数列求和之错位相减法专项练习一、解答题1.已知正项数列{a a}是递增的等差数列，且a2⋅a4=6，a6=4．(1)求数列{a a}的通项公式；}的前n项和．(2)求数列{a a2a−12.在数列{a a}中，前n项和为a a，a a+a a=a,a1=a1,a a=a a−a a−1(a≥2)．(1)设a a=a a−1，求证：{a a}为等比数列．(2)求{(a+1)a a}的前n项和a a．3.设数列{a a}的前n项和为a a，且a a=2(a a−1)(1)求数列{a a}的通项公式；(2)若a a=a(a a−1)，求数列{a a}的前n项和a a．4.已知等差数列{a a}的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列．~(1)求数列{a a}的通项公式；}的前n项和a a．(2)求数列{a a2a a5.已知{a a}是公差不为零的等差数列，满足a2+a4+a5=19，且a2是a1与a5的等比中项，a a为{a a}的前n项和．(1)求a a及a a；(2)若a a=a a⋅3a a，求数列{a a}的前n项和．+16.已知数列{a a}是首项为1的等差数列，数列{a a}是首项a1=1的等比数列，且a a>0，又a3+a5=21，a5+a3=13．(Ⅰ)求数列{a a}和{a a}的通项公式；(Ⅱ)求数列{2a a a a}的前n项和a a．7.已知数列{a a}的前n项和a a=3a2+8a，{a a}是等差数列，且a a=a a+a a+1.(1)求数列{a a }的通项公式； (2)令a a =(a a +1)(aa +2)a a +1，求数列{a a }的前n 项和．8. 已知等比数列{a a }的前n 项和为a a ，且a a +1=2a a +1(a ∈a ∗)．(1)求数列{a a }的通项公式；"(2)若数列{a a }满足a a =3a a −1，求数列{a aa a}的前n 项和a a ．9. 各项均为正数的数列{a a }满足a 1=1，a a +12−a a 2=2(a ∈a +).(1)求数列{a a }的通项公式;(2)求数列{a a 22a}的前n 项和a a ．10. 已知数列{a a }的前n 项和为a a ，且满足3a a =2a a +1．(1)求数列{a a }的通项公式；(2)设数列{a a}满足a a=(a+1)a a，求数列{a a}的前n项和a a．答案和解析1.【答案】解：(1)设a a =a 1+(a −1)a ，则(a 1+a )(a 1+3a )=6且a 1+5a =4，解得a 1=32，a =12或a 1=−172，a =52， ∵a a >0， ∴a 1=32，a =12， ∴a a =a2+1， (2)设{a a2a −1}的前n 项和为a a ，a a2a −1=a2+12a −1=a +22a， ∴a a =3×(12)+4×(12)2+5×(12)3+⋯+(a +2)×(12)a ， ∴12a a =3×(12)2+4×(12)3+5×(12)4+⋯+(a +2)×(12)a +1，①−②得：12a a =32[(12)2+(12)3+(12)4+⋯+(12)a ]−(a +2)×(12)a +1=32+14(1−12a −1)1−12]−(a +2)×(12)a +1，∴a a =4−a +42a【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设a a =a 1+(a −1)a ，利用等差数列的通项公式即可得出． (2)利用错位相减法求和即可得出．2.【答案】解：(1)证明：当a =1时，a 1+a 1=1=2a 1，∴a 1=12，当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，∴a a =12a a −1+12，∴a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)， 又a 1=a 1−1=−12≠0，故数列{a a }是以−12为首项，以12为公比的等比数列； (2)∵a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，∴a a =1−(12)a，当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a =(12)a；当a =1时，a 1=a 1=12， ∴a a =2⋅12+3⋅(12)2+4⋅(12)3+⋯+(a +1)⋅(12)a，又12a a =2⋅(12)2+3⋅(12)3+4⋅(12)4+⋯+(a +1)⋅(12)a +1，两式相减，得12aa=1+(12)2+(12)3+⋯+(12)a−(a +1)⋅(12)a +1=1+14[1−(12)a −1]1−12−(a +1)⋅(12)a +1=32−(a +3)⋅(12)a +1， 故a a =3−(a +3)⋅(12)a．【解析】本题主要考查由递推关系证明等比数列，以及错位相减法求数列的和，熟记等比数列的定义与通项公式，以及错位相减法求数列的和即可，考查了分析和运算能力，属于中档题． (1)运用当a ≥2时，{a a +a a =a ,a a −1+a a −1=a −1.两式相减，得a a −a a −1+a a =1，即得到a a −1=12(a a −1−1)，即a a =12a a −1(a ≥2)，再根据a 1=a 1−1=−12≠0即可证明{a a }为等比数列；(2)由(1)得a a =(−12)⋅(12)a −1=−(12)a，即得a a =1−(12)a，进而得到当a ≥2时，a a =(12)a −1−(12)a=(12)a，当a =1时a 1=a 1=12，然后用错位相减法求和即可得解．3.【答案】 解：(1)因为a a =2(a a −1)，① 当a ≥2时，a a −1=2(a a −1−1)，②①−②得a a =2a a −2a a −1，即a a =2a a −1，由①式中令a =1，可得a 1=2，∴数列{a a }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a a =2a 。

(2)由(1)知a a =a (2a −1)=a ⋅2a −aa a =2+2×22+3×23+⋯+(a −1)2a −1+a ⋅2a −[1+2+3+⋯+(a −1)+a ]，设a a =2+2×22+3×23+⋯+(a −1)2a −1+a ⋅2a ，-------------① 则2a a =22+2×23+3×24+⋯+(a −1)2a +a ⋅2a +1，---------②①减②式得−a a =2+22+23+⋯+2a −a ⋅2a +1=2(1−2a )1−2−a ⋅2a +1=2a +1−2−a ⋅2a +1=−(a −1)2a +1−2，得a a =(a −1)2a +1+2， 又1+2+3+⋯+(a −1)+a =a (1+a )2，∴a a =(a −1)2a +1−a (a +1)2+2【解析】本题考查数列通项与和递推关系的处理，以及等比数列的定义，错位相减法求和．(1)根据a a 与a a 之间的关系，证明等比数列，得出{a a }的通项公式． (2)利用分组求和和错位相减法即可求解．4.【答案】解：(1)因为{a a }是公差为1的等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 32=a 1a 9，即(a 1+2)2=a 1(a 1+8)，解得a 1=1．、所以a a =a 1+(a −1)a =a (a ∈a ∗).(2)a a =1×(12)1+2×(12)2+3×(12)3+⋯+a ×(12)a， 12a a =1×(12)2+2×(12)3+⋯+(a −1)×(12)a+a ×(12)a +1， 两式相减得12a a =(12)1+(12)2+(12)3+⋯+(12)a −a ×(12)a +1，所以12a a=12−(12)a +11−12−a ×(12)a +1=1−12a−a 2a +1．所以a a =2−2+a 2．【解析】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)因为{a a }是公差为1的等差数列，且a 1，a 3，a 9成等比数列，可得a 32=a 1a 9，即(a 1+2)2=a 1(a 1+8)，解得a 1.利用通项公式即可得出结果． (2)利用错位相减法，即可得出结果．5.【答案】解：(1)设{a a }的公差为a (a ≠0)，则{3a 1+8a =19a 1(a 1+4a )=(a 1+a )2，解得{a 1=1a =2, 所以a a =2a −1，a a =a (1+2a −1)2=a 2．(2)a a =a a +1⋅3a a =(2a +1)·32a −1， 记数列{a a }的前n 项和为a a ，则a a =a 1+a 2+a 3+⋯+a a =3×31+5×33+7×35+⋯+(2a +1)×32a −1，所以9a a =3×33+5×35+7×37+⋯+(2a −1)×32a −1+(2a +1)×32a +1， 两式相减得−8a a =9+2(33+35+37+⋯+32a −1)−(2a +1)×32a +1 =9+2×27(32a −2−1)8−(2a +1)×32a +1 =9−(8a +3)·32a +14， 所以a a =(8a +3)·32a +1−932【解析】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的求和及错位相减法，是中档题． (1)设{a a }的公差为a (a ≠0)，由题意列出等式得出a 1和d ，即可得出a a 及a a ； (2)a a =a a +1⋅3a a =(2a +1)·32a −1，利用错位相减法求和即可．6.【答案】解：(Ⅰ)设数列{a a }的公差为d ，{a a }的公比为q ，则由已知条件得：{a 4+1+2a =21a 2+1+4a =13,解之得：{a =2a =2或a =−2(舍去), ∴a a =2a −1，a a =1+(a −1)×2=2a −1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知2a a a a =(2a −1)2a ，∴ a a =1×21+3×22+5×23+⋯+(2a −1)2a ，① ∴2a a =1×22+3×23+5×24+⋯+(2a −1)2a +1，②① −②得： −a a =1×21+2×22+2×23+⋯+2×2a −(2a −1)2a +1，∴．！【解析】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．(Ⅰ)由已知得{a 4+1+2a =21a 2+1+4a =13，由此能求出数列{a a }和{a a }的通项公式； (Ⅱ)利用错位相减法进行数列求和，即可求出数列{2a a a a }的前n 项和a a ．7.【答案】解：(1)由题意知，当a ≥2时，a a =a a −a a −1=6a +5；当a =1时，a 1=a 1=11，也符合上式，所以a a =6a +5． 设数列{a a }的公差为a .由{a 1=a 1+a 2,a 2=a 2+a 3,即{11=2a 1+a ,17=2a 1+3a ,解得{a 1=4,a =3,所以a a =3a +1． (2)由(1)知a a =(6a +6)a+1(3a +3)a=3(a +1)·2a +1．又a a =a 1+a 2+⋯+a a ，得a a =3×[2×22+3×23+⋯+(a +1)×2a +1]，2a a =3×[2×23+3×24+⋯+(a +1)×2a +2]，两式作差，得−a a =3×[2×22+23+24+⋯+2a +1−(a +1)×2a +2] =3×[4+4×(1−2a )1−2−(a +1)×2a +2]=−3a ·2a +2，所以a a =3a ·2a +2．【解析】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题．(1)由题意知，当a ≥2时，a a =a a −a a −1,，求出数列{a a }的通项公式，再求数列{a a }的通项公式；(2)求出数列{a a }的通项，利用错位相减法求数列{a a }的前n 项和a a ．8.【答案】解：(1)当a =1时，a 2=2a 1+1；当a ≥2时，a a +1−a a =2a a −2a a −1=2a a ，即a a +1=3a a ， 所以等比数列{a a }的公比是3，所以a 2=3a 1，即2a 1+1=3a 1， 故a 1=1，故数列{a a }是以首项为1，公比为3的等比数列， 故a a =3a −1；(2)由(1)知，a a =3a −1， 又a a =3a a −1， 所以a a −1=a −1， 故a a =a ，所以a aa a=a3a −1，则a a =130+231+332+⋯+a −13a −2+a 3a −1，13a a =131+232+333+⋯+a −13a −1+a 3a，两式相减，得23a a=130+131+132+⋯+13a −1−a 3a=1−13a 1−13−a 3a=32−2a +32×3a，所以a a =94−2a +34×3a −1．【解析】本题考查了数列递推关系，数列通项公式的求法，数列求和，考查了分析和运算能力，属于中档题．(1)根据递推关系进行作差，可得数列数列{a a }是以首项为1，公比为3的等比数列，即可得到数列{a a }的通项公式；(2)先求出a a =a ，即可得到a a a a=a3a −1，然后运用错位相减法求和即可．9.【答案】解：(1)因为a 1=1，a a +12−a a 2=2(a ∈a ∗)， ∴数列{a a 2}为首项为1，公差为2的等差数列，所以a a 2=1+(a −1)×2=2a −1，因为a a >0，所以a a =√2a −1(a ∈a ∗). (2)由(1)，知a a =√2a −1，所以a a22a =2a −12a ，所以a a =12+322+523+⋯+2a −12a， ①则12a a =122+323+524+⋯+2a −12a +1， ②由① −②，得12a a =12+222+223+⋯+22a−2a −12a +1=12+2(122+123+⋯+12a)−2a −12a +1=12+2·122−12a +11−12−2a −12a +1=32−2a +32a +1，所以a a =3−2a +32a．【解析】本题考查数列的通项以及数列求和的错位相减法，属于中档题． (1)由等差数列的通项公式可求得数列{a a }的通项公式； (2)利用错位相减法求和即可．10.【答案】解：(1)当a =1时，3a 1=2a 1+1，可得a 1=1，当a ≥2时，由{3a a =2a a +13a a −1=2a a −1+1得3(a a −a a −1)=2a a −2a a −1，整理得a a =−2a a −1， 所以数列{a a }是公比为−2，首项为1的等比数列 从而a a =(−2)a −1．(2)由a a =(a +1)a a ，得a a =(a +1)×(−2)a −1，则：a a =2×(−2)0+3×(−2)1+4×(−2)2+⋯+(a +1)×(−2)a −1，……① 那么：−2a a =2×(−2)1+3×(−2)2+⋯+a ×(−2)a −1+(a +1)×(−2)a ，……② 由①−②得：3a a =2×(−2)0+(−2)1+(−2)2+⋯+(−2)a −1−(a +1)×(−2)a =1+1−(−2)a1−(−2)−(a +1)×(−2)a =43−(a +43)×(−2)a ，从而：a a =49−3a +49×(−2)a ．【解析】本题考查数列的通项公式、错位相减法求和，属于基础题．(1)根据a ≥2时，由{3a a =2a a +13a a −1=2a a −1+1可得a a =−2a a −1 ，可得通项公式； (2) 根据“差比数列”用错位相减法求和即可．。