立体几何大题专题训练1.已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别是AB.PC 的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD2.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P -ABCD ，AB ⊥AC ，PA ⊥平面ABCD ，且PA =AB ，点E 是PD 的中点.。

（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）求证：PB //平面AEC ；3.如图，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE =EB =BC, F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD .4.如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD 为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.（1）证明：BD⊥AA1；（2）证明：平面AB1C//平面DA1C1（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP//平面DA1C1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．DC5．（本小题满分 12 分）如图所示,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直,AD ⊥ CD , AB // CD , CD = 2 AB = 2 AD .(Ⅰ)求证： BC ⊥ BE ；E(Ⅱ)在 EC 上找一点 M ,使得 BM // 平面 ADEF ,请确定 M 点的位置,并给出证明．FAB6、(本小题满分 12 分)如图：直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中， AC =BC =AA 1=2， ∠ACB =90︒.E 为 BB 1 的中点，D 点在 AB 上且 DE = 3.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面 A 1ABB 1； （Ⅱ）求三棱锥 A 1－C DE 的体积.7、如图6，已知四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是直角梯形，AD // BC ，∠BAD =90º，BC = 2 AD ．P（1）求证：AB ⊥PD ；（2）在线段PB 上是否存在一点E ，使AE //平面PCD ，若存在，指出点E 的位置并加以证明；若不存在，请说明CD理由．A B8、如图，四棱锥P—ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F 分别为PC 和BD 的中点．（1）证明：EF∥面PAD；（2）证明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱锥P—ABCD 的体积．立体几何大题专题训练1. 解析：(1) 取PD 中点E , 又N 为PC 中点, 连NE ,则NE / /CD , NE = 1CD .2又 AM / /CD , AM = 1CD ,∴ AM / / NE ,∴四边形AMNE 为平行四边形2= ∴ MN / / AEPA ⊥ 平面ABCD ⎫ CD ⊥ PA ⎫ CD ⊥ 平面ADP ⎫ CD ⊂ 面ABCD ⎬ ⇒ CD ⊥ AD ⎬ ⇒ AE ⊂ 平面ADP ⎬ ⇒ CD ⊥ AE .⎭ ⎭ ⎭(2) 当∠PDA = 45 时, Rt ∆PAD 为等腰直角三角形则AE ⊥ PD , 又MN // AE ,∴ MN ⊥ PD , PD ⋂ CD = D ∴ MN ⊥ 平面PCD .2. Ⅰ）∵PA ⊥平面 ABCD ，∴AB 是 PB 在平面ABCD 上的射影. 又∵ AB ⊥ AC ， AC ⊂ 平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（ Ⅱ） 连接 BD ， 与 AC 相交于 O ， 连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 ∴EO ∥PB. 又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂ 平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC.3. 解：（1）证明： AD ⊥ 平面 ABE ， AD ∥ BC ∴ BC ⊥ 平面 ABE ，则 AE ⊥ BC ……2 分又 BF ⊥ 平面 ACE ，则 AE ⊥ BF ∴ AE ⊥ 平面 BCE .................... 5 分（2）证明：依题意可知： G 是 AC 中……6 分 BF ⊥ 平面 ACE ，则CE ⊥ BF ，而 BC = BE AE∴ F 是 EC 中点，在△ AEC 中， FG ∥ AE ⊄ 平面BFD 又 FG ⊄ 平面BFD∴ AE ∥平面BFD ................... 12 分 3. 证明：⑴连 BD ，∵ 面 ABCD 为菱形， ∴BD ⊥AC ， 由于平面 AA 1C 1C ⊥平面 ABCD ， 则 BD ⊥平面 AA 1C 1C 故：BD ⊥AA 1BN 2+ CN 2AD 2 + AD 2 ⑵连 AB 1，B 1C ，由棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的性质知AB 1//DC 1，AD//B 1C ，AB 1∩B 1C=B 1,A 1D ∩ DC 1=D ，由面面平行的判定定理知：平面 AB 1C//平面 DA 1C 1，⑶存在这样的点 P ，因为 A 1B 1∥AB ∥DC ，∴四边形 A 1B 1CD 为平行四边形.∴A 1D//B 1C 在 C 1C 的延长线上取点 P ，使 C 1C=CP ，连接 BP ，… ........... 10 分因 B 1B ∥CC 1，∴BB 1∥CP ，∴四边形 BB 1CP 为平行四边形，则 BP//B 1C ，∴BP//A 1D∴BP//平面 DA 1C 1 ............... 12 分5．证明： (Ⅰ)因为正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， DE ⊥ AD 所以 DE ⊥ 平面 ABCD ∴ DE ⊥ BC ……1 分因为 AB = AD ，所以∠ADB = ∠BDC = 取CD 中点 N ，连接 BN, BD 4= 2 A D则 由 题 意 知 ： 四 边 形 ABND 为 正 方 形 ， 所 以BC = = = = 2 A D ， BD = BCE则∆BDC 为等腰直角三角形则 BD ⊥ BC …5 分 M则 BC ⊥ 平面 BDE 则 BC ⊥ BE …F(Ⅱ)取 EC 中点 M ，则有 BM // 平面 ADEF D证明如下：连接 MNNC由(Ⅰ)知 BN // AD ，所以 BN // 平面 ADEF 又因为 M 、 N 分别为CE 、CD 的中点，所以则 MN // 平面 ADEF ..................... 10 分AMN // DEB则平面 BMN // 平面 ADEF ，所以 BM // 平面 ADEF ............................ 12 分 6 解：解：(1)在 Rt △DBE 中，BE=1，DE= 13，∴BD=DE 2－BE 2=2= AB ， ∴ 则 D 为 AB 中点, 而 2AC=BC ， ∴CD ⊥AB又∵三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 为直三棱柱, ∴CD ⊥AA 1 又 AA 1∩AB =A 且 AA 1、AB ⊂ 平面 A 1ABB 1 故 CD ⊥平面 A 1ABB 16 分AD 2 + AB 2 AD 2+ 1 CD 2 4FEDEDF P（2）解：∵A 1ABB 1 为矩形，∴△A 1AD ，△DBE ，△EB 1A 1 都是直角三角形， ∴ S ∆A DE = S A ABB - S ∆A AD - S ∆DBE - S ∆EB A1 1 1 1 1 1=2×2 1 1 12－ × 2 2×2－ × 2 2×1－ ×2 22×1= ∴ V =V 1 = ×S 1 3 ×CD= × 2×2=1 A 1－CDEC －A 1DE 3A 1DE 3 2 ∴ 三棱锥 A 1－CDE 的体积为１． ------------------------------------- 12 分7 解：解：（1）∵ PA ⊥平面 ABCD ， AB ⊂ 平面 ABCD ， ∴ PA ⊥ AB ． ∵ AB ⊥ AD ， PA AD = A ， ∴ AB ⊥平面 PAD ，∵ PD ⊂ 平面 PAD ，∴ AB ⊥ PD ． …… 6 分（2） 法 1: 取线段 PB 的中点 E ， PC 的中点 F ，连结AE , EF , DF ,P则 EF 是△ PBC 中位线．∴ EF ∥ BC ，AD = 1 BCEF = 1BC2 ， C∵ AD // BC ， 2 ，∴AD // EF , AD = EF ．∴ 四边形 EFDA 是平行四边形，∴ AE // DF ．AB∵ AE ⊄ 平面 PCD ， DF ⊂ 平面 PCD ， ∴ AE ∥平面 PCD ．∴ 线段PB 的中点 E 是符合题意要求的点． ……12 分法 2: 取线段 PB 的中点 E ， BC 的中点 F ，连结 AE , EF , AF ,则 EF 是△ PBC 的中位线．∴ EF ∥ PC ， CF = 1BC2 ，C∵ EF ⊄ 平面 PCD , PC ⊂ 平面 PCD ,32 2∴EF // 平面PCD ．…… 8 分AD =1 BC∵ AD // BC ， 2 ，∴AD // CF , AD =CF ．∴ 四边形DAFC 是平行四边形，∴ AF // CD ∵ AF ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴AF ∥平面PDC ．……10 分∵ AF EF =F ,∴平面AEF // 平面PCD ．∵ AE ⊂平面AEF ,∴ AE ∥平面PCD ．∴线段PB 的中点E 是符合题意要求的点．……12 分8.如图，连接AC，∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点，∴AC 必经过F . 1 分又E 是PC 的中点，所以，EF∥AP 2 分∵EF 在面PAD 外，PA 在面内，∴EF∥面PAD 4 分（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD 面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，又AP ⊂面PAD，∴AP⊥CD 6 分又∵AP⊥PD，PD 和CD 是相交直线，AP⊥面PCD 7 分又AD ⊂面PAD，所以，面PDC⊥面PAD 8 分（3）取AD 中点为O，连接PO，因为面PAD⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD，即PO 为四棱锥P—ABCD 的高10 分1 2∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD 的体积V = PO ⋅AB ⋅AD =3 3--------12 分。