2013年上海市高三数学一模客观压轴题汇编一、填空题1（2014年闵行区一模理科12）设,i j r r依次表示平面直角坐标系x 轴、y轴上的单位向量，且2a i a j -+-=r r r r 2a i +r r 的取值范围是答案：详解：根据题意，2a i a j -+-=r r r r(1,0)的距离加上这个点到(0,2)的距离等于A 点的距离加上到BABAB ，而我们要求的取值范围的几何意义即转化成线段AB 上的点到点(2,0)-的距离的取值范围，最短距离即下图中的CD 的长度，用点到直线的距离公式或者等面积法可求得CD =，因为BC =3AC =，所以距离的最大值为3教法指导：用代数的方法计算，因为有根号，过程会很繁杂，结合向量的模的几何意义，转化成图形问题，简洁明了，易于理解，教学过程中注意引导数形结合的使用 2（2014年闵行区一模理科13）22log (04)()2708(4)33x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()()f a f b f c f d ===，则abcd 的取值范围是 答案：(32,35)详解：根据题意，如图所示，1ab =，2(12)12abcd cd c c c c ==-=-，45c <<，所以答案为(32,35) 教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况 变式练习（2014年闵行区一模文科13）已知函数()11f x x =--，若关于x 的方程()f x t =()t R ∈恰有四个互不相等的实数根1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），则1234x x x x ++⋅的取值范围是 答案：(3,4)详解：根据题意，如图所示120x x +=，21234343333(4)4x x x x x x x x x x ++⋅=⋅=⋅-=-，3(1,2)x ∈ 3（2014年闵行区一模理科14）211,1k A x x kt t kt k ⎧⎫==+≤≤⎨⎬⎩⎭，其中2,3,......,2014k =，则所有k A 的交集为答案：5[2,]2详解：因为2,3, (2014)=，所以2111k k <<，结合耐克函数的图像，如图所示，当211t k ≤≤时，1[2,]k A k k =+，因为2,3,......,2014k =时，1k k +递增，所以所有k A 的交集为5[2,]2教法指导：本题考查了耐克函数的图像与性质，结合图像以及函数的定义域，处理函数的值域问题；难度不大，但学生可能会因为含有参数k 而产生畏难心理，可以让学生先求234,,A A A ，发现一般规律，再总结归纳 变式练习（2014年闵行区一模文科14）已知42421()1x kx f x x x ++=++（k 是实常数），则()f x 的最大值与最小值的乘积为 答案：+23k 4（2014年徐汇区一模理科12） 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ，则xy x y+的值为答案：13详解：解法一：∵,,M G N 三点共线，假设AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ，有=1λμ+，∵,AM x AB AN y AC ==u u u u r u u u r u u u r u u u r，∴AG AM AN λμ=+u u u r u u u u r u u u r ＝+x AB y AC λμu u u r u u u r ，因为G 是重心，所以1133AG AB AC =+u u u r u u u r u u u r即13=x y λμ=，∵=1λμ+，∴11133x y +=，化简xy x y +＝13解法二：特殊值法，取23x y ==教法指导：作为填空题，本题的第一做法应是解法二，但对于一些特别认真的学生，一定会问具体做法的，要求我们能够写出具体过程；注意向量一些常用知识点，以及一些转化技巧 5（2014年徐汇区一模理科13）一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律” 答案：2892详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类① 第二位数与第四位数相差2，情况为318⨯种； ② 第二位数与第四位数相差3，情况为327⨯种； ③ 第二位数与第四位数相差4，情况为336⨯种；……以此类推，总共的情况为3333333318+27+36+45+54+63+72+81=2892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种 教法指导：特殊元素优先原则，这里面最大的第二位数与最小的第四位数最特殊，由此可以展开分类；这类题型学生一般不知道从何下手，我们要教会学生发现规律，找出特殊元素或特殊位置，从而合理分类 6（2014年徐汇区一模理科14） 定义区间(),c d 、[),c d 、(],c d 、[],c d 的长度均为()d c d c ->.已知实数(),a b a b >.则满足111x a x b+≥--的x 构成的区间的长度之和为 答案：2详解：因为求的是区间的长度，原不等式111x a x b+≥--()a b >的解的区间长度和不等式111x t x+≥-(0)t >的解的区间长度是一样的，因为只是图像发生了平移，移项通分得220()x tx x t x x t --+≥-，因式分解后用数轴标根法解得22(0,(,22t t x t +++∈⋃，区间长度之和为2222t t t ++++-2=教法指导：因为含有两个字母，不等式不好解，所以我们要化归成一个字母的不等式问题，因为描述的是区间长度，根据题意，图像平移并不改变区间长度，就转化成一个字母，然后解出不等式即可求区间长度，注意转化化归的领会；当然，这道题也可以用特殊值法，不再赘述 7（2014年松江区一模理科11） 对于任意实数x ，x 表示不小于x 的最小整数，如 1.22,0.20=-=．定义在R 上的函数()2f x x x =+，若集合{}(),10A y y f x x ==-≤≤，则集合A 中所有元素的和为答案：4-详解：1x =-时，()3f x =-；10.5x -<≤-，()1f x =-；0.50x -<≤，()0f x =；{}3,1,0A =--教法指导：根据题目定义，引导学生发现规则，用枚举法列出所有元素即可，重在理解 8（2014年松江区一模理科13） 已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= 答案：2详解：设()log 1a f x x t =-=，∴log 1a x t -=±，1t x a ±-=，1t x a ±-=±1t x a ±⇒=±四个根为1ta +，1ta -，11t a -，11t a +，它们的倒数为11t a +，11t a --，1t t a a -，1t t a a +倒数之和等于2解法二：特殊值，例如2a =，令()1f x =，解出四个根即可教法指导：本题直接求出四个解，并不难，就怕有些学生认为没这么简单，从而去从其他角度分析，反而复杂了，当然，本题可以借助数形结合的方法进行理解，作为填空题，特殊值不失为一种好方法 9（2014年松江区一模理科14） 设集合{1,2,3,,}A n =L，若B ≠∅且B A ⊆，记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和，则对所有的B ，()G B 的平均值＝答案：1n +详解：当最大值为n 时，最小值可以为1，2，3…n ，()G B 个数为n ，()G B 之和为12...n n n ++++⨯＝22(1)31222n n n n n ++=+；同理当最大值为1n -时，()G B 个数为1n -，和为231(1)(1)22n n -+-； 以此类推，所有()G B 的个数为(1)12 (2)n n n ++++=，所有()G B 的和为 22231(12...)(12...)22n n +++++++＝1111(1)(21)(1)2222n n n n n ⋅+++⋅+，除以()G B 的个数(1)2n n + 就是()G B 的平均值＝11(21)122n n ++=+ 教法指导：本题可以举一些{1,2,3,,}A n =L 的子集，让学生理解()G B 的意思，然后按最大值或者最小值进行分类，注意B 可能是个单元素集合，不要遗漏这种情况；这类题目注意培养学生的耐心 10（2014年青浦区一模理科13）已知直角坐标平面上任意两点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，定义212121212121(,)x x x x y y d P Q y y x x y y ⎧--≥-⎪=⎨--<-⎪⎩为,P Q两点的“非常距离”，当平面上动点(,)M x y 到定点(,)A a b 的距离满足3MA =时，则(,)d M A 的取值范围是答案：[2详解：根据题意，通过比较两点的水平距离和垂直距离，较大的为“非常距离”，A 为定点，M 的轨迹是A为圆心，3为半径的圆，根据下图，例如1,A M 两点的垂直距离较大，那么此时,A M 的非常距离为图中的绿色线段部分，而2,A M 两点的水平距离相比垂直距离更大，那么非常距离为图中的紫色线段部分，可以得出M与A 的水平距离或垂直距离最大为3，当水平距离等于垂直距离的时候取到最小值2，即图中取4M 的时候教法指导：理解性的题型，注意引导学生如何理解题意，讲解时，一定要辅以图像帮助理解 11（2014年青浦区一模理科14）若不等式1(1)(1)31n na n +--<++对任意自然数n 恒成立，则实数a 的取值范围是答案：[3,2)-详解：当n 为奇数时，131a n -<++，1(3)1a n >-++，因为是恒成立，大于最大值，不等式右边的最大值永远小于3-，所以3a ≥-；当n 为偶数时，131a n <-+，小于最小值，因为n N ∈，0n =时取最小值2教法指导：恒成立问题均为最值问题，注意分类讨论，并且n 是自然数，讨论n 为偶数的时候，n 是可以取0的，学生可能会取2，这是个易错点，需要给学生强调 12（2014年金山区一模理科13）如图，已知直线:4360l x y -+=，抛物线2:4C y x =图像上的一个动点P 到直线l 与y 轴的距离之和的最小值是 答案：1详解：如下图，11'11PH PA PH PB PH PF PH +=+-=+-≥-=，'PH 用点到直线距离公式求 教法指导：这是2012长宁区二模题，注意圆锥曲线的相关定义，进行巧妙的转化，结合图像引导学生分析 13（2014年金山区一模理科14）在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===.设M 是底面ABC 内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是三棱锥M PAB -、 三棱锥M PBC -、三棱锥M PCA-的体积.若1()(,2,)2f M x y =，且18a x y +≥恒成立，则正实数a 的最小值为答案：6-详解：依题意得，122x y +=，122y x =-，将不等式中的a 分离得111(8)(2)6(16)22a x x x x≥--=-+，右边的最大值为6-6a ≥-教法指导：这是2012长宁区二模题，主要是理解题意，得出2x y +是个定值，要引导学生看透看似复杂的表象，抓住条件的本质，然后就是一道常见的恒成立题型 14（2014年奉贤区一模理科13）已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(2)()f x f x +=-，当11x -≤<时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-只有4个零点，则a 的取值范围是答案：11(,)(3,5)53⋃ 详解：根据已知条件，()f x 周期为4，先画()f x 一个周期图像，当13x ≤<时，3(2)(2)()f x x f x -=-=-，3()(2)f x x =--，由此画出[1,3)-的图像，此为一个周期，图像如下，()()log a g x f x x =-只有4个零点即()f x 与log ay x =只有4个交点，因为a 是未知的，需要分类讨论：①当01a <<时，有两个界值，如下图，此时5个交点，代入点(5,1)--，解出15a= 此时3个交点，代入点(3,1)-，解得13a= ②当1a >时，也有两个界值，如下图，此时3个交点，代入点(3,1)-，解得3a =此时5个交点，代入点(5,1)，解得5a =教法指导：数形结合的题型，一定要结合图像分析，并且一些用于定位的特殊点要善于把握；另一方面，必须熟悉初等函数的所有性质以及函数图像的变换 15（2014年奉贤区一模理科14）已知函数()y f x =，任取t R ∈，定义集合：{(),(,()),(,()),t A y y f x P t f t Q x f x PQ ==≤点，设,t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-，则（1）若函数()f x x =，则(1)h =（2）若函数()sin2f x x π=，则()h t 的最大值为答案：（1）2；（2）2详解：定义的意思是函数()y f x =在以定点P （点P 的圆内的部分，这部分函数图像的值域即t A ，第一问，1t=，定点P (1,1)，如下图，蓝色实线段部分为符合定义的图像部分，这部分图像最大值为2，最小值为0，所以(1)h =2 第二问，对于()sin2f x x π=，函数最大值与最小值之差为2，如下图，通过理解观察，可得出t A 能够同时包含最大值和最小值，所以()h t 的最大值为2，此时2,t k k Z =∈教法指导：这是一道理解性的定义题型，理解题目的定义很重要，然后结合函数图像进行分析就不难了二、选择题1（2014年奉贤区一模理科18）设双曲线22(1)1nx n y -+=（*n N ∈）上动点P 到定点(1,0)Q 的距离的最小值为n d ，则lim n n d →+∞的值为（ ）A ．2 B. 12C. 0D. 1答案：A详解：双曲线方程两边同时除n ，得到2211(1)xy n n -+=，当n →+∞，10n→，即方程220x y →-=，这就是方程的极限位置，即求点(1,0)Q 到直线y x =±的距离，所以选A教法指导：这是一类要考虑极限位置的极限题型，在高考题中出现过类似题型，一般找到了极限位置，题目是很容易解的，很多学生不会做是因为没有想到极限位置，而是想把n d 用n 表示出来，这就复杂了 2（2014年徐汇区一模理科18） 已知集合()(){},Mx y y f x ==，若对于任意()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使得12120x xy y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①()1,Mx y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭； ②(){},sin 1M x y y x ==+；③(){}2,log Mx y y x ==； ④(){},2xM x y y e==-.其中是“垂直对点集”的序号是（ ）A ．①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 答案：D详解：根据题意，对于图像上任意点A ，图像上存在点B ，使得OA ⊥OB ，所以用排除法，①中（1,1）点不符合，③中（1,0）点不符合，所以选D教法指导：这类题型，重在理解题意；作为选择题，排除法与特殊值法是要学生能够灵活运用 3（2014年青浦区一模理科18） 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（ ）A ．11m ≤≤+ B. 1m ≤≤C. m -≤≤D. 1m -≤ 答案：B详解：因为存在实数x ，满足()()f x f x -=-，所以1212423423xx x x m m m m --++-+-=-+-+，化简得：21142(2)26042x x x x m m +-++-=，换元122x x t =+（2t ≥）得：222280t mt m -+-=，根据题意，此方程在[2,)t ∈+∞上有解，设22()228h t t mt m =-+-，按对称轴分类讨论：①当2m ≤，(2)0h ≤，且0∆≥，解得12m ≤≤；②当2m >，0∆≥即可，解得2m <≤两种情况取并集，综上所述，所以选B教法指导：本题要透过抽象的定义，看到它的本质，本质上还是一道方程在定义域内有解的问题，是平时练习过程中经常碰到的题型，按对称轴分类讨论即可；讲解的时候，要让学生区分开“恒成立”与“有解”（或者“能成立”的情况），讨论根的分布情况时，最好结合图像帮助理解 4（2014年金山区一模理科18）已知有相同两焦点12,F F 的椭圆221x y m +=(1)m >和双曲线221x y n-=(0)n >，点P 是它们的一个交点，则△12F PF 面积的大小是（ ）A ．12B. 2C. 1D. 2答案：C详解：结合下图，依题意得：211c m n =-=+，12PF PF +=12PF PF -=得：122PF PF m n ⋅=-=，∴2222212121212()2444PF PF PF PF PF PF m c F F +=+-⋅=-==，即12PF PF ⊥教法指导：熟悉圆锥曲线的定义非常重要，根据条件找到变量之间恒定的关系，做数学题，很多时候都需要辩证思考，透过变化的表象，发现不变的内在联系，动静结合，有机分析，以静制动，以不变应万变。