a
ex
ex
ex
ex (x 2)
立，只需 1 x 恒成立，即 a 恒成立，设 g(x) ，则 g(x)
，可知当 x 2 时，
a
x 1
x 1
(x 1)2
g(x) 取得最小值 e2 ，所以 a e2 ，又因为 a 0 ，所以 a 的取值范围是 (0, e2 ) ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
x 2 y ≤ 2
11．若 x, y 满足约束条件
，则 (x 1) y 的取值范围为（ ）
2 y 3x ≤ 6
A．[3, 0]
9 B． 3, 4
9 C． 0, 8
11．答案：D
x 2 y ≤ 2 2 ≤ x 2 y ≤ 2
解析：由
，得
，作可行域如图所示，
2 y 3x ≤ 6 6 ≤ 2 y 3x ≤ 6
A．5
B．12
C．27
D．58
开始
k 1, s 1
k 2k 1
是
k<30?
s sk
否
输出s
结束 5．答案：C 解析： s 11 3 7 15 27 ．
6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
2
A．
3
4
B．
3
C． 2
D． 2 5
解析：当 n 2 时，4S2 (a1 3)2 16, S2 4, a2 3 ；当 n 3 时，4S3 (a2 3)2 36, S3 9, a3 5 ，
当 n 4 时， 4S4 (a3 3)2 64, S3 16, a3 7 ，猜想得 an 2n 1，经验证，当 an 2n 1时， an1 2n 3, Sn n2 ，满足 4Sn (an1 3)2 ．故 an 2n 1，下面用数学归纳法证明：
即 A [4, 4], B (0, ), A B (0, 4] ．
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 a1 12, S5 90 ，则等差数列{an}的公差 d （ ）
A．2
3
B．
2
C．3
3．答案：C
54 解析： S5 5a1 2 d 60 10d 90 ，解得 d 3 ．
则平面 BDC1 即为平面 A2BC1D ，连接 AC2 ，与平面 A2BD ，平面 B2CD2 交于 P, Q 两点，
易证得平面 A2BD / / 平面 B2CD2 ，且 AC2 平面 A2BD ， AC2 平面 B2CD2 ，且 P, Q 两点是线段 AC2
5 的两个三等分点，所以点 Q 即为点 A 关于平面 BDC1 的对称点为 M ，易知点 Q 平面 A1B1C1D1 的距离为 3 ．
（1）求 c ； （2）求△ABC 的面积． 17．解析：（1）由 sin 2C sin A 0 ，知 2 sin C cos C sin A 0 ， 2c a2 b2 c2 a 0,c(a2 b2 c2 ) a2b 0 ，而 a 2,b 3，c(4 9 c2 ) 12 0 ，
0
≤
y
≤
3 2
，所以
z
0,
9 8
；
当 (x, y) 位于线段 CD : y 3x 6 (1≤ x ≤ 2) 时， z (x 1) y 3 (x2 x 2) [3, 0] ；
2
2
当
(x,
y)
位于线段
BC
:
x
2
y
2
3 2
≤y≤0时，z(x
1)
y
(2
y
1)
y
2
y2
y
3,
1 8
；
当
2(k 1) 1 ，也满足 an 2n 1，
结合①②可知， an 2n 1．
16．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 A 关于平面 BDC1 的对称点为 M ，则 M 到平面
A1B1C1D1 的距离为
．
5
16．答案：
3
解析：将正方体 ABCD A1B1C1D1 再叠加一个正方体，构成如图所示的正四棱柱 A1B1C1D1 A2B2C2D2 ，
t12
16 t12
8 2t1
t1
t14
256 t14
4t12
64 t12
≥ 2 256 2 256 8 ，当且仅当 t12 4 时等号成立，所以 AB 的最小值为 8．
y x
解法 2：特值法，当
OA
OB
，即直线 OA 的倾斜角为 45 时，
AB
取得最小值，联立
y
2
，
4x
得 A(4, 4) ，同理可得 B(4, 4) ，所以 AB 8 ．
D． (1, e2 )
12．答案：B
解析：函数 f (x) 的定义域为 (1, ) ，由 f (x) ex a ln(ax a) a 0 ，得 ex 1 ln(ax a) ， a
ex 函数 y 1与函数 y ln(ax a) 互为反函数，其图象关于直线 y x 对称，所以要使得 f (x) 0 恒成
．……………………………………12 分
2
2
16 4
1
9
解法 2： a 2,b 3, c 4, p (a b c) ，由海伦公式得：
2
2
9 5 3 1 3 15
△ABC 的面积 S p( p a)( p b)( p c)
．…………………………12 分
2222 4
18．（本小题满分 12 分）
A． 4 2
B． 2 2
C．8
D．8 2
10．答案：C
解析：设 A(t12 , 2t1), B(t22 , 2t2 ) ，则 OA OB (t1t2 )2 4t1t2 0 ，解得 t1t2 0 （舍去）或 t1t2 4 ，
2
2
所以 AB
(t12 t22 )2 (2t1 2t2 )2
9 D． 3, 8
3
3
其中
A
1,
2
,
B(2,
0),
C
1,
2
,
D(2,
0)
，则
z
(
x
1)
y
表示以点
(x,
y)
和
(1,
0)
的连线段为对角线
3
的长方形的面积（可为负值），当 (x, y) 位于线段 AD : x 2 y 2 0 ≤ y ≤ 时，
2
z
(
x
1)
y
(2
y
3)
y
2
y2
3
y
，因为
2ab
即 c3 13c 12 0,(c 1)(c 3)(c 4) 0 ，而 c 0,c 4 ．…………………………………6 分
a2 c2 b2 11
（2）在△ABC 中，由余弦定理得： cos B
,sin B
1 cos2 B 3
15
，
2ac 16
16
1
1
3 15 3 15
所以△ABC 的面积 S ac sin B 2 4
如图，已知四边形 ABCD 为梯形，AB / / CD, DAB 90, BDD1B1 为矩形，平面 BDD1B1 平面 ABCD ，
13． (x 2)(x 2)7 展开式中 x7 项的系数为
．
13．答案： 12 解析：展开式中含 x7 的项为 x C71x6 (2)1 2x7 12x7 ，故展开式中 x7 项的系数为 12 ．
14．函数 y x ln(x a) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 y x ，则实数 a 的值为
x 1
x 1
x 1
z
与直线 AD : x 2 y 2 相切时， z 取得最大值，设切点为横坐标为 t ，因为 y
，
(x 1)2
t
z 1
2 2
t
1 t 2
9
所以
(t
z 1)2
1
2
，解得 z
9 ，即 zmax 8
8
，
z
3
3
当 y 过点 C 1, 时， z 取得最小值 zmin (11) 3．
解析： z
1i ．
3 4i (3 4i)(3 4i) 25
D． 1 i
2．已知集合 A x x2 4 x ≤ 0 , B {x | x 0} ，则 A B （ ）
A． (0, 4]
B．[0, 4]
C．[0, 2]
D． (0, 2]
2．答案：A
解析：由 x2 4 x ≤ 0 ，得 x 2 4 x ≤ 0 ，即 x x 4 ≤ 0 ，所以 x ≤ 4, 4 ≤ x ≤ 4 ，
D．4
x2 y2 4．已知双曲线 1(b 0) 的渐近线方程为 3x y 0 ，则 b （ ）
4 b2
A． 2 3
B． 3
3
C．
2
D．12
4．答案：A
b
b
解析：由双曲线方程可知其渐近线方程为 y x ，又渐近线方程为 y 3x ，所以 3, b 2 3 ．
2
2
5．执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）
D1
C1
A1 D
B1 C
A P
D2
B Q
C2
A2
B2
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）