高三一轮复习数学模拟试题（一）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．设集合，，则等于（ ）A.B. C.D. 3．“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．执行右边的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 14B. 20C. 30D. 555.已知向量，向量，且，则实数x 等于（ ）A. 0B. 4C. -1D. -46．若是等差数列的前n 项和，则的值为（ ）A ．12B ．22C ．18D ．447. 函数的零点所在的区间是（ ）A. B. C. D.8．已知为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则i i z )1(+=}{21|<<-=x x A }{30|<<=x x B B A }{20|<<x x }{21|<<-x x }{30|<<x x }{31|<<-x x ︒=60α21cos =α)2,1(=a )2,(-=x b b a //n S {}n a 2104,a a +=11S 125)(-+-=x x x f )1,0()2,1()3,2()4,3(m l ,βα,αα⊂m l ,//m l //αβα⊥l ,//β⊥l αβα⊂l ,//β//l l m m l ⊥⊂=⊥,,,αβαβα β⊥m9．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ） A ．B ．B ．D ．10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ ）A. 6B. 12C. 18D. 2411．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且，垂足为A ，若直线AF 的斜率为，则|PF |等于（ ）A.B.4C.D.812．若对任意的，函数满足，且，则（ ） A.0B. 1C.-2013D.2013cos 2y x =6πcos(2)16y x π=-+cos(2)13y x π=-+cos(2)16y x π=++cos(2)13y x π=++x y 42=l PA ⊥3-3234R x ∈)(x f (2013)(2012)f x f x +=-+(2013)2013f =-(0)f =第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为m ，中位数为n ，众数为p ，则m ，n ，p 的大小关系是_____________.14．已知变量满足则的最小值是____________． 15．若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率是____________．16．设函数，观察： ……依此类推，归纳推理可得当且时，．,x y 1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩z x y =+)0,0(12222>>=-b a by a x 3x y -=)0(2)(>+=x x x x f 2)()(1+==x x x f x f 43))(()(12+==x x x f f x f 87))(()(23+==x x x f f x f 1615))(()(34+==x x x f f x f *N n ∈2≥n ____________))(()(1==-x f f x f n n三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知数列的前n 项和．（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等比数列，公比为，且满足，求数列的前n 项和．18.（本小题满分12分）设关于的一元二次方程.（1）若，都是从集合中任取的数字，求方程有实根的概率；（2）若是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．19.（本小题满分12分）设函数（1）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（2）当时，函数的最大值与最小值的和为，求不等式的解集．{}n a )(2*2N n n n S n ∈+={}n a {}n b )0(>q q 32412,a a b S b +=={}n b n T x 2220x ax b ++=a b {}1,2,3,4a b a x x x x f ++=2cos cos sin 3)()(x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx )(x f 231)(>x f20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面底面ABCD ，且，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．（1）求证：平面PAD ；（2）求证：平面PDC 平面PAD ；（3）求四棱锥的体积．21．（本小题满分12分）已知椭圆过点，且离心率． （1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点的直线交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．ABCD P -⊥PAD AD PD PA 22==//EF ⊥ABCD P -)0(1:2222>>=+b a by a x C )3,2(A 21=e C )4,0(-B l 716=⋅ON OM l22．（本小题满分14分）已知函数在处取得极小值2． （1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数的取值范围．),(,)(2R n m nx mx x f ∈+=1=x )(x f )(x f a ax x x g +-=2)(2R x ∈1]1,1[2-∈x )()(12x f x g ≤a答案又当时，，满足上式 ……4分∴ ……5分（2）由（1）可知，， ……7分 又∴ ……8分又数列是公比为正数等比数列∴ 又∴ ……9分∴ ……10分 ∴数列的前n 项和 ……12分 18、解：（1）设事件A =“方程有实根”，记为取到的一种组合，则所有的情况有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） ……2分 一共16种且每种情况被取到的可能性相同 ……3分1=n 311==S a )(12*N n n a n ∈+=311==S a 52=a 73=a 32412,a a b S b +==12,342==b b {}n b 4242==b b q 0>q 2=q 2321==q b b {}n b )12(2321)21(231)1(1-=--=--=n n n n q q b T ),(b a∵关于的一元二次方程有实根∴ ……4分∴事件A 包含的基本事件有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10种…5分∴方程有实根的概率是 ……6分 （2）设事件B =“方程有实根”，记为取到的一种组合∵是从区间[0,4]中任取的数字，是从区间[1，4]中任取的数字∴点所在区域是长为4,宽为3的矩形区域，如图所示：又满足：的点的区域是如图所示的阴影部分∴ ∴方程有实根的概率是 （第（2）题评分标准说明：画图正确得3分，求概率3分，本小题6分）19、解：（1） ……1分 ……3分 ……4分令 ， ∴， ∴函数的递减区间为： ……6分 x 2220x ax b ++=22440,a b a b ∆=-≥⇒≥105()168P A ∴==85),(b a a b ),(b a b a ≥83433321)(=⨯⨯⨯=B P 8331cos 2()sin 222x f x x a +=++1sin(2)62x a π=+++T π∴=3222262k x k πππππ+≤+≤+Z k ∈263k x k ππππ+≤≤+Z k ∈)(x f 2[,],63k k k Z ππππ++∈（2）由得： ……8分 ……9分 ∴ ， ……11分 又 ∴不等式的解集为 ……12分20、解：（1）连接EF ，AC∵四棱锥中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点 ∴对角线AC 经过F 点 ……1分又在中，点E 为PC 的中点∴EF 为的中位线∴ ……2分又 ……3分∴平面PAD ……4分（2）∵底面ABCD 是边长为a 的正方形∴ ……5分又侧面底面ABCD ，，侧面底面ABCD =AD [,]63x ππ∈-52666x πππ-≤+≤max min 3(),()2f x a f x a ∴=+=33022a a a ∴++=⇒=1()1sin(2)62f x x π>⇒+>52226663k x k k x k ππππππππ∴+<+<+⇒<<+Z k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 1)(>x f {|0}3x x π<<ABCD P -PAC ∆PAC ∆PA EF //PAD EF PAD PA 面面⊄⊂,//EF AD CD ⊥⊥PAD ABCD CD 平面⊂ PAD∴……7分又 ∴平面PDC 平面PAD ……8分（3）过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G∵侧面底面ABCD ，，侧面底面ABCD =AD ∴，即PG 为四棱锥的高 ……9分 又且AD =a ∴ ……10分 ∴ ……12分 21、解：（1）∵椭圆过点，且离心率 ∴ ……2分 解得：, ……4分 ∴椭圆的方程为： ……5分 （2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足． ……6分 若直线的斜率不存在，且直线过点，则直线即为y 轴所在直线 ∴直线与椭圆的两不同交点M 、N 就是椭圆短轴的端点∴PAD CD 平面⊥PCD CD 平面⊂⊥⊥PAD PAD PG 平面⊂ PAD ABCD PG 平面⊥ABCD P -AD PD PA 22==2a PG =32ABCD ABCD -P 6123131a a a PG S V =⨯⨯=⋅=正方形四棱锥)0(1:2222>>=+b a by a x C )3,2(A 21=e ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222221194c b a a c b a 162=a 122=b 1121622=+y x )4,0(-B l 716=⋅ON OM l )4,0(-B l l )32,0(),32,0(-N M∴ ∴直线的斜率必存在，不妨设为k ……7分∴可设直线的方程为：，即联立 消y 得∵直线与椭圆相交于不同的两点M 、N∴ 得： …… ① ……8分 设∴ ∴ ……9分 又 ∴ 化简得 ∴或，经检验均满足①式 ……10分∴直线的方程为：或 ……11分 ∴存在直线：或满足题意． ……12分22、解：（1）∵函数在处取得极小值2 ∴ ……1分 又 71612)32,0)(32,0(≠-=-=⋅ON OM l l kx y =+44-=kx y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+41121622kx y y x 01632)43(22=+-+kx x k 0)43(164)32(22>+⨯⨯--=∆k k 2121>-<k k 或),(),,(2211y x N y x M 2212214316,4332kx x k k x x +=+=+2221212212143484816)(4)4)(4(k k x x k x x k kx kx y y +-=++-=--=716=⋅ON OM 7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk k k k y y x x ON OM 12=k 1=k 1-=k l 4-=x y 4--=x y l 04=--y x 04=++y x ),(,)(2R n m nx mx x f ∈+=1=x ⎩⎨⎧==0)1('2)1(f f 2222222)()(2)()('n x mx mn n x mx n x m x f +-=+-+=∴由②式得m =0或n =1，但m =0显然不合题意∴，代入①式得m =4∴ ……2分经检验，当时，函数在处取得极小值2 ……3分 ∴函数的解析式为 ……4分 （2）∵函数的定义域为且由（1）有 令，解得： ……5分∴当x 变化时，的变化情况如下表： ……7分 x-1 1 —0 + 0 — 减 极小值-2 增 极大值2减 ∴当时，函数有极小值-2；当时，函数有极大值2 ……8分（3）依题意只需即可．∵函数在时，；在时，且 ∴ 由（2）知函数的大致图象如图所示：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②① 021m mn n m 1=n 1,4==n m 1,4==n m )(x f 1=x )(x f 14)(2+=x x x f )(x f R 22)1()1)(1(4)('++--=x x x x f 0)('=x f 1±=x )('),(x f x f )1,(--∞)1,1(-),1(+∞)('x f )(x f 1-=x )(x f 1=x )(x f min min )()(x f x g ≤14)(2+=x x x f 0>x 0)(>x f 0<x 0)(<x f 0)0(=f )(x f∴当时，函数有最小值-2 ……9分 又对任意，总存在，使得 ∴当时，的最小值不大于-2 ……10分 又①当时，的最小值为∴得； ……11分 ②当时，的最小值为∴得； ……12分③当时，的最小值为 ∴得或又∵∴此时a 不存在 ……13分 综上所述，a 的取值范围是． ……14分1-=x )(x f R x ∈1]1,1[2-∈x )()(12x f x g ≤]1,1[-∈x )(x g 222)(2)(a a a x a ax x x g -+-=+-=1-≤a )(x g a g 31)1(+=-231-≤+a 1-≤a 1≥a )(x g a g -=1)1(21-≤-a 3≥a 11<<-a )(x g 2)(a a a g -=22-≤-a a 1-≤a 2≥a 11<<-a ),3[]1,(+∞--∞。