第十章 曲线积分与曲面积分10.01 填 空(1) 第二类曲线积分⎰ΓRdz+Qdy +Pdx 化成第一类曲线积分是⎰Γγ+β+α)dsRcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为Γ上点(x,y,z)处切 向量的方向角。
(2) 第二类曲面积分⎰⎰∑Rdxdy+Qdzdx +Pdydz 化成第一类曲面积分是⎰⎰∑γ+β+α)dsRcos Qcos (Pcos ，其中α﹑β﹑γ为∑上点(x,y,z)处的法 向量的方向角10.02 计算下列曲线积分： (1) dsy x L22⎰+,其中L 为圆周ax y x 22=+ 解：ΘL:x y ax22+=表示为参数方程:x =a 2a 2cos y =a 2sin +⎧⎨⎪⎩⎪≤≤θθθπ()02有 θ'θ-='θθcos 2a =y ,sin 2a xx y a 4a 2''2θθ22+== )cos 1(2a =ax y x 222θ+=+θ⋅θ=+∴⎰⎰πd 2a cos +12a ds y x 20L22θθ⎰πd 2cos 2a 42=202⎪⎭⎫⎝⎛θθ-θθ=⎰⎰πππ022d 2cos d 2cos 2a=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=a a2220222sin sinθπθππ(2)⎰Γzds ,其中Γ为曲线t cos t x =，t sin t x =，t z =，0tt 0≤≤解：ΘΓ:cos sin ()x t ty t tz t t t ===⎧⎨⎪⎩⎪≤≤00 ∴++=+x y z t t t t '''22222Θzds t t dt t Γ⎰⎰=+2200)t 2(d t 2212t 020++=⎰322)t 2(0t )t 2(32212/32002/32-+=+⨯=(3)⎰+-Lxdy dx )y a 2(,其中L 为摆线)t sin t (a x -=，)t cos 1(a y -=上对应t 从0到π2的一段弧。
解:{[]⎰⎰π-⋅--=+-20L)t sin t (a )t cos 1(a a 2x dy dx )y a 2(}dt )t cos 1(a )t sin t (a -⋅-+22020220220222a 2tdt cos )t cos (t a tdtsin t adt )t sin t sin t t cos 1(a π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-==-+-=⎰⎰⎰ππππ(4)⎰Γ-+-dzx yzdy 2dx )z y (222，其中Γ是曲线32t z ,t y ,t x ===上由0t 1=到1t 2=的一段弧。
解:[]()()y z dx yzdy x dz t t t t t t dt22246522012223-+-=-+-⎰⎰Γ=-⎰()326401t t dt351t 52t 731057=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=（5⎰-+-Lx x dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (，其中L 为上半圆周222a y )a x (=+-，0y ≥沿逆时针方向。
解: 补直线段y x a :(),=≤≤002由格林公式,有[]⎰⎰⎰⎰⎰=--=-+-+DDx x OAL x x dxdy2dxdy)2y cos e (y cos e dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (=⋅2区域D 的面积=πa 2又L OALOA+⎰⎰⎰=+2Lx x a20OAxxa dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (0dx 0dy )2y cos e (dx )y 2y sin e (π=-+-∴==-+-⎰⎰⎰（6）⎰Γxyzdz ，其中Γ是用平面z y =截球面1z y x222=++所得的截痕，从z 轴的正向看去，沿逆时针方向解: Γ:y z x y z =++=⎧⎨⎩2221， 用参数方程表示为:x t y z t t ===⎧⎨⎪⎩⎪→cos sin (:)1202πtdt cos 21t sin 21t cos x yzdz 220⋅⋅=∴⎰⎰πΓ⎰⎰ππ-==20202dt 2t 4cos 1162dt )t 2(sin 162π=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=π162t 4sin 812t 16220 10.03 计算下列曲面积分：（1）ds z y x 1222⎰⎰∑++，其中∑是界于平面0z =及H z =之间的原柱面222R y x =+解：∑投影到yoz 平面上的投影为y zD∑∑∑=+12 其中Hz 0,R y R :D y R R x x 1),H z 0(y R x :y R R x x 1),H z 0(y R x :y z 222z 2y 222222z 2y 221≤≤≤≤--=++≤≤--=∑-=++≤≤-=∑ds zy x 12222⎰⎰∑+++=+⋅-=-⋅+=⋅⋅⎰⎰⎰⎰--21221222222220R z RR y dydz R dy R y dz R z R y RR arctg z RD RRHRR Hxy(arcsin)()=⋅--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⋅-=222102R R arctg H R arctgHR πππ()()（2）⎰⎰∑-+-+-dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (222，x(10.03 (2)图)其中∑为锥面22y x z +=,()h z 0≤≤的外侧。
解：补平面h z :1=∑上侧（如上页下图），与∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧由高斯公式得:0d 0dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (1222=ν=-+-+-⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑又⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=11故⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑-=11⎰⎰∑-+-+-∴dxdy)y x (dzdx )x z (dydz )z y (222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ∑θθ+θθ+-=θθ-θ-=θ-θθ-=--=-+-+--=20320420324h2220D 2222d sin 3h d 22cos 14h d )sin 3h cos 4h (rdr)sin r cos r (d dxdy )y x (dxdy )y x (dzdx )x z (dydz )z y (xy14h cos 3h 2sin 4124h 4203204π-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡θ+θ-=ππ（3）⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑为半球面222y x R z --=的上侧解: 补平面h z :1=∑下侧,与∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧；由高斯公式得:⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑ν++=++d )111(zdxdy ydzdx xdydz 1=⋅3区域Ω的体积=⨯⨯=31243233ππR R又xdydz ydzdx zdxdy ++=⎰⎰∑1，∑∑∑∑+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+11∴++=-=⎰⎰xdydz ydzdx zdxdy R R ∑20233ππ（4）()⎰⎰∑++++3222z y xzdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面()9)1y (162x 5z 122-+-=-)0z (≥的上侧。
解: 补平面0z :1=∑下侧, 与曲面∑构成一封闭曲面：1∑+∑的外侧；而222y x R z --=∂∂∂∂∂∂x x x y z y z x x y z y y x y z x z y x y z z z x y z x y zx y z ()()()()()()222322222252222322222252222322222252222++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪=+-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪∴由高斯公式得：⎰⎰∑+∑++++13222)z y x (zdxdyydzdx xdydz()()0d 0d )z y x ()z 2y x (y 2z x x 2z y25222222222222=ν=ν++-++-++-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ又⎰⎰⎰⎰++-=++++∑xy1D 32223222dxdy )0y x (0)z y x (zdxdy ydzdx xdydz 0dx dy 0xy D =-=⎰⎰（其中()()191y 162x :D 22xy ≤-+-）00)z y x (zdxdyydzdx xdydz 113222=-=-=++++∴⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑（5）⎰⎰∑xyzdxdy，其中∑为曲面1z y x 222=++ ()0y ,0x ≥≥的外侧 解：方法1:xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+上下⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰π-θθθ=--=------=201023D 22D 22D 22drr 1cos sin r d 2dxdy y x 1xy 2dxdy)y x 1(xy dxdy y x 1xyxy xyxy1521520sin dr r 1r d cos sin 22220123=⋅θ=-⋅θθθ=ππ⎰⎰其中：⎰⎰π-=-023123dt)t sin (t sin t cos tcos r drr 1r令1520t sin 51t sin 31t sin td sin )t sin 1(2530222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ππ⎰ 方法2：补)1z y (,0x :),1z x (,0y :224223≤+=∑≤+=∑ 由高斯公式得:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑+∑∑∑∑ν==++xyd xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdy 4343152513421dr r d sin d cos sin drsin r cos sin sin r d d 1403201222020=⋅⋅=⋅ϕϕ⋅θθθ=ϕ⋅θθϕϕθ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππ而 xyzdxdy xyzdxdy ∑∑34⎰⎰⎰⎰==∴=--=⎰⎰xyzdxdy ∑2150021510.04证明：22y x ydyx dx ++在整个xOy 平面的除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数证明：ΘP x x y Q yx y =+=+2222, (∴=-+=+∂∂∂∂P y xy x y Q x x 22222(),∴++xdx ydy x y 22在整个xoy 平面除去及原点的开区域G u x y xdx ydyx yx y (,)(,)(,)=++⎰2201⎰+++=BC 22AB 22y x y x x dx)y x ln(21y ln 21)y x ln(21y ln y x x dx dy y 122222x 022y1+=-++=++=⎰⎰10.05设在半平面0x >内有力()jy i x r k F 3ρρρ+-=构成力场，其中k 为常数，22y x r +=；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。