第2课时 分段函数及映射[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．[知识链接]1．函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．映射的概念映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．要点一 分段函数求值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，2x －1，x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－52)]的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4， f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.∵f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴f [f (－52)]＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32＝94－3＝－34. (2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2＞－2，不合题意，舍去．当－2＜a ＜2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值． 2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． 跟踪演练1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1，x <1，x －1，x >1，则f (2)等于( )A ．0 B.13 C ．1 D ．2答案 C 解析 f (2)＝2－1＝1.要点二 分段函数的图象及应用例2 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (－1≤x ≤1)，1 (x ＞1或x ＜－1)，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．跟踪演练2作出y＝错误!的图象，并求y的值域．解y＝错误!值域为y∈[－7,7]．图象如下图．要点三映射的概念例3以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪演练3 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N .A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④ 答案 D解析 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.1．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )答案 D解析 在A 、B 选项中，由于集合A 中的元素2在集合B 中没有对应的元素，故构不成映射，在C 选项中，集合A 中的元素1在集合B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D 符合映射的定义，故选D.2．函数y ＝|x |的图象是( )答案 B解析 ∵y ＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，∴B 选项正确．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15 B ．3 C.23 D.139 答案 D解析 ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139. 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x ＞0. 若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2 答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α＞0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2或－2(舍去)．5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤10010＋0.4x ，x >100解析 由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .1.对映射的定义，应注意以下几点：(1)集合A 和B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达． 2．理解分段函数应注意的问题：(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．一、基础达标 1．以下几个论断①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案 C解析 函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100 答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ，x ≥0， ∴f (－7)＝10.f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100. 3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0，画出f (x )的图象可知选C.4．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( ) A ．(1,3) B ．(1,6) C ．(2,4) D ．(2,6) 答案 A解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝4，x －y ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.5．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________. 答案 5解析 由f (2)＝3，可知2a －1＝3，∴a ＝2， ∴f (3)＝3a －1＝3×2－1＝5.6．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1(x ≥0)，2－x (－2≤x ＜0)的值域是________．答案 [1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4，∴f (x )≥1或2＜f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f [f (2)]的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， ∴f (2)＝22－4＝0， f [f (2)]＝f (0)＝02－4＝－4. (2)当0≤x 0≤2时， 由x 20－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4. 二、能力提升8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5，x ≥6，f (x ＋2)， x ＜6，则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)， f (5)＝f (5＋2)＝f (7)， ∴f (7)＝7－5＝2.故f (3)＝2.9．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f [f ⎝⎛⎭⎫13]等于( )A ．－13 B.13C ．－23 D.23答案 B解析 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，∴f ⎝⎛⎭⎫13＝13－1＝－23，∴f [f ⎝⎛⎭⎫13]＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝－23＋1＝13. 10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x ＞1， 则f ⎝⎛⎭⎫1f (2)的值是________．答案1516解析 f (2)＝22＋2－2＝4，∴1f (2)＝14，∴f ⎝⎛⎭⎫1f (2)＝f ⎝⎛⎭⎫14＝1－⎝⎛⎭⎫142＝1516. 11．已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域．解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)， 所以已知函数可写为分段函数形式： y ＝|x －1|＋|x ＋2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1 (x ≤－2)，3 (－2<x ≤1)，2x ＋1 (x >1).在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)． 三、探究与创新12．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．解由题意知，当0＜x≤5时，y＝1.2x，当5＜x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6.当6＜x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.所以y＝⎩⎪⎨⎪⎧1.2x，0＜x≤5，2.4x－6，5＜x≤6，4.8x－20.4，6＜x≤7.13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，由点B(起点)沿着折线BCDA，向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求y与x之间的函数解析式．解当0≤x≤4时，S△APB＝12×4x＝2x；当4＜x≤8时，S△APB＝12×4×4＝8；当8＜x≤12时，S△APB＝12×4×(12－x)＝24－2x.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(0≤x≤4)，8 (4＜x≤8)，24－2x(8＜x≤12).。