上海市宝山区2020届高三一模数学答案一. 填空题1.2i ||||1i z 2. 3，4242345313. 31log (01)y x x ，1331log y x y x ，111033y ，即01x4. 66，21266C 5. 223()92x y ，2263y px x p ，∴圆心为3(,0)2，半径为36. 9 ，33003355()1()9C x C x x x ，即3x 的系数为9 7. (4,) ，∵220x x ，∴即22236x x x x ，解得，4x 8. 2 ，设1i x a b ，2i x a b ，∴12|||2|21x x b b ，两根之积12x x 2221a b a ，∴两根之和1222k x x a9. 20x y 垂直，∴可设直线20x y c ，代入点(1,0) ，∴直线:210l x y ，圆22(2)(4)20x y ，圆心(2,4) 到直线l 的距离d，即弦长为10. 4.5，334()7.9(2.5)142 2.2463m V V V r r外内，∴2 4.5r cm 11. 47 ，由题意，可设2n c an bn c ，∴17c a b c ，2429c a b c ，3939c a b c ，解得1a ，5b ，3c ，∴253n c n n ，即1047c12. ，∵0a b ，∴()b a b ，即2()4a b a b ，∴214()b a b a ，222166416()a a b a b a，当且仅当b a b ，28a 时等号成立，即点(,)P a b 的坐标为二. 选择题13. 选C ，∵1()ln f x x a x为增函数，∴(1)10f a ，1()10f e a e14. 选A ，22()log (41)log (22)x x x f x x ，为偶函数，∵0x ，∴21x ，∴22x x y 递增，即2()log (41)x f x x 在[0,) 上单调递增；B 、C 选项为偶函数，但在[0,) 上不是单调递增；D 选项定义域为(0,) ，不是偶函数15. 选B ，如图，正方体中，平面 、 、 两两垂直，直线a 、b 、c 满足：两两异面且两两垂直. 过点A 的三条棱所在直线两两相交. 综上，不可能两两平行，故选B16. 选B ，sin cos )a x b x x x ， ∵221 cos sin ，cos sin cos ))x x x，此时sin tan cos ba. 当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(0,)2 ，∴arctan ba ，A 正确；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,0)2 ，∴arctan ba ，B 错误；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,)2 ，∴arctan ba，C 正确；当0a ，0b 时，即cos 0 ，sin 0 ，(,2，∴arctan b a ，D 正确三. 解答题17.（1）1sin 60sin 6022EBCD S AB AD AE AD， ……2分11132C EBCD V S AA . ……6分（2）211910EB ，由余弦定理得：21422cos1207EC ， ∴217916EC ， ……8分∵AD ∥1B C ，∴即11B C E 为所求异面直线1C E 和AD 所成的角， ……10分 由余弦定理得：5cos8， ……13分∴异面直线1C E 和AD 所成角的大小为5arccos 8. ……14分18.（1）2cos 21()sin cos 222x f x x x x x ， ∴1()sin(262f x x， ……2分 ∴()f x 的最小正周期T ， ……4分 令11()sin(2622f x x ，解得：212k x，∴()f x 的对称中心是1(,)2122k ，k Z . ……6分（2）当[0,2x 时，72[,666x，……8分 由0262x 解得：06x ， ∴()f x 在区间[0,2上的递减区间是[,]62，递增区间是[0,]6， ……10分当()f x a 在区间[0,2上有两个解时，a 的取值范围是1[0,2， ……12分 此时12263x x. ……14分 19.（1）设开始时每个池中的污物为0a ，用n a 、n b 表示n 小时后，A 、B 两池剩余的污物量，则10.10.9n n n n a a a a ，∴00.9n n a a ， ……2分同理00.81n n b a ，由题意000.92n n a a a ， ……4分 两边取对数得：ln 0.56.587ln 0.9n小时. ……6分 （2）设n 小时后，A 池污物余0ra ，则B 池污物余0(0.2)r a ， ……7分由题意00000.90.81(0.2)nn nn a a ra b a r a ， ……8分 化简得：0.810.90.2n n 或0.810.90.2n n ，即2(0.9)0.90.20n n ，……10分解得：10.92n， ……12分两边取对数得：0.91log 16.77172n ， ……13分答：A 池要用7小时才能把污物的量减少一半，要经过17小时后把两池水混合才能符合环保规定. ……14分20.（1）1(F，2F ，由题意知：M在抛物线2y 上， ……2分由222142y x y解得：6M x ， ……4分 （2）由题意(A t、(M t、(,B t ， ……6分则122MAB S t ， ……8分∴当t时，△MAB 的面积最大， ……9分此时(M，1)B ，解得：直线MB的方程为：y x . ……10分 （3）设00(,)M x y ，由(A t 、(,B t ，0MAk，∴直线000:)MA y y x x ， 令0y：0P x x ……11分同理得：0Q x x ，∴00||||||||OP OQ x x， ……12分计算2222000002222002()()||||2222x t x y x t y OP OQ x t t y y， ……14分 又220022x y ，因而2200||||24OP OQ x y . ……16分 21.（1）由题意211ln (ln ln )2n n n a a a，即211()2n n n b b b ， ……1分 由于11a ，2a e，2n a ，∴当2n 时，1n a ，且{}n a 递增，……2分因而0n b ，且1n n b b ，……3分∴2n b . ……4分（2）∵1121111()122n n n n n n nn nb b b b b b b b b ， ……6分 又2121ln ln 1b b a a ，∴211{}n n n nb b b b 是等比数列， ……7分∴1112111()()()22n n n n b b b b ，解得：1221[1(]32n n b， ……9分∴121[1()]32n n b ，经检验，1,2n 均成立. ……10分（3）当2n 时，∵0n b ，∴111131(1221121()1()22nn n n n b t b ， ……12分 只需要求1n n b b 的最小值，∵1111()224n ， ……13分∴113311122112221()122n n n b b ， ……16分 又211102b b ，∴对任意自然数*n N ，均有112n n b b 成立， ……17分∴t 的取值范围是1(,2. ……18分上海市松江区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. {1,2}，集合B 中符合10x 的元素有1、2，∴A B {1,2}2. 45，5r ，34sin()cos 25x r3. 1，1i2i i 1iz ，∴||1z4. 40，2232452()()40C x x x，∴4x 的系数为405. 4，12||||26PF PF a ，且12||2||PF PF ，∴1||4PF6. 2 ，24401m D m m，∴2m ，经检验，2m 时有无数解，∴2m 7. 32 ，2(12,8)a b m ，(,3)b m ，∴3(12)8m m ，即32m8. (4,3)，由题意，11(1)26(1)4(4)1f f f ，∴12(4)log 43f 9. 112(0,(,333，(1,0)(0,1)q ，∴1111133a qa q 112(0,)(,33310. 2:1:1:1 ，由渐近线可设21m y x ，代入点(0,1) ，∴3m ，∴211x y x 符合题意，即:::2:1:1:1a b c d11. 1a babc a b c c ab，∵222()2()2a b a b，∴a b ∵2221ab a b ，∴112ab ，1201ab，∴min c2a b12. 851，如右图所示，集合M 中的向量包含三类：六条 边有6个向量（如12A A ），过中心O 有6个向量（如14A A），剩余6个向量（如15A A），即集合M 中有18个元素.其中每条边上的向量（如12A A）都和两个向量（如15A A 和42A A ）垂直，然后每条过中心的向量（如14A A ）都和两个向量（如26A A 和53A A ）垂直，即概率2186262851C二. 选择题13. 选B ，存在无限多条平行直线m ，使得l m ；不存在直线m ，使得l ∥m14. 选A ，若1x 且1y ，则不可能有2x y ，∴“2x y ” “x 、y 中至少有一个数大于1”，反之则推不出，如2x ，3y ，推不出“2x y ”，故选A15. 选B ，本题重在理解，等价转化为“已知2()f x x ，[,4]x a a ，若max min 2()()M f x f x ，求M 的最小值”.化动为静，结合图像，容易得到2a 时，max min ()()f x f x 最小，为(2)(0)4f f ，∴min 2M ，选B. 本题忌讨论常数b 、c ，不然就落入命题人圈套，∵本身 与b 、c 无关，本质是2y x 的图像，∴b 、c 是障眼法16. 选C ，当1A ，此时()1M A ，这种情况共有92种（相当于{2,3,,10} 的子集， 加上1后形成的新集合），当1A ，2A ，此时()2M A ，这种情况共有82种（相当于{3,4,,10} 的子集，加上2后形成的新集合），……，依此类推，∴当A 取遍M 的所有非空子集时，9871010122232921022036S ，选C三. 解答题17.（1）由题意得：2OA ，6PO ，∴PA，……2分∴圆锥的侧面积为2S rl ； …… 4分体积为221126833V r h . ……6分（2）取PO 的中点E ，连接DE 、CE ，则CDE 或其补角即为所求，如图所示 …8分∵AO EO ，AO CO ，EO CO O ，∴AO 平面ECO ，又DE ∥AO ，∴DE 平面ECO ，∴DE EC ， ∴△DEC 是直角三角形， ……10分 由112DE OA， ……11分CE ， ……13分∴CDE ，即异面直线AB 与CD 所成的角为. ……14分18.（1）2()cos 2sin 2cos 212sin(2)16f x x x x x x x，…4分∴max ()(2116f x f ，……6分 此时2262x k，则6x k（k Z ）.（2）由()0f A 得：1sin(262A，∴2266A k 或2266A k， ∵0A ，∴3A，……9分 由b 、a 、c 成等差数列得：2a b c ，…10分∵2AB AC，∴cos 2bc A ，∴4bc ， ……11分由余弦定理得：22222cos ()3a b c bc A b c bc ， ……12分 ∴22434a a ，∴2a . ……14分19.（1）由题意得0123()d v d d d d ， ……1分∴21()2020d v v v k ， ……3分 当0.9k 时，2()2018v d v v ，……4分20()1112 3.1183v t v v （秒）. ……7分（2）根据题意, 要求对于任意[0.5,0.9]k ，()80d v 恒成立， ……9分 即对于任意[0.5,0.9]k ，21208020v v k，即2160120k v v恒成立， 由[0.5,0.9]k 得：111[,]201810k ，∴2160110v v即2106000v v ，……12分解得：3020v ，∴020v （米/秒），360020721000（千米/小时）……13分 ∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，合72千米/小时. ……14分 20.（1）由抛物线方程知，焦点是(1,0)F ，准线方程为1x ，设11(,)A x y ，由||3FA 及抛物线定义知：12x ，代入24y x得y ， ∴A点的坐标A或(2,A . ……4分（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程是：2x my ， 联立224x my y x，消去x 得：2480y my ，由韦达定理得121248y y my y，……6分2221212112212121212()(,)(,)4804416y y y y OA OB x y x y x x y y y y y y ，∴AOB 恒为钝角，∴原点O 总在以线段AB 为直径的圆的内部. ……10分（3）设11(,)A x y ，则110x y ，∵||||FA FM ，则1|1|1m x ，由0m ：12m x ， ∴1(2,0)M x ，∴直线AB 的斜率12AB y k，设直线1l 的方程为12yy x b ， 代入抛物线方程得211880b y y y y ，由题意21164320by y 得：12b y ， ……12分 设(,)E E E x y ，则14E y y ，21141E x y x ，11111111014111||222141OAEy xS x y x y x y ，……14分当且仅当11114y x x y，即22114y x 时等号成立，由221121144y x y x 得：21144x x ， 解得：11x 或10x （舍），……15分∴M 点坐标为(3,0)M ，min ()2OAE S .……16分21.（1）∵21a ，12a a ，且1a 是自然数，∴10a ； ……2分42a ，340a a ，且3a 、4a 都是自然数；∴30a 或31a ； ……3分168a ，9101608a a a ，且i a N （*i N ），∴90a 或91a . ……4分（2）122k k a （*k N ），当122k k n （*,n k N ）时，1111212223202k k k k k a a a a ， ∵n a N ，∴121k m a m 或m （11,2,3,,21k m ）， ……6分 ∴64max ()(01)(12)(1234)(128)(1216)S 23458916173233(1232)171422222， 128max 6465()71427942S， ∵71420202794 ，∴64128n ， ……8分又20207141306 ，123501275130612350511326 ， ∴min 6451115n . ……10分（3）必要性：若242n n S S n ，则122422n n n S S ， ①122214(21)2n n n S S ②① ②得：1121222141n n n a a a （*n N ） ③ ……11分由于11212201n n a a或11212212n n a a 或1121222n n a a ，且210n a 或1， 只有当211n a ，1211n a ，1222n a 同时成立时，等式③才成立， ∴211n a （*n N ）； ……13分充分性：若211n a （*n N ），由于1212223212n n n n n a a a a ， ∴2n k a k （*n N ，*k N ，2n k ），即211n a ，222n a ，233n a ，…，12121n n a ，又122n n a ， ∴对任意的*n N ，都有2211n n a a ， （I ） ……14分 另一方面，由2n k a k ，1222n k a k （*n N ，*k N ，2n k ）， ∴对任意的*n N ，都有22n n a a ， （II ） ……15分 ∴21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a2422232()24()n n a a a n a a a a n由于10a ，21a ，∴2124()242n n n S a a a n S n ，证毕.……18分上海市崇明区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. {1,2}，集合A 中符合02x 的元素有1、2，∴A B {1,2}2. (1,3)，|2|112113x x x3. 4 ，1r ，244S r4. 2n ，11a ，2d ，21(1)2n n n S na d n5. 12()1f x x (0)x ，21x y x，0x6. 3，分子分母同除3n，113230lim 33210n n nn n 7. 160，33362(160C x x8. 221916x y ，由3a ，5c ，焦点在x 轴上，∴22216b c a ，即221916x y9. 18，法向量之积为0，(1,2)(1,)0a b ，∴21a b 18ab 10. 2，∵周期为2，∴(1)(1)f f ，∵奇函数，∴(1)(1)f f ，∴(1)(1)f f ， 即(1)0f ，∴(1)202f a a11. 78，总共有45P 种情况，其中甲从事翻译工作有34P 种情况，乙从事导游工作有34P种情况，然后甲从事翻译工作同时乙从事导游工作有23P 种情况，∴432543278P P P12. 7 ，设2(1)OQ OP OB OC，由向量共线定理，可知点Q 在直线BC 上，P 为OQ 中点，∴PM PN222()()PO OM PO ON PO OM ON PO OM ，∵min ||1PO ，max ||OM ，∴min ()7PM PN二. 选择题 13. 选C ，A 选项，110a b；B 、D 选项，反例1a ，2b ；C 选项正确 14. 选B ，若0z z ，则推不出“z 为纯虚数”，反之可以推出“0z z ”15. 选D ，将抛物线放入坐标系，如图所示，∵1OE ，OC OD ，∴(C ，设抛物线22y px ，代入C 点，可得22y x ，∴焦点为1(,0)2，即焦点为OE 中点，设焦点为F ，则12EF，1PE ，∴PF 2，故选D16. 选B，设()(||)f x x a b，()sin(6g x x，[1,1]x ，∵()()0f xg x ，15()()066g g，∴分析图像得15()()066f f，1151()2663a ，12b ，∴56a b，故选B三. 解答题17.（1）∵BC∥11B C，∴1ACB就是异面直线11B C与1AC所成的角或补角，……2分在△1A CB中，1BC，1BA1A C ，∴2221111cos26BC CA A BA CBBC CA，……5分∴16ACB，……6分∴异面直线11B C与1A C所成角的大小是6.……7分【说明：方法二：先证明BC 平面11ABB A（2分），后证明△1A CB是直角三角形，然后求1A CB（2分），若缺少线面垂直扣2分，缺少由线面垂直得线线垂直扣1分】（2）∵1BC BB，BC BA，∴BC 平面11ABB A，∴111113C BB A BB AV S BC，设点1B到平面1A BC距离为h，则11113B BCA BCAV S h，由1111C BB A B BCAV V得：5h .18.（1）11()sin2(1cos2)222f x x x，……2分sin(216x，……4分∴函数()f x的最小正周期是T，……5分由222262k x k得：()f x的增区间是[,63k k，k Z.……7分（2）由()0f C ，sin(2)16C，(0,)C，∴262C，3C，……9分由sin2sinB A及正弦定理得：2b a①，……11分由余弦定理得：2222cosc a b ab C，得：223a b ab②，……13分由①②解得：1a ，2b . ……14分19.（1）由14500(100)95x x， ……2分 得：214545000x x ，∴45100x ， ……4分 又∵60120x ，∴x 的取值范围是[60,100]. ……6分 （2）设该汽车100公里油耗为y 升，10014500(100)5y x x x（60100x ）…8分 2118090000(909x ，……10分 ∵60120x ，∴111[,12060x ，……12分∴当90x 时，该汽车行驶100公里的油耗取得最小值809升. ……14分 20.（1）由题意得：(2,0)A ，(2,0)B ，∴圆O 的方程是224x y .……4分 （2）由题意得：(0,1)C 、(0,1)D ，设00(,)E x y ，00(,)F x y （01x ）， 则直线CE ：0011y xy x ，∴00(,0)1x M y ，……6分 同理00(,0)1x N y ，……8分 ∵220014x y ，∴22002200414x x OM ON x y . ……10分 （3）显然直线AP 的斜率存在，设其方程为：(2)y k x ，代入椭圆得：22222(14)161640k x k x k ，设11(,)P x y ，则21216(2)14k x k，∴1|||(2)|AP x ，……12分 ∵圆心O 到直线AP的距离d，∴||AQ ……14分 假设存在点P ，使得13AP PQ ，则||4||AQ AP，∴ （*），而方程（*）在实数范围内无解，∴原假设错误，即不存在点P ，使得13AP PQ.…16分21.（1）40a ，41b ，41c . ……4分 （2）若11a ，12b ，记1c x ，则22||a x ，2||1b x ，21c ，22||0||111||2||1||2x x d x x x， ……6分3|||1|1a x ，31|2|||b x ，3|2||||||1|c x x ，当0||1x 时，3||a x ，3||1b x ，31c ，31d ，由32d d 得：||1x ，不符合； 当1||2x 时，3||2a x ，3||1b x ，332||c x ，32||1|| 1.5||1 1.5||2x x d x x，由32d d ，得：||1x ，符合；当||2x 时，3||2a x ，33||b x ，31c ，312||3||2||3x d x x ，由32d d ，得：||2x 符合； ……9分综上：1c 的所有取值是2 ，1 ，1，2. ……10分（3）先证明“存在正整数3k ，使k a 、k b 、k c 中至少有一个为0”， 假设对任意正整数3k ，k a 、k b 、k c 都不为0，由1a 、1b 、1c 是非零整数，且1||a 、1||b 、1||c 互不相等，得*1d N ，*2d N ， 若对任意3k ，k a 、k b 、k c 都不为0，则*k d N ，即对任意1k ，*k d N ， 当1k 时，1||||||||max{||,||}k k k k k k a b c b c d ，1||||||||k k k k b c a d ，1||||||||k k k k c a b d ，∴1111max{||,||,||}k k k k k d a b c d ，∴{}k d 单调递减，由2d 为有限正整数，∴必存在正整数3m ，使得0m d ，矛盾， ∴存在正整数3k ，使k a 、k b 、k c 中至少有一个为0. ……14分 不妨设0k a ，且10a ，20a ， ，10k a ，则11||||k k b c ，且111||||||k k k b c a ，否则，若111||||||k k k b c a ， ∵1110k k k a b c ，则必有1110k k k a b c ，矛盾， 于是11||||0k k k b c a ，11||||0k k k c a b ，且k k b c ， ∴10k a ，1||k k b c ，1||||k k k c b c ，依次递推，即有：对任意n k ，0n a ，1||n k b c ，1||n k c c ，且||0k c ， 此时有且仅有一个数列{}n a 自第k 项起各项均为0， 综上：结论成立. ……18分上海市虹口区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. [0,1]，212110(1)0x x xx x x x ，∴0x 或1x ，∴U A [0,1]2. ，|3i ||||1i |z3. 1，2211111x x x x ，当且仅当1x 时等号成立4.4，2sin 22cos 0x x ，∴22sin cos 2cos x x x ，∵x 为锐角，∴tan 14x x5. 23n *()n N ，由48S 得234a a ，∵2712a a ，∴482d d ， ∴23112341a a a d a ，∴1(1)23n a a n d n ，*n N6. 1，2263x py y p ，焦点为3(0,)2，∴1d7. 36，即求5x 的系数，∴2421515662(1)(1)(1)36x C x C x x ，即536a 8. 1，124log (41)()log (21)y x x f x ，∴24log (41)2log (21)x x ，即4121x x ，∴4220(22)(21)01x x x x x9. 若①③，则②（或若②③，则①），∵m 、n 是平面 外的两条不同直线，∴m n ，m 可以推出n ∥ ；或者n ∥ ，m 推出m n 10. 1 ，由题意，1OA ，∴2()01OD AB OA AD AB OA AB OA11.3，∵2F A AB ，∴A 为2BF 中点， AO ∥1BF ，∵120F B F B，∴AO 垂直平分2BF ，∴2AOF 160AOB BOF ，即1tan 60a，∴213a ，243c ，即23c 12.274，由题意，当(6,8]x ， ()8(6)(8)f x x x ，结合图像可知，由158(6)(8)2x x，解得274x 或 294x ，数形结合可得max 274a二. 选择题13. 选A ，|1|102x x ，2422x x ，范围小的推出范围大的，故选A 14. 选D ，()2sin(26f x x，∵为偶函数，∴62k，排除A 、C 选项；若3，()2sin(2)2cos26f x x x，在[0,2上为减函数，∴排除B 选项； 若23，()2cos2f x x ，符合题意，故选D 15. 选A ，()f x 对称轴为2x ，()g x 对称轴为x t ，∵()(2)F x F x ，关于1x 对称，∴2142tt 16. 选B ，即正四面体切去四个小正四面体，111482三. 解答题17.（1）在△ABC 中，由1cos 3A得：sin 3A， ……2分由正弦定理得：sin 3sin 682b A B a，……5分 于是由角A 为钝角知：B.……7分（2）∵4sin sin()cos )26C A B A A， ……10分 设△ABC 的BC 边上的高为h ，则由11sin 22ABC S ah ab C得：4sin 646hb C 即△ABC 的BC 边上的高等于4. ……14分18.（1）以点O 为原点，直线OB 、1OO 分别为y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则相关点的坐标为(0,0,0)O 、(0,1,0)B 、1(0,1,2)B 、(0,1,1)C 、1(0,1,2)A 、1(0,0,2)O 、1(1,0,2)C ，于是(0,1,1)OC ，11(1,1,0)A C， ……2分∴1111111cos ,2||||OC A C OC A C OC A C， ∴异面直线OC 与11A C 所成角的大小为3. ……4分（2）由于1(0,0,2)OO 是圆柱1OO 底面的一个法向量，又1(1,1,1)CC， ……6分设直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的大小为 ，则111111||sin|cos,|3||||CC OOCC OOCC OO，∴直线1CC与圆柱1OO底面所成角的大小为arcsin3. ……9分（3）由于三棱锥11C OAC的顶点1C到面1OA C的距离为111C O ，……11分而1111111113221211212222 OA C OAA OBC A B CABB AS S S S S正方形，∴11111113113322C OA C OA CV S O C. ……14分19.（1）设完成甲、乙、丙3种部件生产需要时间（单位：天）分别为1()T x、2()T x、3()T x，由题意得：1230001000()6T xx x，2230002000()3()T xkx kx，330001500()2[200(1)]200(1)T xk x k x，即11000()T xx，22000()T xkx，31500()200(1)T xk x，……4分其中x、kx、200(1)k x均为1到200的正整数，且*k N. ……6分（2）完成订单所用的时间为123()max{(),(),()}f x T x T x T x，其定义域为200{|11x xk且*,,2}x k kN，由于11000()T xx、22000()T xkx均为减函数，31500()200(1)T xk x为增函数，并注意到212()()T x T xk，……8分①当2k 时，12()()T x T x，12310001500()max{(),(),()}max{,}2003f x T x T x T xx x，其中{|166x x且*}x N，由1()T x、3()T x的单调性可知：当100015002003x x时，()f x取得最小值，解得：4009x ，由于40044459，而1250(44)(44)11f T，3300(45)(45)13f T，(44)(45)f f，∴当44x 时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天；……11分②当2k 时，12()()T x T x，由于*k N，∴3k ，此时3375()()50T x T xx，且()T x为增函数，于是1311000375()max{(),()}max{(),()}()max{,}50f x T x T x T x T xg xx x，由1()T x、()T x的单调性可知：当100037550x x时，()g x取得最小值，解得：40011x ，由于400363711，而1250250(36)(36)911g T，3375250(37)(37)1311g T，此时完成订单任务的最短时间大于25011天；综上：当2k 时，完成订单任务所用的时间最短，最短时间为25011天， 此时生产甲、乙、丙3种部件的人数分别为44、88、68人. ……14分 20.（1）联结1PF ，设2PF 的中点为C ，则1||2||PF CO ， 由圆C 与圆O 相内切得：2||||2CO CF ，∴122||||2(||||)4PF PF CO CF ， ……3分 ∴动点P 的轨迹是：以1F 、2F 为焦点，4为长轴长的椭圆，其方程为2214x y . ……5分（2）证明：设直线l的方程为：x my 11(,)M x y 、22(,)N x y ，则由2244x my x y得22(4)10m y，∴1224y y m ，12214y y m ，从而12122()4x x m y y m，于是22(,)44Q m m ， ……7分∴2(4,)4OQ m m，于是直线OQ 的方程为40mx y ，由403mx y x解得：()33R m，从而2()(1,)333F R m m ， ∵直线l 的法向量(1,)m ∥2F R ，∴2F R l. ……10分（3）由（2）知：1224y y m，12214y y m ， ∴1111||||2||2S AB y y ，2221||||2||2S AB y y ， ……12分而120y y，∴1212122||||2||||||2||4m S S y y y y m ， ……14分 由于12||S S 最大时0m，∴12||4||||S S m m当且仅当||2m时，等号成立，∴12max ||S S ，此时直线l的方程为20x y或20x y . ……16分 21.（1）证明：∵10a ，且对任意的*m N ，21m a 、2m a 、21m a 构成以2m 为公差的等差数列，∴当1m 时，10a ，2122a a ，3224a a ；当2m 时，34a ，4348a a ，54412a a ； ……2分 当3m 时，512a ，65618a a ，76624a a ；于是655432a a a a ，∴4a 、5a 、6a 成等比数列. ……4分 （2）由题意：对任意的*m N ，有21214m m a a m ， ∴2121212123311()()()m m m m m a a a a a a a a(1)44(1)41042(1)2m m m m m m， 结合10a 得：212(1)m a m m （m N ），令21m n ，则12n m ，得：21112222n n n n a （n 为奇数）， ……7分由题意：对任意的*m N ，有222122(1)22m m a a m m m m m ，∴对正偶数n 有222()22n n n a ，∴数列{}n a 的通项公式为22122n n n a n n 为奇数为偶数或2(1)124n n n a （*n N ）.…10分（3）对任意的*k N ，有2222(2)422k k k a k，2221(21)441111122()2(1)2(1)21k k k k a k k k k k k ， ……12分下面分n 为偶数与奇数两种情况讨论：① 当n 为偶数时，设2n k （*k N ），22222S a ，则当2k 时，222222242352124(2)35(21)11()()22(1))22n k k k k S k k a a a a a a11111131((42(1223122k n k k k n ，3122n S n n；……15分 ② 当n 为奇数时，设21n k （*k N ），则当2k 时，222222242352124(2)35(21)1111()()22[(1)(2223n k k k k S k k a a a a a a111131()]4(1212121k n k k k n ，于是31221n S n n ，综上：313,212312n n n n S n n n为奇数为正偶数，∴2n S n 存在极限，且3lim(2)2n n S n . ……18分上海市杨浦区2020届高三一模数学答案一. 填空题 1. (0,) ，()f x，∴0x 2. 211130 ，增广矩阵定义3. 12，121()log 12f x x x ，∴111(1(1)22f f 4. 2，220a a 且10a ，∴2a 5.3，1r ，22S rl l 侧，1cos 23r l6. 2，4372802C a a7.35，122||||6||1PF PF PF ，12||F F ，由余弦定理12cos F PF 358. 72，212lim 1212n n S729. [2，设)P ，∴)PA PB1)22) [210. 12，①②为偶函数，④⑤为奇函数，分类讨论：（1）奇奇偶，12C ；（2）奇偶偶，12C ； （3）奇偶非，1112228C C C ；综上，共22812 种. 或从对立面，33364412C C C11. 34(,]23，设()f x t ，∴2230t mt m ，数形结合两种情况：① 10t ，201t ，代入10t ，此时230m ，32m ，232t ，不符；② 11t ，201t ，二次函数如图所示，设2()23g t t mt m ，∴(0)0g ，(1)0g ，得3423m12. ①②④，理解题意等价转化为点集问题，即“平面中有点集S ，若对于S 中的任意两点A 、B ，线 段AB 上的点均属于S ，则称点集S 为C 类集”. 举两个例子，左图区域内任选两点所连线段依然在区域内，符合C 类集定义，而右图并不符合，不妨称符合C 类集的这种图形为“凸形”. 命题①，相当于将“凸形”放大或缩小，变化后 还是“凸形”，正确；命题②，可以进一步将“凸形”简化为圆，即M 在圆1O 内，N 在圆2O 内，MN 的中点轨迹为“凸形”，结合命题①，乘以2仍为“凸形”，②正确；命题③，两个 “凸形”的并集不一定为“凸形”，错误；命题④，两个“凸形”的交集还是“凸形”，正确.二. 选择题13. 选D ，A 、B 、C 反例，如1a ，2b ，排除A 、B 、C 选项14. 选A ，2sin(2)2sin[2()]36y x x，由2sin 2y x 向左平移6个单位可得15. 选C ，A 反例，12i z ，21i z ；B 反例，134i z ，243i z ；D 反例， 1i z ，21z ；综上，选C16. 选D ，当x A B ，此时x A 、x B 、x A B 同时成立，()()A B f x f x()1A B f x ，∴()()()A B A B f x f x f x 不恒成立，故D 错误. 其余选项均正确三. 解答题17.（1）连接EF ，∵E 、F 分别为PD 、PA 的中点，∴EF ∥AD ， ……2分 又∵BC ∥AD ，可得：EF ∥BC ， ……4分 ∴B 、C 、E 、F 四点共面. ……6分 （2）解法一：设AC 与BD 交于点Q ，连接EQ ， 由E 、Q 分别为DP 、DB 的中点，可得：EQ ∥PB ， ∴AEQ 或其补角为异面直线PB 与AE 所成的角， ……8分 由PA 平面ABCD 可得：PA AB ，PA AD ， ∵1AB AP，AD，∴PB，2PD ， ……10分122EQ PB，112AE PD ，112AQ AC ， ……12分（给在12的关系上）222111cos 24AE EQ AQ AEQ AE EQ，arccos (0,42AEQ ，异面直线PB 与AE 所成角的大小为arccos 4. ……14分解法二：建立如图空间直角坐标系，(1,0,0)B、D 、(0,0,1)P、1)22E ，……10分 (1,0,1)PB，1(0,,22AE ， ……12分PB 与AE 所成的角满足||cos 4||||PB AE PB AE， ∴异面直线PB 与AE所成角的大小为4. ……14分 18.（1）由(0)17f a ，∴6a ，方程6252x x ，即2(2)5260x x ，可得：22x 或23x ，……4分 解得：1x 或2log 3x .……6分（2）解法一：函数的定义域为R ， ……8分 当1a 时，1()22x x f x ，对任意x R ，均有11()22()22x xx xf x f x ， ∴1()22x xf x为偶函数； ……10分 当1a 时，1()22x x f x ，对任意x R ，均有11()22()22x x x x f x f x ，∴1()22x x f x 为奇函数； ……12分当1a 且1a 时，()22x x a f x ，由(1)22a f ，1(1)22f a ，55(1)(1)022f f a ，33(1)(1)022f f a ，∴()22x x af x 为非奇非偶函数. ……14分解法二：函数()f x 的定义域为R ，()f x 为奇函数当且仅当()()0f x f x 对任意x R 恒成立，22022x x x x a a，即1(2)(1)02xxa ， ∵x 任意，∴10a 即1a ， ……10分【说明】(0)01f a ，须将1a 代回解析式验证()()f x f x 恒成立，()f x 为偶函数当且仅当()()0f x f x 对任意x R 恒成立，22022x x x x a a，即1(2)(1)02xxa ， ∵x 任意，∴10a ，即1a ， ……12分综上：当1a 时()f x 为偶函数；当1a 时()f x 为奇函数； 当1a 时()f x 为非奇非偶函数. ……14分19.（1）△ACE 中，30ACE ，45AEC ， ……2分 ∵sin sin AE ACACE AEC ，……4分 ∴2sin 30sin 45AE，∴1AE AC AE ，会受影响. ……6分 （2）△ABC 中，∵sin 30sin 75AB AC，∴AB ， ……8分BE BC ，∴道口B 不受影响， ……9分BD过道口A：时间12 4.4A t分钟， ……11分过道口B：时间2 4.3B t 分钟，……13分 走道口B 更快. ……14分20.（1）设(,)A x y ，222450,0y x x y x y，……2分 解得：1x ，2(1,2)y A .……4分（2）设00(,)A x y ，00y ，∵△AFD 为等腰直角三角形，且90FAD ，∴:(1)AF y x ，……6分 代入24y x，解得：03x ，……8分0215t x（5舍去），即：(5D . ……10分（3）证明：11(,)A x y 是抛物线上异于原点的点， 经过A 的直线l 方程：11()x x m y y ，112()4x x m y y y x，得：211104y my my x ， 若直线l 与抛物线相切，则21114()04m my x ，即221104y m my ，∴12y m ，即切点为11(,)A x y 的切线斜率为12k y ，……12分设弦AB 所在直线的方程为(0)x t n y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(0)4x t n y y x，24()y ny t ，即2440y ny t ， ∵1y 、2y 是方程的根，∴124y y n ，124y y t ，【充分性】已知P 为弦AB 的中点，则122Q P y y y y， 代入过点A 的切线方程111()2y x x y y ，得：21121121()2244y y y y y y x y t ，∴点Q 在过点A 的切线上，即直线AQ 与抛物线相切； ……14分 【必要性】设直线AQ 与抛物线相切，直线的AQ 方程为111()2y x x y y，令x t ，则111()2Q y t x y y ，即212111()442Q y y y y y y，∴122P Q y y y y ， ∴P 为弦AB 的中点. ……16分21.（1）1(2)n n a ，1(2)3nn S （*n N ）， ……1分∴2121123n n S （*n N ），……2分 221203n n S （*n N ），……3分∴该无穷等比数列{}n a 具有性质P . ……4分（2）证明：∵1231234n n n n n n n n a a a a a a a a （*n N ）成立， ∴4n n a a （*n N ）成立，……6分 ∵数列{}n a 具有性质P ，∴40S ， 而对于任意正整数k ，都有41410k S kS a ， ……8分 假设40S ，则14a k S（与k 为任意正整数相矛盾），……9分 ∴40S . ……10分 （3）设1(1)n c c n d ，前n 项和1(1)2n n n T nc d ，∴22(121)02n n n n nS T n T（*n N ）， 221210n n n n S S c n T （*n N ）， ……12分∴2121(1)02(1)(2)(1)02n n n nc d n n n n c d对任意*n N 成立， 即1211(1)(0223(1)()()022d d n c d d n c n d c 对于任意*n N 成立， ……14分 ∴102d ，102d，得到2d ， ……15分即有11110(3)(2)0c c n c 对于任意*n N 成立，解得：131c ， ……16分∴20191120184036[4039,4037]c c d c . ……18分上海市普陀区2020届高三一模数学答案一. 填空题1. 2，1122pp ，∴2222y px x m 2. 3，分子分母同除3n，13230lim 33110n n nn 3. (0,1)，111001x x x x4. 12，111i (i 122z m m ，∴12m 5. 2，1(2)0(0)2f f ，∴log 422a a6. 9，225526631()()9C x C x x x，即含2x 项的系数为9 7. 8，222810888234202a a a a a a ，∴82b ，∴3491188b b b b8. ，(0,)P a ，由2PQ QA ，∴2(,33a a Q ，代入椭圆24199a ，∴2a 9. 432，分析对立面，若()()()abcdef 为奇数，则a b 、c d 、e f 均为奇数， ∴3323332()288P P P ，∴()()()a b c d e f 为偶数的排列的个数为66288432P 10. 11[,]83，将函数展开后，奇次项有3(8)a b x 、(815)c b x ，∴80a b ，8150c b ，∴8b a ，15c a ，方程21ax bx c ，即(3)(5)1a x x ，∵[1,2]x ，∴1(3)(5)x x a[3,8] ，即11[,]83a11. 取MN 中点C ，∴()()PM PN PC CM PC CN2224PC CM PC ，max ||2PC OC，min ||2PC OB OC ，∴2[10PC ，即[6PM PN12. (3 ，数形结合，画出()f x 的图像，并作出其关于1x 对称的图像()f x ，由题意，即()f x 与()g x 有两个交点，∴a 取值范围的界值在()g x 与半圆y (2,0) 到直线1y x a 和直线1y x a 的距离均为222 ，∴1a 3a a (3 .二. 选择题13. 选A ，“ln 1m ” “0m e ”，∵范围小的推出范围大的，∴选A 14. 选D ，{1,1}A a a ，两元素之差为2，① 5b ，4a ；② 1b ，此时2a 或0a ；③ 3b ，2a ；综上，对应的实数对(,)a b 有4对15. 选D ，A 、B 选项反例如图所示；C 选项，存在无数条直线与a 、b 、c 都相交；D 选 项，直线a 、b 分别与c 共面，若c 既不与a 相交，也不与b 相交，则a 、b 、c 两两平行，与“异面直线a 、b ”矛盾，∴c 必与a 或b 相交16. 选B ，由题意，0a ，0b ，211(2)()a b a b a b ，同乘(2)()a b a b ，∴2222222344a b a b b aa b ab a b a b恒成立，∵2223a b ab3ab ，∴34ab ，即4ab 222a b三. 解答题 17.（1）当12时，AD DC ，取棱AB 的中点E ，连接ED 、EP ， 则ED ∥BC ，即PDE 是异面直线PD 与BC 所成角或其补角， ……2分又PA 、AB 、AC 两两互相垂直，则1PD DE EP ，即△PDE 是正三角形，则3PDE， ……5分则异面直线PD 与BC 所成角的大小为3. ……6分（2）∵PA 、AB 、AC 两两互相垂直，∴AB 平面PAC ， ……9分 则11112233239D PBC B PDC PDC V V AB S PA DC DC，即23DC ，……13分 又AD AC （0 ），2AC ，则23. ……14分【说明：利用空间向量求解请相应评分】18.（1）当4a 时，由22541x x得：24250x x ， ……2分 令2x t ，则2540t t ，即14t ， ……4分 即02x ，则所求的不等式的解为(0,2). ……6分（2）任取122x x ，∵函数()22x x f x a 在区间[2,) 上单调递增， ∴12()()0f x f x 在[2,) 上恒成立， ……8分 则112222220x x x x a a 恒成立，即121212222202x x x x x x a ，1212(22)(102x x x x a ， ……10分又12x x ，则1222x x ，即122x x a 对122x x 恒成立， ……12分又12216x x ，即16a ，则所求的实数a 的取值范围为[16,) .……14分 19.（1）由平行四边形OMPN 得：在△OPN 中，120ONP ，60OPN ， 则sin sin sin ON OP PN OPN ONP PON ，即60sin(60)sin120sin ON PN，即)ON，PN ， ……4分则停车场面积sin sin(60)S ON PN ONP ，即sin(60)S ，其中060 . ……6分（2）由（1）得：1sin(60)cos sin )2S ， 即23600sin cos1800sin 2S ……10分则30)S ……12分 ∵060，∴30230150，则23090 时，max 11039.2S 平方米， ∴当30 时，停车场最大面积为1039.2平方米. ……14分 【说明：（1）中过点P 作OB 的垂线求平行四边形面积，请相应评分】 20.（1）当0m ，直线l 与C 的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形，由根据双曲线的性质得：2221tan 303b a ，又焦距为4，则224a b ， ……3分解得：a 1b ，则所求双曲线 的方程为22=13x y . ……4分 （2）设11(,)D x y ，22(,)E x y ，由22=1340x y x my，得：22(3)8130m y my ，则12283m y y m，122133y y m ，且2226452(3)12(13)0m m m ，又坐标原点O 在以线段DE 为直径的圆内，则0OD OE，即12120x x y y ，即1212(4)(4)0my my y y ，即212124()(1)160m y y m y y ，则22221313816033m m m m ，……8分 即223503m m，则3m或3m ，即实数的取值范围为((33. ……10分 （3）线段PQ 在x 轴上的射影长是||p q x x ，设00(,)D x y ，由（1）得点B ， 又点P 是线段BD的中点，则点00(22x y P ， ……12分 直线BD，直线AD，又BD PQ ，则直线PQ的方程为0000()22y x x y x y，即200000322x x y y x y y ，又直线AD的方程为y x，联立方程20000322x x y y x y y y x，消去y化简整理得：2220003)22x y x x x ，又220013x y ， 代入消去20y得：20002(3)1)(33x x x x x ，即02(1(33x x x，则024x x ，即Q横坐标为024x ，……15分则002||||244p q x x x x，∴线段PQ 在x 轴上的射影长为定值.……16分 【说明：看作是PQ 在OB或(1,0)i 方向上投影的绝对值，请相应评分】21.（1）由条件得：1()3n n b ，*n N ，即11()3n n n a a ， ……1分则2113a a ，23211(39a a，设等比数列{}n a 的公比为q ， 则322113a a q a a ，又1(1)3a q ，则14a ， ……3分当14a ，13q 时，111()43n n a ，*n N ，则111111111111((()[()](434334433n n n n n n a a 满足题意，∴所求的a 的值为14. ……4分 （2）当2n 时，1121n n n b b ，21221n n n b b ， ，2121b b ，以上1n 个式子相加得：12312222(1)n n n n b b n ， ……6分又12123b a a a ，则1222(12)(1)32412n n n b n a n a， 即224n n b n a ，由1210n n n b b 知数列{}n b 是递增数列， ……8分又1n n n b a a ，要使得4n a a 对*n N 恒成立，则只需34345400b a a b a a ，即32421080b a b a ，则281a . ……10分（3）由条件得数列{}n a 是以4为首项，2为公差的等差数列， 则42(1)22n a n n ，2(422)32n n n S n n，则223222n n n nS n n C， ……12分 则222111(1)3(1)23242222n n n n n n n n n n n C C， 当3n 时，224233428282(2)40n n ，即3n 时，1n n C C ，则当3k l 时，k l C C 与k l C C 矛盾. ……14分又1l ，即2l 时，232522k k k， 当5k 时，225325352202216kk k， 又205207207(2)3016216168，即当5k ，2l 时，232522k k k 与232522kk k 矛盾， 又2k l ，则3k 或4，当3k 时，2233233325222kk k，解得：1 ， 当4k 时，2243243425222k k k，解得：2 ，综上： 的所有可能值为1 和2 . ……18分。