1 x2 arctan x
1
x2
1
1 x2
dx
1 x2 arctan x 1 dx
1 x2 令 x tan t
1
1 x2dx
1 sec2 tdt
1 tan2 t
sec tdt
ln | sect tant | C ln | x 1 x2 | C
x
arctan 1 x2
总结 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的 乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
u
例3 求积分
x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
第四节 不定积分的分部积分法
问题 xe xdx ?
解决思路
利用两个函数乘积的求导法则.
设函数u u( x)和v v( x)具有连续导数,
uv uv uv, uv uv uv,
uvdx uv uvdx, udv uv vdu.
分部积分公式
例1 求积分
udv uv vdu.
x cos xdx .
解（一）
令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
x cos xdx
cos
xd
x2
2 x2 cos x
x2 sin xdx
22
2
显然， u选,择v不 当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
e x (sin x cos x) e x sin xdx 注意循环形式
e
x
sin
xdx
ex 2
(sin
x
cos
x)
C.
例7 求积分
e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x
e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x e xd sin x
e x sin x (e x sin x sin xdex )
e x sin xdx
本题也可以先凑
,也s要i凑n两x次d.x
例8 求积分
x
arctan 1 x2
x
dx.
解 1 x2 x , 1 x2
x
arctan 1 x2
x
dx
arctan
xd
1 x2
1 x2 arctan x 1 x2d(arctan x)
x
dx
1 x2 arctan x ln | x 1 x2 | C.
合理选择
u, v，正确使用分部积分公式
uvdx uv uvdx
思考题解答
u 注意前后几次所选的 应为同类型函数.
例 e x cos xdx
第一次时若选
u1 cos x
e x cos xdx e x cos x e x sin xdx
4
x3 ln xdx
x4 ln xd
4
1 4
x4
ln
x
1 4
x 3dx
1 x4 ln x 1 x4 C .
4
16
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘 积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .
u
例5 求积分
sin(ln x)dx.
解 sin(ln x)dx x sin(ln x) xd[sin(ln x)]
cos(ln
x)]
C.
例6 求积分
e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x) e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x e x sin x (e x cos x e xd cos x)
x sin x cos x C.
例2 求积分
x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv,
x2e xdx
x 2de x x2e x 2 xe xdx 一次后, x的次数降低.
（再次使用分部积分法）
u x, e xdx dv
x2e x 2( xe x e x ) C.
第二次时仍应选
u2 sin x
作业: P249: 1. (2)(4). 2.
x sin(ln
x)
x
cos(ln
x)
1 x
dx
x sin(lnx) cos(lnx)dx
x sin(ln x) x cos(ln x) xd[cos(ln x)]
x[sin(ln x) cos(ln x)] sin(ln x)dx
sin(ln
x)dx
x [sin(ln 2
x)
x)
x 2
x2 1
arctan x 2
2
1
x2 dx
x2
1 x2 11
பைடு நூலகம்
2 arctan x 2 1 x2 dx
x2 arctan x
2
1 2
(1
1
1 x
2
)dx
x2 arctan x 1 ( x arctan x) C .
2
2
例4 求积分
x3 ln xdx.
解
u ln x, x3dx d x4 dv,