重庆市三峡名校联盟2020-2021学年高二上学期12月联考数学试题
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.。
1．已知集合{}{}
=2,1,0,1,2,=|21A B x R y x --∈=- ，则A B ⋂=（ ） A ．{}0,1 B ．{}0,1,2 C ．{}1,2 D ．{}1
2．斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（ ） A ．22y x =- B ．21y x =- C ．21y x =+ D ．22y x =+ 3．设0a b <<，则下列不等式中不．成立的是（ ） A ．
11a b a >- B ．11
a b
> C ．a b >- D ．a b ->- 4．在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则BE =（ ）
A ．3144A
B A
C - B ．1344AC AB - C ．3144AB AC +
D ．1344
AB AC +
5．函数()x x
e e
f x x
--=的图象大致是（ ）
6．若直线1:220l ax y +-=与直线()()2
2:110l x a y a +-++=平行，则a 的值为（ ）
A ．1a =-
B ．2a =
C ．21a a =-=或
D ．21a a ==-或
7．张衡（78年~139年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家。
他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五。
已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 31
-，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）
A ．9
B ．9.42
C 3
104
D ．310 8．设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆上一点，
()1212,13,2
PF PF F PF π
λλ=≤≤∠=
，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A ．2⎛
⎥⎝
⎦ B ．25⎡⎢⎢⎥⎣⎦
C ．210⎡⎢⎢⎥⎣⎦
D ．10⎡⎫⎪⎢⎪⎢⎣⎭
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
9．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//,m αβα⊂，则//m β B ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥ C ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥
D ．若//,//m n αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等
10．已知实数,x y 满足方程22410x y x +-+=，则下列说法正确的是（ ）
A ．y x -
的最大值为62- B ．22x y +的最大值为743+
C ．
y x 的最大值为3 D ．x y +的最大值为23+ 11．设12,F F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b b
a -=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一条渐
近线的垂线，垂足为P 。
若16PF OP =，则下列说法正确的是（ ）
A ．2F P b =
B ．双曲线的离心率为3
C ．点P 在直线3
x a =
上 D ．双曲线的渐近线方程为3y x =± 12．如图，直三棱柱111
,ABC ABC ABC -∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12,,AC AA E F ==分别是11
,AC AC 的中点，D,M 分别是11,AA BB 上的两个动点，则（ ） A ．FM 与BD 一定是异面直线
B ．三棱锥D MEF -的体积为定值14
C ．直线11
BC 与BD 所成角为2
π
D ．若D 为1AA 中点，则四棱锥1D BB F
E -的外接球体积为
55
π
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．为了了解某社区居民的2019年家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，收入x （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y （万元） 6.2 7.1 8.0 t 9.7 根据上表可得回归直线方程0.760.4y x =+，则t =___________________.
14．已知()4,0,cos 5
απα∈-=-，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
_________________.
15．在三棱锥P ABC -中，90,,,PA ABC BAC D E F ⊥∠=︒平面，分别是,,AB BC CP 的中点，2AB AC PA ===，则直线PA 与平面DEF 所成角为_______________弧度.
16．已知动点P 到定点()2,0F 的距离比到定直线3x =-的距离小1，则点P 的轨迹M 的标准方程为___________________；A 、B 、C 为该轨迹M 上的三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++=_________________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
F
E
M
D
C
B
A 1
C 1
B 1
A
17．(本小题满分10分)
已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a += （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足1122,b a b a ==，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .
18．(本小题满分12分)
设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .
已知13,cos 6
b c B ==-.
（1）求sin C 的值； （2）求ABC ∆的面积.
19．(本小题满分12分)
如图，四边形ABCD 为正方形，,2PD ABCD PD DC ⊥==平面点E,F 分别为AD,PC 的中点。
（1）证明：//DF PBE 平面
（2）求点F 到平面PBE 的距离。
20．(本小题满分12分)
一个圆过点()2,0F ，且和直线20x +=相切。
（1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）已知点()1,0B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点。
21．(本小题满分12分)
如图，四棱锥P ABCD -中，,PA ABCD ABCD ⊥底面底面是直角梯形
，90,//,,ADC AD BC AB AC AB AC ∠=︒⊥=E 在AD 上，且2AE ED =。
（1）已知点F 在BC 上，且2CF FB =，求证：平面PEF PAC ⊥平面；
（2）若直线PC 与平面PAB 所成的角为45︒，求二面角A PB E --的余弦值。
22．(本小题满分12分)
P A
B C D E F B
A C D P E
F
已知椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左焦点为()1,0F -，其四个顶点围成的四边形面积为
（1）求曲线E 的方程；
（2）过点F 的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，设AB 的中点为M ，C ，D 两点为曲线E 上关于原点O 对称的两点，且()0CO OM λλ=>，求四边形ACBD 面积的取值范围。