而前文已经得出导轨的动能 Tw ，因此两式相加得系统的动能 T 为：
2 2 2 2 1 x T Tb Tw m x x2 a Ib I w a 2 R
是导轨相对于水平线的倾斜角。
图 1.球杆系统简图
2.2 拉格朗日法建模
为了对球杆系统进行研究， 我们先对其进行建模， 一般来说， 这种球杆系统， 运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：
d T T V R U t dt q q ' q ' q
v v' w r
其中 v ' 是小球相对于导轨的线速度，其数值等于 x ，负号是指方向与规定 的正方向相反， 指的是导轨的角速度，即 a ，r 是小球的质心在坐标系中的位 置向量，计算式如下：

R x 0 x x a v 0 0 R xa a 0 0 0
其中 T 为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V 为系 统的势能， 包括重力势能弹性势能等等， 能量耗散函数为 R ，q
q1 , q2 ....qk
T
1
为广义坐标向量，其中 k 代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐 标数目，关于自由度在下文会具体分析， u 为作用于系统的外力。 以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小 球的半径 I b ：球的惯性力矩， I w ：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球 的相对纵坐标， ：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系 统受力分析如下：
图 1. 球杆受力分析 由图可知，小球的广义坐标向量有 3 个，即是小球坐标 x ，小球转动角 ， 杆的转角 ，而小球的速度和导轨转动的角速度可以用 x 和 a 来表达，因此，通 过这三个变量，就能完全描述系统的各个状态，但是在实际中，由于小球是沿着 导轨只做滚动不做滑动的，因此就有 x R ，也就是说小球的转动角 和小球 位移是一一对应的，那么转动角 就可以和 x 合并到一起分析，这样球杆系统有 两个广义坐标 q1 x ， q2 a 。 要想计算系统的动能， 就必须知道小球和导轨的转动惯量，根据资料得小球 和导轨的转动惯量如下：
分
数: ___________
任课教师签字：___________
华北电力大学研究生结课作业
学 年 学 期：2014-2015 学年第一学期 课 程 名 称：线性系统理论 学 生 姓 名： 学 号：
提 交 时 间：2014 年 11 月 27 日
目录
1.绪论............................................................................................................................ 1 2.球杆系统分析与建模................................................................................................ 1 2.1 球杆模型简介.................................................................................................. 1 2.2 拉格朗日法建模.............................................................................................. 1 2.3 拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取.............................................. 4 3. 系统稳定性分析...................................................................................................... 5 3.1 有初始状态下求取系统响应曲线.................................................................. 6 3.3 稳定性判断并求取零极点分布图.................................................................. 7 4.系统能控性判别........................................................................................................ 8 4.1 代数判据.......................................................................................................... 8 4.2 模态判据.......................................................................................................... 8 4.3 可控性与可稳定性........................................................................................ 10 5.系统极点配置.......................................................................................................... 10 5.1 极点配置方法..................................................................ห้องสมุดไป่ตู้............................. 10 5.1.1 状态反馈原理..................................................................................... 11 5.1.2 输出反馈原理..................................................................................... 11 5.1.3PID 配置极点原理............................................................................... 12 5.1.4 三种反馈对比..................................................................................... 12 5.2.用状态反馈进行极点配置........................................................................... 12 6.可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计.................................................. 16 6.1 能观性分析.................................................................................................... 16 6.1.1 代数判据............................................................................................. 16 6.1.2 模态判据............................................................................................. 16 6.3 全维观测器原理............................................................................................ 17 6.4 全维状态观测器结构.................................................................................... 17 6.5 全维状态观测器设计.................................................................................... 18 6.6 全维状态观测器 Simulink 仿真.................................................................. 18 6.7 全维状态观测器在干扰下的性能研究........................................................ 20 7.总结.......................................................................................................................... 22

Ib
2 mR 2 4.32 105 kgm2 5
I w 0.1402kgm 2
1 2 Tw I w a 2
导轨是一个重心在重心的均匀旋转体，其角速度为 a ，因此，导轨的动能为:

1 而小球的动能包括两部分，第一部分是小球沿着导轨运动的动能，用 mv 2 2