是直径・・・・/力6=90°・・・・ZPOQ=90° -厶 ACP 、Z CQP= 90° - L CAP. :.Z PCQ= Z CQP. /. PC= PQ.:・PA = PQ 、即尸是HQ 的中点；⑵解：・・•处二Q?,・・.上 G4Q=Z/45C.又vZy4C<9= Z5G4,:・\CAg △UFA. L5 •竺=^£ = T = 3 BC AB 10 4 又・・•力3=10, ・・・/4U=6, BC=8・根据直角三角形的面积公式，得：AC ・BC=AB ・CH, ：.6X8=WCH. :.CH=—.又CH= HE, 48 :.CE=2CH=——・ 5 4. （2014・）如图，四边形ABCD 接于OO, S3是OO 的直径，SO 和別?相交于点匕 且DC?=CE ・CA. (1) 求证：BC=CD;(2) 分别延长AB, QC 交于点P,过点力作 AFVCD 交 8的延长线于点尸，若PB= OB, CD= 2^2,求0尸的长. (1)证明： DC _ G4CE "5c,HCDEs^CAD 、 （图 1-5）•・厶CDB= ZDAC 、 •・•四边形ABCD 接于OO, ・BC= CD; ⑵解：方法一：如图，连接OU, :BC= CD,\^DAC= Z CAB,又 vZO= CO. *. Z CAB - Z_ A CO, /. Z DA C= Z A CO } \ADII OC 9PC _PO 而_莎：PB=OB 、CD=2 迈、 :・PC= 4 y/2 又 J PC ・PD=PB ・PA（图1・4）・・・4近• (4>/2 +2^2 ) = OB ・3OB.'.08=4,即血=203=8, PA = 3OB= 12, 在R^ACB 中，/4C= y]AB 2 - BC 2 = _(2外=2府，：.^ADB= ^ACB=90°:•厶 FDA 七厶 BDC=90° , / C5/4 + / G45= 90° •:厶 BDC=/CAB 、：•厶 FDA=/CBA 、 又•: LAFD= LACB=9F , :.[\AFg\ACBAF AC 2^14 k•・—=—=—/=■ = 7 / FD CB 2>/2在 R\^AFP 中，设 FD=x 、贝lj AF= yflx , ・••在 Rt △力〃中有,(^)2 + (x + 6>/2)2 = 122, 求得DF=芈.2方法二；连接OC 过点O 作OG 垂直于CD 、 PC PO 易证'PCO S 'PDA 、可得——=——,PD PA PG PO△ FGOs △羽，可得——=——,PF PA即可得出DF=芈.5.(2015・)如图，'ABC 接于(DO, AB=AC 9尸。

为OO 的弦，且ABII CD,过点力作OO 的切线与QC 的延长线交于点匕/4O 与30交于点尸(1) 求证：四边形ABCE 是平行四边形； (2) 若A5=6, CD=5、求O 尸的长.【解答】⑴证明：•.*£与OO 相切于点儿/. Z EAC= Z ABC y T AB = ACZ ABC — L ACB, L EAC- Z ACB y:.AEU BC. •: AB II CD,・・・四边形ABCE 是平行四边形；⑵ 解：如图，连接SO,交乃O 于点”双向延长O 尸分别交力耳CQ与点2,必可得, PC PG,由方法一中PC=4y[2代入PCPC+2VIPC +V?PC + 2>j2 + DF⑵如答图②，连接3C与OP相交于〃点，作PHLAB于点"TP点为3U的中点，・・・OP丄FC / 0445=90° ,又VZ5为直径，・・・ZSC3=90°・：.^ACB= Z OM^>•・・・OPH AC： <CAB二"6. 又•:厶ACB= ZOHF=90°、：AACB S'OHP.AB AC13・•・AB=]3/AC=5t OP=—,5・•・，解得OHp：.AH= OA+ OH =9.•・•在RtA OPH中，有。

・•・在R也AHP中有・:・PA =7 •如图，'ABC接于OO,且S3为。

O的直径.LACB的平分线交OO于点O过点。

作OO的切线力交 6的延长线于点P、过点S作AELCD于点巳过点3作％丄CQ于点F.(1) ⑵求证：DPH AB\若/4C=6, 30=8,求线段FQ的长.62 •rrT •(1)证明：如图，连接OQ,\-AB为OO的直径，・・・/SU3=90° .•: /_ACB的平分线交OO于点D、：.上ACD=ZBCD=45° . ：.^DAB= ^ABD=45° ° ：・、DAB为等腰直角三角形；015・・.Q°丄/4B. (图1七〉・・•％为OO的切线，・・・OQ丄处.・•・ DFII AB.(2)在RIAZC5中，，'：'DAB为等腰直角三角形，■• • •-：AELCD, :.AACE为等腰直角三角形。

■• • •在R\^AED中，BD•••ABIIPD、:.厶PDA = Z,DAB=A5° •: •厶 PAD= /PCD。