（2019，永州）如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD 上是否存在P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由； （2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD 上存在多少个P 点，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（4）若AB=m ，CD=n ，BD=l ，请问,,m n l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个P 点？两个P 点？三个P 点？（2019•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 1.5米 ．考点：相似三角形的应用． 分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC 可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解． 解答：解：∵DE∥BC， ABCDP()25第题图∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m． 故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．（2019，成都）如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 同侧，90A C ∠=∠=o ，BD BE ⊥，AD BC =.（1）求证：CE AD AC +=；（2）若3AD =，5CE =，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作DP PQ ⊥，交直线BE 与点Q ；i ）当点P 与A ，B 两点不重合时，求DPPQ的值； ii ）当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径（线段）长.（直接写出结果，不必写出解答过程）（1）证△ABD ≌△CEB →AB=CE ；（2）如图，过Q 作QH ⊥BC 于点H ，则△ADP ∽△HPQ ，△BHQ ∽△BCE ， ∴QH AP PH AD =， ECQHBC BH =；设AP=x ，QH=y ，则有53yBH = ∴BH=53y ，PH=53y+5x - ∴yxx y=-+5533，即0)53)(5(=--x y x 又∵P 不与A 、B 重合，∴ ,5≠x 即05≠-x ， ∴053=-x y 即x y 53=∴53==y x PQ DP (3)3342 （2019•广安）雅安芦山发生7.0级地震后，某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具，寄给灾区的小朋友．已知如图，是腰长为4的等腰直角三角形ABC ，要求剪出的半圆的直径在△ABC 的边上，且半圆的弧与△ABC 的其他两边相切，请作出所有不同方案的示意图，并求出相应半圆的半径（结果保留根号）．考点： 作图—应用与设计作图． 专题：作图题． 分析：分直径在直角边AC 、BC 上和在斜边AB 上三种情况分别求出半圆的半径，然后作出图形即可．解答： 解：根据勾股定理，斜边AB==4，①如图1、图2，直径在直角边BC 或AC 上时， ∵半圆的弧与△ABC 的其它两边相切， ∴=，解得r=4﹣4，②如图3，直径在斜边AB 上时，∵半圆的弧与△ABC 的其它两边相切， ∴=，解得r=2，作出图形如图所示：点评：本题考查了应用与设计作图，主要利用了直线与圆相切，相似三角形对应边成比例的性质，分别求出半圆的半径是解题的关键．（2019•眉山）如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的两点，且21==FC AF EB AE ，若△AEF 的面积为2，则四边形EBCF 的面积为_________（2019•眉山）在矩形ABCD 中，DC ＝32，CF ⊥BD 分别交BD 、AD 于点E 、F ，连接BF 。

⑴求证：△DEC ∽△FDC ；⑵当F 为AD 的中点时，求sin ∠FBD 的值及BC 的长度。

（2019•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心。

重心有很多美妙的性质，如在关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以F解决三角形中的若干问题。

请你利用重心的概念完成如下问题： （1）若O 是△ABC 的重心（如图1），连结AO 并延长交BC 于D ，证明：23AO AD =； （2）若AD 是△ABC 的一条中线（如图2），O 是AD 上一点，且满足23AO AD =，试判断O 是△ABC 的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O 是△ABC 的重心，过O 的一条直线分别与AB 、AC 相交于G 、H （均不与△ABC 的顶点重合）（如图3），S 四边形BCHG ．S △AGH 分别表示四边形BCHG 和△AGH 的面积，试探究BCHG AGHS S四边形的最大值。

2019•内江）如图，在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（ ）A ． 2：5B ． 2：3C ． 3：5D ． 3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S △DEF ：S △ABF =4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出 DE ：EC 的值，由AB=CD 即可得出结论．（图3）（图2）（图1）BD BD D B解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．（2019•内江）如图，在等边△ABC中，AB=3，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分记作图形L．（1）求△ABC的面积；（2）设AD=x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；（3）已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O的面积．考点：相似形综合题．分析：（1）作AH⊥BC于H，根据勾股定理就可以求出AH，由三角形的面积公式就可以求出其值；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，由三角形的面积公式就可以表示出y与x之间的函数关系式，如图2，当1.5＜x＜3时，重叠部分的面积为梯形DMNE的面积，由梯形的面积公式就可以求出其关系式；（3）如图4，根据（2）的结论可以求出y的最大值从而求出x的值，作FO⊥DE于O，连接MO，ME，求得∠DME=90°，就可以求出⊙O的直径，由圆的面积公式就可以求出其值．解答：解：（1）如图3，作AH⊥BC于H，∴∠AHB=90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3．∵∠AHB=90°，∴BH=BC=在Rt△ABC中，由勾股定理，得AH=．∴S△ABC==；（2）如图1，当0＜x≤1.5时，y=S△ADE．作AG⊥DE于G，∴∠AGD=90°，∠DAG=30°，∴DG=x，AG=x，∴y==x2，∵a=＞0，开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，∴x=1.5时，y最大=，如图2，当1.5＜x＜3时，作MG⊥DE于G，∵AD=x，∴BD=DM=3﹣x，∴DG=（3﹣x），MF=MN=2x﹣3，∴MG=（3﹣x），∴y=，=﹣；（3），如图4，∵y=﹣；∴y=﹣（x2﹣4x）﹣，y=﹣（x﹣2）2+，∵a=﹣＜0，开口向下，∴x=2时，y最大=，∵＞，∴y最大时，x=2，∴DE=2，BD=DM=1．作FO⊥DE于O，连接MO，ME．∴DO=OE=1，∴DM=DO．∵∠MDO=60°，∴△MDO是等边三角形，∴∠DMO=∠DOM=60°，MO=DO=1．∴MO=OE，∠MOE=120°，∴∠OME=30°，∴∠DME=90°，∴DE是直径，S⊙O=π×12=π．（2019•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．2：5考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．分析：先利用SAS证明△ADE≌△CFE（SAS），得出S△ADE=S△CFE，再由DE为中位线，判断△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，利用相似三角形的面积比等于相似比，得到S△AD E：S△ABC=1：4，则S△ADE：S四边形BCED=1：3，进而得出S△CEF：S四边形BCED=1：3．解答：解：∵DE为△ABC的中位线，∴AE=CE．在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴S△ADE=S△CFE．∵DE为△ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，且相似比为1：2，∴S△ADE：S△ABC=1：4，∵S△ADE+S四边形BCED=S△ABC，∴S△ADE：S四边形BCED=1：3，∴S△CEF：S四边形BCED=1：3．故选A．点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理．关键是利用中位线判断相似三角形及相似比．点评：本题考查了等边三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，勾股定理的运用，圆周角定理的运用，圆的面积公式的运用，等边三角形的性质的运用，二次函数的性质的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质是关键．（2019•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF= ..考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB=CD，继而可判定△BEF∽△DCF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：CD问题得解．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵AE：BE=4：3，∴BE：AB=3：7，∴BE：CD=3：7．∵AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴BF：DF=BE：CD=3：7，即2：DF=3：7，∴DF=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF，再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解．（2019宜宾）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）．考点：相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．分析：①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比，即可求得△ADE的面积，继而求得S△DEF=4．解答：解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG==，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，∴tan∠E=；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD==，∴S△ADF=DF•AG=×6×=3，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴=，∴S△AED=7，∴S△DEF=S△AED﹣S△ADF=4；故④正确．故答案为：①②④．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．（2019•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．（2019•自贡）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ；（2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形．分析：（1）先判断∠B1CQ=∠BCP1=45°，利用ASA即可证明△B1CQ≌△BCP1，从而得出结论．（2）作P1D⊥CA于D，在RtADP1中，求出P1D，在Rt△CDP1中求出CP1，继而可得出CQ的长度．（3）证明△AP1C∽△BEC，则有AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，得出S△P1BE关于x的表达式，利用配方法求最值即可．解答：（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°，∵在△B1CQ和△BCP1中，，数学试卷∴△B1CQ≌△BCP1（ASA），∴CQ=CP1；（2）作P1D⊥CA于D，∵∠A=30°，∴P1D=AP1=1，∵∠P1CD=45°，∴=sin45°=，∴CP1=P1D=，又∵CP1=CQ，∴CQ=；（3）∵∠P1BE=90°，∠ABC=60°，∴∠A=∠CBE=30°，∴AC=BC，由旋转的性质可得：∠ACP1=∠BCE，∴△AP1C∽△BEC，∴AP1：BE=AC：BC=：1，设AP1=x，则BE=x，在Rt△ABC中，∠A=30°，∴AB=2BC=2，∴S△P1BE=×x（2﹣x）=﹣x2+x=﹣（x ﹣1）2+，故当x=1时，S △P1BE（max ）=．点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题需要我们熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、勾股定理及配方法求二次函数的最值，有一定难度．（2019•沈阳）如图，ABC ∆中，AE 交BC 于点D ，C E ∠=∠，AD=4，BC=8，BD:DC=5：3，则DE 的长等于（ ）A ．203B ．154C ．163D ．174（2019•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ）A ． 1：4B ． 1：3C ． 2：3D ． 1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E 为OD 的中点，求出DF ：AB 的值，又知AB=DC ，即可得出DF ：FC 的值． 解答：解：在平行四边形ABCD 中，AB∥DC， 则△DFE∽△BAE， ∴=，∵O 为对角线的交点， ∴DO=BO，又∵E 为OD 的中点， ∴DE=DB ， 则DE ：EB=1：3， ∴DF：AB=1：3， ∵DC=AB， ∴DF：DC=1：3， ∴DF：FC=1：2． 故选D ．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值． （2019•黄石）如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点。