2．多输入系统
多输入系统，其状态方程为 Ax Bu x
(15)
M ( B, AB, A2 B,, An1B)
式中，B为nr阶矩阵；u为r维列矢量。 其能控的充分必要条件M的秩为n.
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定常系统能观性的判别 方法一 系统矩阵A为对角线型的情况下，系统能观的充要条件是出 矩阵C中没有全为零的列。
b21 b22 如果 b b 行线性无关，则状态能控 41 42 安徽理工大学电气系
单输入系统，从系统的传递函数阵判断系统的能控性 u-x 间的传递函数阵为：
Wux (s) (sI A) 1 b
(Page-44，45)
状态完全能控的充分必要条件是Wux(s)没有零点和极点重 合现象。否则被相消的极点就是不能控的模式，系统为不 能控系统。
无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。 所以：
0 6, 1 11, 2 6 0 5, 1 4, 2 1
1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 , 2 6 11 6 0 Bc 2 0 1
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直接通过 A和C构造N 矩阵 定常系统能观性的判别 方法二
系统能观的充要条件 rankN=n
C CA N n 1 CA
判断好系统的能控和能观性之后 求解系统的能控标准型和能观标准型 1．能控标准 I型 若线性定常单输入系统： (1)
(12) 安徽理工大学电气系
例：写出以下传递函数的能控标准II型。
s2 4s 5 G ( s) 3 s 6 s 2 11s 6
解：
s2 4s 5 ( s 2)2 1 G( s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 3)( s 2)( s 1)
(16) (17) (18)
取变换阵
： (19)
y(t ) x1 (t )
解：
1 0 0 A , b , c 1 0 1 2 1
s2 2 ( s 1 ) ( sI A) 1 1 2 ( s 1 ) 1 ( s 1) 2 s ( s 1) 2
有： 系统的状态空间表达式才可能导出能观标准型。 状态空间表达式的能观标准型也有两种形式，能观标准 型和能 观标准 型，它们分别与能控标准 1．能观标准 型 若线性定常系统： (13)
是能观的，则存在非奇异变换：
型和能控标准
型相对偶。
(14)
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使其状态空间表达式(13)化成：
(15) 其中
系统的能控性；另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定
(1)
或
(2)
式中 安徽理工大学电气系
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•系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 •在A为对角阵的情况下，如果b的元素有为0的，则系统是不完 全能控的 •在A为约旦标准矩阵时，只有当b中相应于约旦块的最后一行的 元素为零时，系统是不完全能控的。 •不能控的状态，在结构图中表现为存在与u(t)无关的孤立块。
s 1 (sI A) 1 s 2
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Φ(t ) L
1
sI A
1
(1 t )e t t te
t
te t t (1 t )e
y(t ) cx(t ) cΦ(t )x(0) c Φ( )bu(t )d
是能控的，则存在线性非奇异变换：
(2)
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(3) 使其状态空间表达式(1)化成能控标准1型： (4)
0 其中 0 1 A Tc AT 1 c1 0 a 0
1 0 0

0 0 0
a1 an 2
0 0 1 an 1
控标准II型为：
0 Ac 2 0 0
Cc 2 [ 0
1 2 ] 5 4 1
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套路总结
• 先根据M或零极点判别系统的能控性
• 计算系统的Tc1和Tc2
• 计算
A
b
C
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单输出系统的能观标准型
与变换为能控标准型的条件相似，只有当系统是状态完全能观时，即
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例 将下列状态空间表达式变换成能控标准 I 型
1 2 0 2 3 1 1 X 1 u X y 0 0 1 X 解：方法一，（ 1）判别系统的能控性 0 2 0 1
2 4 16 系统能控，可以化为能控标准型。 2 rankM rank b Ab A b rank 1 6 8 3 1 2 12
1 2
0 1 0 0 还可以直接写出系统的传递函数： 0 0 1 X 0 u X y 3 2 1 X 2 9 0 1
2 s 2 1s 0 s 2 2s 3 W ( s) 3 3 2 s 2 s 1s 0 s 9s 2
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直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统 Ax bu x
(13)
其能控的充分必要条件是由A，b构成的能控性矩阵
M (b, Ab, A2b,, An1b)
(14)
满秩，即rankM=n. 否则，当rankM<n时，系统为不能控的 。
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(5)
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称形如式(4)的状态空间表达式为能控标准I型。 其中
ai (i 0,1,, n 1) 为特征多项式：
I A n an1n1 a1 a0
的各项系数。
i (i 0,1,, n 1)

是cTc1相乘的结果，即
0 c ( An 1b an 1 An 2 b a1b) n 2 c ( Ab an 1b) n 1 cb
所以标准型实现的第一步是判断能控和能观性，下面看一下怎么 判断能控和能观性。
线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行 状态变换，把状态方程化为约旦标准型 其能控性。 具有约旦标准型（或者变换为约旦标准型）系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为： ，再根据 阵，确定
0
(1 t )e e d
t 0
t
(1 t )e de 1
t 0
t
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套路总结：
• 1.先写出系统矩阵A, 控制矩阵B, 输出矩阵C • 2.求解状态转移矩阵：a.由定义求解（难以得到解析式，不推荐）
•
• •
b.变换系统矩阵为对角阵、约旦阵 Page-62（推荐）
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1.线性定常系统非齐次方程的解
线性定常系统非齐次方程解的组成：
自由运动+强制运动
当初始时刻
初始状态
时，其解为： （2）
式中，
。
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当初始时刻为 ，初始状态为 式中，
。
时，其解为：
证明过程: 1.积分法，详见Page-69 2.拉氏变换法:
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注意：如果在约旦标准阵中出现两个以上同一特征值有关
的约旦块，对单输入系统，系统是不能控的；对多输入系统
，则要考察T-1B中，与那些相同特征值对应的约旦块的最后
一行元素所形成的矢量是否线性无关，如果线性无关，系统 才是能控的。
含义：
1 1 0 1 对于： x 0 0 1 1 0 1 x1 b11 x b 2 21 x3 b31 x4 b41 b12 b22 u b32 b42
2 C CTc1 C A b
பைடு நூலகம்
0 b 0 1
0 0 1
1 0 Ab b 2 1 1 2
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16 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 8 6 1 12 2 1 9 0 1 1 0 0 3 I 4）得到系统的能控标准 型为： （ 2 1 0 1 0 2 1 0 12 9 0 1
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（2）A的特征多项式
I A 3 9 2
0 2, 1 9, 2 0 （3）计算 可直接写出 A, b , C ：
A, b C
1 0 0 1 0 0 需通过计算得到 0 0 1 A 0 0 1 0 1 2 2 9 0
上式左乘
，得： （5 ）
注意式（5）等式右边第二项，其中：
两个拉氏变换函数的乘积是一个卷积的拉氏变换，即
以此代入式（5），并取拉氏反变换，即得
：
x(t ) L1 (sI A)1 x(0) L1 (sI A)1 BU(s)
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三种常见的激励及其对应的解（Page-70）
若第i列全为零，则状态变量xi(t)为不能观的。 在系统矩阵为约旦标准型矩阵的情况下，系统能观的充分必 要条件是输出矩阵C中，对应每个约旦块开头的一列（首列 ）的元素不全为零。
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注意： 约旦阵J中没有两个约旦块与同一特征值有关，如果有两个 约旦块与同一个特征值有关，则每个约旦块开头的一列（ 首列）线性无关；