第二讲 绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题。
一．基础知识回顾：1．绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作a ，读作a 的绝对值。
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值还是0。
3．绝对值的非负性：由于距离总是正数或0，故有理数的绝对值不可能是负数，即对任意有理数a ，总有a ≥0。
4绝对值的求法：绝对值是一种运算，这个运算符号是“”，求一个数的绝对值就是想办法去掉绝对值符号，对于任意有理数a ，有 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a 。
5．数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点,A B 所表示的数为,a b ，则,A B 两点间的距离为a b -6．零点：使某个绝对值等于0的x 的值叫做式子（方程、不等式）的零点。
7、绝对值的基本性质：⑴非负性：0a ≥；⑵a a =- ⑶ab a b = （4）b b a a=（0a ≠）（5）222n n n a a a ==（n 为正整数）；8、与绝对值有关的最值问题：（1）x 的最小值为_____（其中x 为任意实数）；（2）代数式x a x b -+-，当a x b ≤≤时取得最小值为a b -（其中a b <）；（3）代数式x a x b x c -+-+-，当x b =时取得最小值为a c -（其中a b c <<）；思考： 若1a <2a <3a <…<n a ①当n 为偶数时，当x 满足什么条件时，代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值；②当n 为奇数时，x 满足什么条件代数式n a x a x a x -++-+- 21取最小值.（4）代数式 x a x b ---（其中a b <），当x a ≤时，有最小值a b --，当x b ≥时有最大值a b -9、绝对值方程：（1）x a = ① 当 0a >时，方程有两个解x a =±；② 当 0a =时，方程有一解0x = ③当0a <时，方程无解；（2）x a x b m -+-=（a b <）①当 m b a >-时，方程有两解：2a b m x ++=或 2a b m x +-= ② 当m b a =-时，方程有无数个解，即满足a x b ≤≤的所有值 ③当m b a <-时，方程无解（3）x a x b m ---=（a b <）①当 a b m a b --<<-时，方程有一解 ② 当 m a b =-或 m a b =--时，方程有无数个解 ③当m a b >-或m a b <--时，方程无解二、【典型例题分析】（一）绝对值的化简：含有绝对值符号的化简的关键是先确定绝对值符号内部分的正负，再利用绝对值的代数意义化去绝对值符号（就是非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数）。
绝对值符号的化简方法大致有三种类型。
1、 根据题设条件（已知字母的取值范围，直接能确定绝对值内式子的符号）例1、设1-<x 化简222---x ；思路分析 由1-<x 可知032<-<-x 可化去第一层绝对值符号，第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去．解 222---x x x x x +=--=-=---=2)(22)2(22归纳点评 只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零，就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号，这是解答这类问题的常规思路．例2、设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p ＜15.对于满足p≤x≤15的x 的来说，T 的最小值是多少？解：由已知条件可得T=（x-p ）+（15-x ）+（p+15-x ）=30-x.∵当p≤x≤15时，上式中在x 取最大值时T 最小；当x=15时，T=30-15=15，故T 的最小值是15.2、借助数轴例3 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简代数式c b a c b a a -+-++- ；思路分析 由数轴上容易看出0,0,0,0<-<-<+∴<<<c b a c b a c a b ，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍．解 原式[]a c b c a c b a a -=-+-++---=2)()()(归纳点评 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：1．原点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．3、采用零点分段讨论法例4 化简422+--x x思路分析 本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于4,2+-x x 的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况―一讨论．解 令02=-x 得零点：2=x ；令04=+x 得零点：4-=x ，把数轴上的数分为三个部分（如图）x -4O 2 ①当 时,∴ 原式②当 时，，∴ 原式2≥x24<≤-x 4-<x③当时， ， ∴ 原式 ∴归纳点评 虽然4,2+-x x 的正负不能确定，但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：（1）求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）．（2）分段：根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定．（3）在各区段内分别考察问题．（4）将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案．例12 已知0,0,,a ab b c a <>>>化简c a b a c b c a -+--+++2解：∵0,0a ab <>，∴0b <，c 的正负无法确定，需要分2种情况讨论：①当0c >时，∵||||c a >，∴c a >-，则0a c +>∵||||b c >，∴b c ->，则0b c +<∵||||b a >，∴b a <，则0a b ->∵0a <，∴20a <，又∵0c >，∴0c -<，则22()0a c a c -=+-<故c a b a c b c a -+--+++2=22a c b c a b a c a c +---+-+=-+①当0c <时，∵0a <，∴0a c +<∵0b <，∴0b c +<∵||||b a >，∴b a <，则0a b ->∵0a <，∴20a <，又∵0c <，∴0c ->，一个负数与一个整数的和，无法判别 2||a 与||c 的大小，故又需要分3种情况讨论：⑴当2||a =||c 时，|2|0a c -=故c a b a c b c a -+--+++2=22a c b c a b a c -----+=--⑵当2||a >||c 时，有2a c ->-，故20a c -<故c a b a c b c a -+--+++2=24a c b c a b a c a c -----+-+=--⑶当2||a <||c 时，有2a c -<-，故20a c -> 故c a b a c b c a -+--+++2=23a c b c a b a c c -----++-=-例8 上午8点，某人驾驶一辆汽车从A 地出发，向东记为正，向西记为负。
记录前4次行驶过程如下：-15公里，+25公里，-20公里，+30公里，若要汽车最后回到A 地，则最后一次如何行驶？已知汽车行驶的速度为55千米/小时，在这期间他办事花去2小时，问他回到A 地的时间？解：前4次行驶完成后，汽车位于：1525203020-+-+= A 点东边20公里处若要汽车最后回到A 地，则最后一次：20-，即向西行进20公里总共路程：|15|25|20|30|20|110-++-++-=，路上花费时间：110÷55=2小时期间他办事花去2小时，所以总共耗时4小时，他回到A 地的时间：8+4=12（二）绝对值与最值：对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x 的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x 的点与表示数a 的点的距离.下面举例说明其应用.1、利用几何方法求最值例1 已知y=|x-2|-|x-5|,求y 的最大值与最小值.分析 此题常见的方法是根据x 的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了.解 设数轴上表示数2、5、x 的点分别为A 、B 、C.C 可在数轴上移动,那么y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C 点在B 点右边时,AC-BC=AB=5-2=3；当C点在A点左边时（如C1处），AC-BC=-AB=-3；当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3.综上所述,y的最大值为3,最小值为-3.例2已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值.解设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，y=AC+BC=AB=1,综上所述y≥1,y的最小值为1.通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时我们还能得出一些有用的结论:如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值.并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围.3、利用界点分段法求最值例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，112233，，，，然后分段讨论。
≤<≤<≤>x x x x∣解：这里有三个分界点：1、2、3当ｘ≦１时，原式＝－（x－１）－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝６－３ｘ这时ｘ＝１时有最小值３当１＜ｘ≦２时，原式＝x－１－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝４－ｘ这时ｘ＝２时有最小值２当２＜ｘ≦３时，原式＝x－１＋（ｘ－２）－（ｘ－３）＝ｘ这时ｘ没有最小值当ｘ＞３时，原式＝x－１＋ｘ－２＋ｘ－３＝ｘ这时ｘ没有最小值综合以上几种情况，原式的最小值是2。