a
b
n
x... 2 x ijk abn i 1 j 1 k 1
2
a
b
n
2
SSA bn (xi .. x...) 2
i 1 b
x... 1 a 2 Ti.. bn i 1 abn x 1 2 T. j . an j 1 abn
b 2 ...
复因子试验的必要性
不仅能解决各因子水平间的比较问题，且
能分析因子间的互作问题。
与同条件下的单因子试验精确度高
必须将处理组合的SS和DF进一步分解为各个因子及 其各项交互作用的SS和DF，从而进行因子主效应及
交互作用效应的F测验。
＆9.1
两因素方差分析中的几个概念
1、试验效应（effect）：处理所产生的效果，是试验因素
放养密度
MSe 5.47 s xi . 1.1696 b 4 s x. j MSe 5.47 1.3503 a 3
饵料水平
新复极差法计算资料R值
Rk r S x
R0.05 R0.01
放养密度的R值(标准误=1.1696) k 2 r0.05 3.46 r0.01 5.24
（饵料）对试验指标（产量）所起的增进或减退的作用。 2、 简单效应：某一因素在另一因素不同水平上所产生的效 应不同，称为简单效应。
A因素的简单效应： B1 B2 A1 18 38 A2 24 44 在B1水平上：24-18=6 在B2水平上：44-38=6
B1 B2
A1 18 38
A2 24 44
对于固定因素,处理效应是各处理平均数距总平 均数的离差.
例9.2 用3种不同的放养密度A1、A2、A3 和4种不同的饵料B1、B2、B3、B4进行 网箱养罗非鱼试验，经一定试验期的产量 如表9.2。试做方差分析。
DPS 实验统计/完全随机/二因素无重复试 验统计分析
第一步:假设 依题意,关于A因素(放养密度)的假设是: H0: 3种密度间产鱼量无差异,即α1=α2=α3=0, HA: 3种密度间产鱼量有差异,至少一个 αi≠0 关于B因素(饵料)的假设是: H0: 4种饵料间产鱼量无差异,即ß 1=ß 2=ß 3=0, HA:4种饵料间产鱼量有差异,至少一个 ß j≠0 利用表9.1资料,计算可得: 第二步:F检验
第九章 两因素方差分析
同时考察品种(A)与饲料(B)对鲢鱼日增重的影响。如表9.1
所示.品种设置3个水平，饲料设置4个水平，且品种的每一
水平与饲料的每一个水平进行均匀搭配。这种不同因素
的水平间均匀搭配而安排的试验，称为两因素交叉
分组或两向分组的试验。按两因素交叉分组或两向 分组进行试验，所获得的资料称为两因素交叉分组 或两向分组资料。
B因素第j水平 的处理效应
＆9.2.2
两因素无重复资料的方差分析 (两向分组无重复资料的方差分析)
如果根据经验或专业知识可以判断两因素间无交互 作用，也可不设重复。若因素间不存在交互作用，
观察值的线性模型是：
xij i j ij
i 1,2,3, , a j 1,2,3, , b
效果最好。
＆9.2.3
两因素有重复资料的方差分析
(两向分组有重复资料的方差分析)
在因素间存在交互作用时，由于交互作用的存在，在固定模
型中，每一处理都应设置重复。重复之间的平方和为误差平
方和。有了误差平方和，才能把交互作用从总平方和中分解 出来： SSAB＝SST－SSA－SSB－SSE 如果不设重复，则： SSE＝SST－SSA－SSB
例：3个罗非鱼品种A1、A2、A3和4种不同蛋 白质水平的饵料B1、B2、B3、B4，每个处理 配置两个鱼池进行试验。试验期内每池的产鱼量 （kg）如表所示。试做方差分析。
品种 A1 A2 A3 Xj.
B1 134 132.7 132 133.2 128.4 129.3 789.6
蛋白质水平 B2 B3 130.1 132.8 130.2 129.8 127.3 128.9 779.1 129.8 126.7 128.7 128.1 129.7 127.3 770.3 128.38
dfT ab 1 3 4 1 11 df A a 1 3 1 2 dfB b 1 4 1 3 dfe dfT df A dfB 11 2 3 6 MS A SSA / df A 318.5 / 2 159.25 MS B SSB / dfB 114.67 / 3 38.22 MSe SSe / dfe 32.83 / 6 5.47
【例如】对某水稻品种进行施肥试验， 每亩施氮10kg，亩产量为350kg， 每亩施氮15kg，亩产量为450kg。 则在每亩施氮10kg的基础上增施5kg的 效应即为450－350＝100kg/亩。
30
30
p2
p2
20
20
p1
p1
10
10
0
n1
n2
0
n1
Ⅰ
n2
Ⅱ
30
30
20
p2 p1
20
p1 p2
4.047
6.128
3
3.58
5.51
4.195
6.444
新复极差法计算资料R值
Rk r S x
R0.05 R0.01
饵料水平的R值(标准误=1.3503) k 2 r0.05 3.46 r0.01 5.24
4.6
7.1
3
3.58
5.51
4.8
7.4
放养密度的多重比较结果
密度（因素a）
平均值
FA MS A / MSe 159.25 / 5.47 29.11 FB MSB / MSe 38.22 / 5.47 6.99
查表得F值. FA>F0.01(2,6)=10.92, P<0.01
所以拒绝A因素的无效假设,表明3种放养密度间的产鱼 量差异极显著;
因为F0.05(3,6)=4.76<FB<F0.01(3,6)=9.78, P<0.05 所以拒绝B因素的无效假设,表明4种饵料间的产鱼量有 显著差异.
dfT abn df A a 1 dfB b 1 df AB (a 1)(b 1) dfE ab(n 1) MS A SSA / df A MS B SSB / dfB MS AB SSAB / df AB MS E SSE / dfe 32.83 / 6 5.47
Rk r S x
进 MSe 行 计算平均数的标准误 sx 多 n 重 比 根据dfe 和 k值,查SSR表9，得出ra,计算最 较 小显著极差值Rk(LSR)
k 为某两个极差间所包含的平均数个数
首先计算放养密度水平(j=3)均数的标准误 和饵料水平(i=4)均数的标准误,分别是
MSe sx n
随机模型适用于水平的总体，不做多重比较；而固定 模型只适用于所选定的a个水平。
互作(interaction) 效应：两个因素简单效应间的平均差
异称为交互作用效应，简称互作。
互作反映因子间相互影响的大小。可用：
（A1B1 +A2B2 ） －（A1B2 +A2B1 ）来估计
= （A2B2 －A1B2）-（ A2B1 - A1B1 ）（A因素简单效应） =（ A2B2- A2B1 ）-（ A1B2 - A1B1 ）（B因素简单效应）
计算结果列于下表:
资料方差分析表
变异来源 密度间 饵料间 误差 总和 SS 318.5 df 2 MS 159.25 38.22 5.47 F 29.11** 6.99**
114.67 3 32.83 466 6 11
复习:Duncan 检验（新复极差测验法） 第 三 步
不同平均数间的比较采用不同的显著尺度,临界值Rk
xi.
B4 129 128.9 127.6 127.8 128.8 129.1 771.2 1037.4 1028.8 129.68 128.6 xi.. 1044.0 130.5
x…=3110.2
131.6 129.85
153.83
x...
=129.59
x. j .
（1 ）数据输入与数据选择： 数据输入与数据选择：
10
10
0

n1
n2
n1
n2
Ⅲ
Ⅳ
•互作显著与否关系到主效的实用性。 •不显著，则各因素的效应可以累加，主效就代表了 各个简单效应。 •正互作时，从各因素的最佳水平推论最优组合， •负互作，则根据互作的大小程度而有不同情况。
直观图可以帮助判断因素之间是否存在交互作用。
但是由于实验误差的干扰，在处理数据时只凭图像
2
对于固定因素,处理效应是各处理平均数距总平均数的离差.
a
a
2 ..
T 1 2 SSB a (x. j x..) T. j . a j 1 ab j 1
2
b
b
2 ..
1 2 2 2 2 (165 143 145 159 ) 31212 114.67 3 SSE SST SSA SSB 32.83
A主效应=1/2 [（A2B2 －A1B2）+（ A2B1 - A1B1 ）] B主效应=1/2 [（A2B2 －A2B1）+（ A1B2 - A1B1 ）]
A的效应不依B的不同水平而有差异，故 无交互效应。(A在B1水平的简单效应与 在B2水平的效应相等)
B1 B2
A1 18 38
A2 24 44
是不行的，需要经过严格的数据分析之后，才能最
后断定因素之间是否存在交互作用。