b a
∫ f (t )dW (t )][∫ g (t )dW (t )]} = σ ∫ f (t )g (t )dt
s 0
s
0
(
s3 t 2 + 1 dt = + s 3
)
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例3 设随机过程{ X (t ), t ∈ T } 的协方差函数为 试求Y (s ) =
X (t )dt 的协方差函数与方差函数。 BY (s1 , s2 ) = E{[Y (s1 ) − EY (s1 )][Y (s2 ) − EY (s2 )]}
2
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9、设 X (t ) 在[a,b]上均方连续，则
b a
∫ X (t )dt ≤ ∫ X (t ) dt
b a
2 10、 E b X (t )dt = b b R(s, t )dsdt ∫a ∫a ∫a
b X (t )dt = b b B(s, t )dsdt 11、 D ∫a ∫a ∫a 12、（1）若随机过程{ X (t ), t ∈ T } 在区域T=[a,b]上的均方积分，即
b a i =1 i i i −1
n
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定义 设 W = {W (t ), t ∈ (− ∞, ∞ )} 是参数为 σ 2 的维纳过程， f (t ) 是连续可微的确定性函数，且满足
∫
b
b
a
f (t ) dt < ∞
2
在[a,b]上取分点a = t0 < t1 < L < t n = b ，则称
b ∆ →0 i =1 ∆ →0 i =1 a n −1 n −1
0≤ i ≤ n −1
于是
∫ f (t )dW (t ) = f (b)W (b ) − f (a )W (a ) − ∫ f ′(t )W (t )dt
b b a a
注：类似于普通积分
∫ f (t )dW (t ) = f (t )W (t )
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当∆ = max {∆ti } → 0时，ξ i → ti , t1 → a,由f ′(t )的连续性知， f ′(ξ i ) → f ′(ti )
且由均方积分的定义知， l.i.m ∑ f ′(ξ i )W (ti )∆ti = l.i.m ∑ f ′(ti )W (ti )∆ti = ∫ f ′(t )W (t )dt
BX (t1 , t 2 ) = (1 + t1t 2 )σ 2
∫
s
0
= E{[ ∫ [ X (t1 ) − EX (t1 )]dt1 ][ ∫ [ X (t 2 ) − EX (t 2 )]dt 2 ]}
s1 s2 0 0
=∫ =∫ =∫
s1
0 s1
∫
s2
0 s2
E[ X (t1 ) − EX (t1 )][ X (t 2 ) − EX (t 2 )]dt1dt 2 BX (t1 , t 2 )dt1dt 2 = ∫
n
a = t0 < t1 < t 2 < L < t n = b
S n = ∑ f (u k )X (u k )(t k − t k −1 )
其中 u k ∈ [t k −1 , t k ], k = 1,2, L, n 若均方极限
k =1
l.i.m ∑ f (uk )X (uk )(t k − t k −1 )
∆ →0 k =1
n
存在，且与区间[a,b]的分法和 记为
e 3
在区间[a,b]上的黎曼均方积分 黎曼均方积分，简称均方积分 均方积分。 黎曼均方积分 均方积分
uk
在子区间的取法无关。则称此极限为
∫ f (t )X (t )dt
b a
此时，称 f (t )X (t ) 在[a,b]上均方可积。 特别地，若 f (t ) = 1 ，有
Y (t ) = ∫ X (s )ds, a ≤ t ≤ b ，则Y (t ) 的自相关函数为 a
t
RY (t1 , t 2 ) = ∫
t1
a
∫
t2
a
R X (t , s )dtds
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（2）随机过程 X (t ) 和积分过程的互相关函数为
RXY (t1 , t 2 ) = ∫ RX (t1 , s )ds
U (t ) = ∫ f (t )dW (t ) = lim S n
a n →∞
= l.i.m∑ f (ti )[W (ti ) − W (ti −1 )]
i =1
n
= f (b )W (b ) − f (a )W (a ) − ∫ f ′(t )W (t )dt
b a
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证明：将[a，b]划分如下
(
)
所以∫ X (s )ds = ∫ 2 A2 sds = A2t 2
t t 0 0
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二、均方可积准则
定理1 定理 X (t ) 在[a,b]上均方可积的充分必要条件是
∫ ∫ 证明：根据洛易夫准则， 证明
a
n k =1 k
b
b
a
RX (s, t ) dsdt < ∞
− t k −1 )均方收敛
可导。 设f（t）是连续可微的确定性函数。 由于W(t)的不可导性，所以在常义下无法定义积分 若把上式看作
W (t + ∆t ) − W (t ), 当∆t → 0时的极限，则可定义
∫ f (t )dW (t )，并把 dW (t ) 视为
b a
∫ f (t )W ′(t )dt
b a
。
∫ f (t )dW (t )为∑ f (t )[W (t ) − W (t )]的均方极限。
t2 a
例2 设随机过程 { X (t ), t ∈ T } 的均值函数为
RYX (t1 , t 2 ) = ∫ RX (s, t 2 )ds
t1 a
m X (t ) = t 2 + 1
试求Y (s ) =
∫
s
0
X (t )dt 的均值函数。
解：由性质7得：
EY (s ) = ∫ EX (t )dt = ∫
b b a a
三、性质
存在，其中R(s, t ) 是 X (t ) 的自相关函数。
1、若 X (t ) 在[a,b]上均方连续，则必在[a,b]上均方可积。 2、均方积分的唯一性 若 3、线性性
Y1 = ∫ X (t )dt , Y2 = ∫ X (t )dt , 则Y1 = Y2 (以概率1成立)
s2 DY (s ) = BY (s1 , s2 ) s1 = s2 = s =σ s 1 + 4
2 2
维纳积分
设 W = {W (t ), t ∈ (− ∞, ∞ )} 是参数为 σ 2 的维纳过程，即
E[W (t )W (s )] = σ 2 min(t , s ) 。Brown运动不可微，即W(t)几乎处处不
0
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如果g(t)也是[a,b]上具有连续导数的确定性函数，则 以下性质。 (1)零均值性 E[ (2) E{[
b a
∫ f (t )dW (t ) 具有
b a
∫ f (t )dW (t )] = 0
b a
特别地，f (t ) = g (t ) D[ ∫ f (t )dW (t )] = σ
b a
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b a
− ∫ f ′(t )W (t )dt
b a
若记 dW (t ) = W ′(t )dt ，则称 W ′(t ) 为维纳过程的“导数”，也称“白 噪声”。若维纳过程有方差 σ2 声。 注：白噪声不是真正的导数，它是一类泛函，只有在关于维纳过程的积 分中才有意义。 W ′(t )dt 表示维纳过程的增量 dW (t ) = W (t ) − W (t − h ) 特别地，当
s1 0
0 s1
∫ ∫
0 s2
(1 + t1t2 )σ 2 dt1dt2 ∫0
s2
0
0
σ dt1dt 2 + ∫
2
s1
0
∫
s2
0
t1t 2σ 2 dt1dt 2
2 s12 s2 ss = σ 2 s1s2 + σ 2 = σ 2 s1s2 1 + 1 2 2 2 4
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b b a a
∫ [c X (t ) + c Y (t )]dt = c ∫ X (t )dt + c ∫ Y (t )dt
b b b a 1 2 1 a 2 a
4、积分区间的可加性
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对∀c ∈ [a, b], 有∫ X (t )dt = ∫ X (t )dt + ∫ X (t )dt
∫ X (t )dt = l.i.m ∑ X (u )(t
b a ∆ →0 k =1 k
n
k
− t k −1 )
称随机过程 { X (t ), t ∈ T } 在T= [a,b]上的均方积分，此时，称随机过程
{ X (t ), t ∈ T }在T= [a,b]上均方可积。
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例1 X (t ) = 2 A t ， A为随机变量， [ A E
b c b a a c
5、设 X (t ) 在[a,b]上均方连续，Y (t ) = 导，且 上均方连续，则
Y ′(t ) = X (t )
∫ X (t )dt，则 Y (t ) 在上[a,b]均方可
b a
6、（牛顿—莱布尼兹公式）设 X (t ) 在[a,b]上均方可导，且X ′(t ) 在[a,b]