江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高 二 数 学（试题满分：150分 考试时间：120分钟） 2020.5一、 选择题（一）单项选择题：本题共8小题，每小题5分，计40分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑. 1．化简：A 52=（ ） A ．10B ．20C ．30D ．402．下列导数运算正确的是（ ）A ．211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =- C ．(3)'3x x= D ．1(ln )x '=x 3． (a +b)5的展开式中a 3b 2的系数为（ ） A ．20B ．10C ．5D ．14．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（ ）A ．950 B ．12C ．910D ．145．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（ ） A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.26．设a N ∈,且0≤a ＜13,若512020+a 能被13整除,则a =（ ） A ．0B ．1C ．11D ．127．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（ ） A ．2280B ．2120C ．1440D ．7208．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．7D ．6（二）多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共计20分．在每小题所给的A .B .C .D .四个选项中，有多项是正确的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．请在答题卡上将正确选项按填涂要求涂黑.9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（ ）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-．10．将高二(1)班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（ ） A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．1811．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1012．关于函数()sin x f x e a x =+，(,)x π∈-+∞，下列说法正确的是（ ） A ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=； B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<；C ．对任意0a >，()f x 在(,)π-+∞上均存在零点；D ．存在0a <，()f x 在(,)π-+∞上有且只有一个零点.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，计20分．只要求写出最后结果，并将正确结果填写到答题卡相应位置．13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0. 8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为__________. 14．已知函数f(x)=x 2,当∆x →0时，f (1+∆x )−f(1)∆x→A ,则A = __________.15．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ=k)=ck+1，k =0，1，2，3，则P(ξ=2)= __________. 16. 若对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）高二某班级有5名男生，4名女生排成一排.（以下结果用数字作答）（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？18．（本小题满分12分） 已知函数()323f x ax bx x =+-在1x =-和3x =处取得极值.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 在[]4,4-内的最值.19．（本小题满分12分）某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望.20.（本小题满分12分） 已知*()(2),n f x x n N =+∈．（1）设2012()n n f x a a x a x a x =++++，①求012n a a a a ++++；②若在012,,,,n a a a a 中，唯一的最大的数是4a ，试求n 的值；（2）设2012()(1)(1)(1)nn f x b b x b x b x =+++++++，求111nr r b r =+∑．21．（本小题满分12分） 已知函数()2ln f x x x a x =-+（0a <），且()f x 的最小值为0.（1）求实数a 的值；（2）若直线y =b 与函数f(x)图象交于A,B 两点,A(x 1,f(x 1)), B(x 2,f(x 2)),且12x x <，A,B 两点的中点M 的横坐标为x 0,证明：x 0>1.22.（本小题满分12分）已知函数2()ln ,()xf x x x axg x e e =-+=-，其中0a >. （1）若a =1，证明：f(x)≤0；（2）用max{,}m n 表示m 和n 中的较大值，设函数()max{(),()}h x f x g x =，讨论函数()h x 在(0,)+∞上的零点的个数.命题人：审核人：江苏省扬州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学（参考答案）1．B 2．D 3．B 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A【解析】因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127kxx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k x x ≥， 1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k ≥．令()ln xf x x=， 则()21ln xf x x-'=，∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<， 所以当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选A ．9. ACD 10．BC 11．ABC 12．ABD【解析】当1a =时，()sin x f x e x =+，求出(),(0),(0)f x f f ''，得到()f x 在(0,(0))f 处的切线的点斜式方程，即可判断选项A ；求出()0,()0f x f x ''><的解，确定()f x 单调区间，进而求出()f x 极值点个数，以及极值范围，可判断选项B ；令()sin 0xf x e a x =+=，当0a ≠时，分离参数可得1sin x xa e-=，设sin (),(,)x xg x x eπ=∈-+∞，求出()g x 的极值最值，即可判断选项C ，D 的真假. 13．0.009 14．2 15．16．2a e≥【解析】由题意可知，不等式()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭变形为()()221ln 1ln ax ax e e x x +≥+.设()()()1ln 0f t t t t =+>，则()()()()11ln 1ln ln 1f t t t t t t t'''=+++=++()()221111ln 1t t t f t t t t '-⎛⎫''=++=-= ⎪'⎝⎭'.当01t <<时()0f t ''<，即()f t '在()0,1上单调递减. 当1t >时()0f t ''>，即()f t '在()1,+∞上单调递增.则()f t '在()0,∞+上有且只有一个极值点1t =，该极值点就是()f t '的最小值点. 所以()()11ln11201f t f ''≥=++=>，即()f t 在()0,∞+上单调递增.若使得对任意0x >，恒有()112ln axa x x x e ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭成立. 则需对任意0x >，恒有()()2ax f e f x ≥成立.即对任意0x >，恒有2ax e x ≥成立，则2ln xa x≥在()0,∞+恒成立. 设()()()2ln ,0,xg x x x =∈+∞则()()()222ln 2ln 22ln x x x x x g x x x ''--'==. 当0x e <<时，()0g x '>，函数()g x 在()0,e 上单调递增 当x e >时，()0g x '<，函数()g x 在()0,e 上单调递减则()g x 在()0,∞+上有且只有一个极值点x e =，该极值点就是()g x 的最大值点. 所以()()max 2g x g e e==，即2a e ≥.17．【解析】（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法，5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法，故共有545643200A A =种方法.18．【解析】（1）()2'323f x ax bx =+-.由题可得()'0f x =的根为-1和3，∴2133113b aa ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得131a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩.检验单调性符合. （2）由（1）得()32133f x x x x =--，()2'23f x x x =--， ∴()f x 在(),1-∞-和()3,+∞内单调递增；()f x 在()1,3-内单调递减.(需要列表) 又∵()7643f -=-，()513f -=，()39f =-，()2043f =-， ∴()()min 7643f x f =-=-；()()max 513f x f =-=. 19．【解析】（1）记事件A:乙答对2题,故所求的概率P(A)=C 32(23)2(13)=49.答：甲答对1题乙答对2题的概率为49. （2）m 的所有取值有1，2，3，m~H(3,4,6) P (m =1)=C 41C 22C 63=15，P (m =2)=C 42C 21C 63=35，P (m =3)=C 43C 63=15，15+2×35+3×15=2或E (m )=3×46=2. 由题意可知n ∼B (3,23)， P (n =1)=C 31(23)1(13)2=29，P (n =2)=C 32(23)2(13)=49，P (n =3)=C 33(23)3=827， 29+2×49+3×827=2或E (n )=3×23=2. 答：甲、乙两位同学答对题目数m,n 的数学期望均为2.20．【解析】（1）因为2012()(2)n n n f x x a a x a x a x =+++++=，①令1x =，则0123n n a a a a +++=+；②因为二项式(2)nx +展开式的通项为：12r n r r r n T C x -+=，又在012,,,,n a a a a 中，唯一的最大的数是4a ，所以445544332222n n n n n n n n C C C C ----⎧>⎨>⎩，即45454543434322n n n nA A A A A A A A ⎧⨯>⎪⎪⎨⎪>⨯⎪⎩，解得1411n n <⎧⎨>⎩，即1114n <<， 又*n N ∈，所以12n =或13；（2）因为[]2012()(2)1(1)(1)(1)(1)nnn n f x x x b b x b x b x =+++=++++++=+，根据二项展开式的通项公式，可得，rr n b C =，所以1111!1(1)!1=11!()!1(1)!()!111n r r r n n n C C r r r n r n r n r n b r +++⋅=⋅=⋅=⋅++-++-++， 则()11231111112(1)12112111n n n n n n nr r n n b r C C C n n n +++=+++-+---=⋅++⋅⋅⋅+=+++=+∑. 21．【解析】（1）()2221a x x af x x x x-+'=-+=（0x >）. 因为0a <，所以180a ->，令f ′(x )=0得114x =，214x +=， 且10x <，20x >，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上f ′(x )>0；在⎛ ⎝⎭上f ′(x )<0； 所以函数()f x在14x =时，取最小值0，又()10f =，所以114+=，解得1a =-. （2）由（1）得1a =-，函数()2ln f x x x x =--，设f (x 1)=f (x 2)=b （b >0），则1201x x <<<，设()()()2h x f x f x =--（01x <≤）， 则()()()()()22ln 22ln 222ln ln 2h x x x x x x x x x x =----+-+-=--+-，()()2112222202222h x x x x x x x '=--=-≤-=--+-⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()h x 为减函数，所以()()110h x h >=，即()()()11120h x f x f x =-->，所以()()112f x f x -<，即()()122f x f x -<， 又11<x ，所以121x ->，又当1x >时，()f x 为增函数， 所以122x x -<，即122x x +>.即x 0>1.22．【解析】（1）f ′(x )=1x −2x +1=−(x−1)(2x+1)x, x ∈(0,1),f ′(x )>0,f(x)增；x ∈(1,+∞),f ′(x )<0,f(x)减；∴f (x )≤f (1)=0. （2）在区间(1,)+∞上，()0>g x ，所以()max{(),()}()0h x f x g x g x =≥>， 所以()h x 在区间(1,)+∞上不可能有零点.下面只考虑区间(0,1)上和1x =处的情况.由题意()f x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-++'=-+=.令()00f x '=可得0x =（负值舍去）.在0(0,)x 上()0f x '>()f x 为增函数，在0(,)x +∞上()0f x '<，()f x 为减函数， 所以max 0()()f x f x =.①当1a =时，01x =，所以max ()(1)0f x f ==.因为在区间(0,1)上，()0<g x ，且(1)0g =，所以此时()h x 存在唯一的零点1x =.②当01a <<时，01x =<.因为()000120f x x a x '=-+=，所以0012a x x =-. 所以()222000000001ln (2)ln 1ln1110f x x x x x x x x =-+-=+-<+-=.于是()0f x <恒成立. 结合函数()g x 的性质，可知此时()h x 存在唯一的零点1x =.③当1a >时，014a x =>，所以()f x 在(0,1)上递增.又因为(1)10f a =->，2221111111111ln 102242242224f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+<--+=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在区间(0,1)上存在唯一的零点1x x =.答案第7页，总7页 结合函数()g x 的性质，可知1x x =是()h x 唯一的零点. 综上所述：当01a <≤时，()h x 在(0,)+∞上有唯一的零点1x =； 当1a >时，()h x 在(0,)+∞上也有1个零点.。