2.3.2 双曲线的简单几何性质 一、基础过关 1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4
D ．4 2 2．双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是
( ) A ．y ＝±3x
B ．y ＝±13x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±33
x 3．双曲线x 24－y 2
12
＝1的焦点到渐近线的距离为 ( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．1
4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于
( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D.14
5．双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为
( )
A. 6
B. 3
C. 2
D.33 6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
( )
A.x 25－y 2
4
＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 23－y 2
6＝1 D.x 26－y 2
3＝1 7．已知双曲线C ：x 24－y 2
m
＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是________．
二、能力提升
8．已知圆C 过双曲线x 29－y 2
16
＝1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是__________．
9．如图所示，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、
E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为____________________．
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线x 29－y 216
＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)； (2)与双曲线x 216－y 24
＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 11．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求
双曲线的标准方程．
12．求证：双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)上任意一点到两条渐近线的距离之积为定值． 三、探究与拓展
13．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)．若双曲线上存在点P ，使sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝a c
，求该双曲线的离心率的取值范围．
答案
1．C 2.C 3.A 4.A 5.B 6.A
7．(4，＋∞) 8.163
9.3＋1 10．解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216
＝λ (λ≠0)， 将点(－3,23)代入得λ＝14
， 所以双曲线方程为x 29－y 216＝14
， 即4x 29－y 24
＝1. (2)设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1 (a >0，b >0)． 由题意易求
c ＝2 5.
又双曲线过点(32，2)， ∴(32)2a 2－4b
2＝1. 又∵a 2＋b 2＝(25)2，∴a 2＝12，b 2＝8.
故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1. 11．解 椭圆方程为x 264＋y 2
16
＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，
设双曲线方程为x 2a 2－y 2b
2＝1 (a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，
b a ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝36，
b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 2
12
＝1. ②当双曲线的焦点在y 轴上时，
设双曲线方程为y 2a 2－x 2b
2＝1 (a >0，b >0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝12，
b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 2
36
＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为 x 236－y 212＝1或y 212－x 236
＝1. 12．证明 设P (x 0，y 0)是双曲线上任意一点，由双曲线的两渐近线方程为bx ＋ay ＝0
和bx －ay ＝0，可得P 到bx ＋ay ＝0的距离d 1＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b
2， P 到bx －ay ＝0的距离
d 2＝|bx 0－ay 0|a 2＋b
2. ∴d 1d 2＝|bx 0＋ay 0|a 2＋b 2·|bx 0－ay 0|a 2＋b
2 ＝|b 2x 20－a 2y 20|a 2＋b
2. 又P 在双曲线上，∴x 20a 2－y 20b
2＝1， 即b 2x 20－a 2y 20＝a 2b 2，∴d 1d 2＝a 2b 2
a 2＋
b 2
. 故P 到两条渐近线的距离之积为定值．
13．解 如图，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，
由题意及正弦定理得n m ＝a c
， ∴n ＝a c
m .又m －n ＝2a ， ∴m －a c
m ＝2a ， 即⎝⎛⎭⎫1－a c m ＝2a ，∴m ＝2ac c －a
.
又m>c＋a，∴2ac
>c＋a，
c－a
即c2－2ac－a2<0，
∴e2－2e－1<0，∴1－2<e<1＋ 2. 又e>1，∴1<e<1＋ 2.。