第三节 两因素试验的 方差分析
考查两个因素对试验指标的影响情况
3.1 交叉分组资料（cross－over classification） 的方差分析
设试验考察A、B两个因素，A因素分a个水平，B因 素分b个水平 。 所谓交叉分组是指A因素每个水平与B因 素的每个水平都要搭配 ，两者交叉搭配形成ab个水平组 合即处理，试验因素A 、B在试验中处于平等地位 。如 果将试验单元分成 ab 个组，每组随机接受一种处理 ， 因而试验数据也按两因素两方向分组，这种试验数据资 料称为两向分组资料，也叫交叉分组资料。
度均差异极显著或显著。酸度最高的是B7， 最低的是B5和B2。从牛奶质量要求看，连 续10d的牛奶酸度均在鲜奶范围内。
在进行两个因素或多个因素的试验时，除 了要研究每一个因素对试验指标的影响外，往 往更希望知道因素之间的交互作用对试验指标 的影响情况。
通过研究环境温度、湿度、光照、气体成分 等环境条件对导致食品腐烂变质的酶和微生物 的活动的影响有无交互作用，对有效控制酶和 微生物活动，保持食品质量有着重要意义。
表5 两因素等重复观测值试验数据模式
两因素等重复试验数据模式（部分）
A因素
A1
x1jl
x1j. x1j.
A2
B1 x111 x112 x113 … x11n x11. x11. … … …
B因素
B2
…
x121 …
b
x i .
x ij ,
j1
x i .
1 b
b
x ij ,
j1
a
x . j
x ij ,
i1
x . j
1 a
a
x ij ,
i1
ab
x ..
x ij
i1 j1
ab
x..
xij / ab
i1 j1
A的第i水平b个观测值之和 A的第i水平b个观测值的平均数 B的第j水平a个观测值之和 B的第j水平a个观测值的平均数 ab个观测值的总和 ab个观测值的总平均数
3.1.2 交叉分组两因素等重复试验的方差分析 对两因素和多因素等重复试验结果进行
分析， 可以研究因素的简单效应、主效应 和因素间的交互作用（互作效应）。
三种效应
1．简单效应（simple effect） 是指在某一因素同一 个水平上，比较另一因素不同水平对试验指标的影响。
三种效应
2．主效应（main effect） 是指某一因素各水平间的平均 差别。它与简单效应的区别是，主效应指的是某一因素各水平 间的平均差别是综合了另一因素各水平与该因素每一水平所有 组合的情况。
3 多重比较
在两因素无重复观测值试验中，A因素每一
水平的重复数恰为B因素的水平数b，故A因素
的标准误为 标准误
Sxi. MSe /b；同理，B 因 素 的
Sx.j MSe / a
对例1分析，a=3，MSe=0.0258。故
Sx.j Me/a S0.02/3 50 8 .093
根据 dfe=18，秩次距 k=2，3 ，…，10，查 临界 q 值 ，计算最小显著极差LSR，见表3。
27.2509
S
SA

1 b
xi2.

C

1 10
(121.332
121.122
121.852
)

C
0.0283
SSB

1 a
x.2j
C

1 3
(35.102
32.262
38.272)

C
26.7591
SS e SS T SS A SS B 27 .2509 0.0283 26 .7591
j1
x..)2a 1jb1x.2j C
误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB
总自由度
dfT=ab-1
A因素自由度 dfA=a-1
B因素自由度 dfB=b-1
误差自由度 dfe= dfT - dfA – dfB
=(a-1)(b-1)
相应均方为
MS A SS A / df A , MS B SS B / df B , MS e SS e / df e
B2
10.81 10.7 10.75 32.26 10.75
表1 牛奶酸度测定结果
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
xi.
xi.
12.39 12.5 12.4 37.29 12.43
12.56 12.35 12.41 37.32 12.44
10.64 10.32 10.72 31.68 10.56
13.26 12.93 13.1 39.29 13.10
A因素的每个水平有b次重复，B因素的每个水平 有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因素及 随机误差的作用。因此全部 ab 个观测值的总变异 可以分解为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异 及试验误差三部分；自由度也相应分解。
离差平方和与自由度的分解如下：
SST SSASSBSSe dfT dfAdfBdfe
均值
13.58 13.10 12.76 12.68 12.44 12.43 11.70 11.44 10.75 10.56
5%显著水平
a b bc bc c c
d d e e
1%极显著水平
A AB BC BC
C C D D
E E
结果表明，除B2与B5，B1与B9，B4 与B3，B8与B3、B4，B10与B3、B4、B8 差异不显著外，其余不同测定日间牛奶酸
表3 q值与LSR值
dfe 秩次距k q0.05
2
2.97
3
3.61
4
4.00
5
4.28
18
6
4.49
7
4.67
8
4.82
9
4.96
10
5.07
q0.01
4.07 4.7 5.09 5.38 5.6 5.79 5.94 6.08 6.2
LSR0.05
0.28 0.34 0.37 0.40 0.42 0.43 0.45 0.46 0.47
【例1】某厂现有化验员3人，担任该厂牛奶酸度 （°T）的检验。每天从牛奶中抽样一次进行检验， 连续10天的检验分析结果见表6。试分析3名化验员 的化验技术有无差异，以及每天的原料牛奶酸度有 无差异（新鲜牛奶的酸度不超过20 °T ） 。
化验 员 A1 A2 A3 x.j x.j
B1
11.71 11.78 11.61 35.10 11.70
表2 资料的方差分析表
变异来源
SS
df
MS
F值 显著性
化验员间 0.0283 2 0.0142 0.550
日期间
26.7591 9 2.9732 115.240 **
误差
0.4635 18 0.0258
合计
2760
结果表明，3个化验员的化验技术没有显著 差异，不同日期牛奶的酸度有极显著差异。
13.58 3.02** 2.83 2.14 1.88 1.15 1.14 0.90 0.82 0.48
13.10 2.54 2.35 1.66 1.40 0.67 0.66 0.42 0.34
12.76 2.20 2.01 1.32 1.06 0.33 0.32 0.08
12.68 2.12 1.93 1.24 0.98 0.25 0.24
分无重复观测值和重复观测值两种类型。
3.1.1 两因素无重复试验资料的方差分析 对于A、B两个试验因素的全部ab个水平组合， 每个水平组合只有一个观测值（无重复）， 全试验共有ab个观测值，其数据模式如下表 所示。
表 两因素无重复观测值的试验数据模式
注：A因素有a个水平，B因素有b个水平，共计有ab个水 平组合，每一组合观测一次，有ab个观测值（表5），xij 为A的第i水平与B的第j水平组合观测值。
P2=4
P2-P1
N1=0
400
450
50
N1=6
430
560
130
N2-N1
30
110
可以看出
当施氮肥和不施氮肥时，施以4公斤磷肥后的增产数量是不同的 当施磷肥和不施磷肥时，施以6公斤氮肥后的增产数量是不同的 若N, P分别起作用时增产为50, 30kg。但同时施时其效果并不是 50+30=80kg，而是增产560-400=160kg，增加的80公斤则为交互作 用的效果。
三种效应
3. 互作效应（interaction effect） 如果某一因素的 各简单效应随另一因素的水平变化而变化，而且变化的幅度 超出随机波动的程度，则称两个因素间存在互作效应。
两因素等重复试验的方差分析
设A、B两因素，A因素有a个水平，B因素 有b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组 合有n次重复试验，则全试验共有abn个观测值。 试验结果的数据模式如表5所示。
LSR0.01
0.38 0.44 0.47 0.50 0.52 0.54 0.55 0.57 0.58
B因素各水平均值多重比较结果见表4
测定 日期
B7 B6 B10 B8 B4 B3 B1 B9 B2 B5
表4不同测定日牛奶酸度多重比较结果（q法）
x.j
x.j10.56
x.j10.7
5
11.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10
两个因素无重复观测值试验只适用于两个因素间无交互作用 的情况；
若两因素间有交互作用， 则每个水平组合中只设 一个试验 单位(观察单位)的试验设计是不正确的或不完善的。这是因为：