2019-2020学年广东省联考联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是( ) A ．x R ∀∈，22x x =B ．0x R ∃∉，202x x =C ．0x R ∃∈，202x x ≠ D ．0x R ∃∈，202x x =2．（5分）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒3．（5分）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为( )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7，4．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n5．（5分）正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为( )A B ．12aC D ．13a6．（5分）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-7．（5分）曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等8．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则(x y z ++=) A ．23B ．56C ．1D ．769．（5分）直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是( )A ．12(,)33-B ．1(3-，1)2C ．1(2，1)3-D ．2(3-，1)310．（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为( ) A 3B 2C 5D ．212．（5分）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是( ) A ．（1）（3）B ．（2）（4）C ．（2）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆2212516x y +=上的点P 到一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为 ．14．（5分）命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 15．（5分）圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为 ． 16．（5分）已知圆22:1O x y +=，点(2,2)P ，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形PACB 的面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 19．（12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值． 20．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD AC ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面CEF ；21．（12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90︒的角）的余弦值．22．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r，且22||||40HA HB +…成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年广东省联考联盟高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“x R ∀∈，22x x ≠”的否定是( ) A ．x R ∀∈，22x x =B ．0x R ∃∉，202x x =C ．0x R ∃∈，202x x ≠ D ．0x R ∃∈，202x x = 【解答】解：命题是全称命题，则否定的特称命题，即0x R ∃∈，202x x =， 故选：D ．2．（5分）若直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的倾斜角是( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：直线过点(2,4)，(1,4+，则此直线的斜率为tan k θ===又[0θ∈︒，180)︒， 所以倾斜角120θ=︒． 故选：C ．3．（5分）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为( )A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7，【解答】解：根据抛物线28y x =，知4p =根据抛物线的定义可知点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离， 得7p x =，把x 代入抛物线方程解得y =± 故选：C ．4．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A ．//m α，//n α，则//m nB ．m α⊂，//n α，则//m nC ．m α⊥，n α⊥，则//m nD ．//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【解答】解：A ，m ，n 也可能相交或异面；B ，m ，n 也可能异面；C ，同垂直与一个平面的两直线平行，正确；D ，m ，n 也可能异面．故选：C ．5．（5分）正方体的棱长为a ，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为( )A B ．12aC D ．13a【解答】解：如图，建立空间直角坐标系， Q 正方体的棱长为a ，(2a E ∴，2a ，)a ，(2a F ，2a ，0)，(2a M ，a ，)2a ，(0N ，2a ，)2a ，(2a P ，0，)2a ，(Q a ，2a ，)2a． 这个几何体是正八面体，棱长||PQ ==．∴． 故选：A ．6．（5分）已知直线1:(1)2l x m y m ++=-与2:24160l mx y ++=，若12//l l ，则实数m 的值为( ) A ．2或1-B ．1C ．1或2-D ．2-【解答】解：由2(1)40m m +-=，解得1m =或2-． 经过验证可得：2m =-时重合，舍去． 故选：B ．7．（5分）曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等【解答】解：曲线221169x y +=是解得在x 轴上的椭圆；它的焦距为：216927-=曲线221(916)169x y k k k+=<<--是焦点坐标在x 轴上的双曲线，它的焦距为：16(9)7k k -+-．所以曲线221169x y +=与曲线221(916)169x y k k k+=<<--的焦距相等．故选：C ．8．（5分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若1123AC xAB yBC zDD =-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则(x y z ++=) A ．23 B ．56 C ．1 D ．76【解答】解：在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若11123AC AB BC DD xAB yBC zDD =++=-+u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r ，则1x =，21y -=，31z =，则1x =，12y =-，13z =．1151236x y z ∴++=-+=． 故选：B ．9．（5分）直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截得的弦的中点坐标是( )A ．12(,)33-B ．1(3-，1)2C ．1(2，1)3-D ．2(3-，1)3【解答】解：将直线1y x =+代入椭圆2224x y +=中，得222(1)4x x ++=23420x x ∴+-= ∴弦的中点横坐标是142()233x =⨯-=-， 代入直线方程中，得13y =∴弦的中点是2(3-，1)3故选：D ．10．（5分）如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π【解答】解：根据题意，画图如下：则OA R =，O A r '==12hOO '==，故在Rt △OO A '中，2OA ===，2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球．故选：B ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为( )A BCD ．2【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由P 关于原点的对称点为Q ， 则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形，则1||||PF FQ =，1||||PF QF =，由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||||2PF PF a -=， 1||PF a ∴=，||OP b =，1||OF c =， 190OPF ∴∠=︒，在1QPF ∆中，||2PQ b =，1||3QF a =，1||PF a =， 222(2)(3)b a a ∴+=，整理得：222b a =，则双曲线的离心率c e a ==．故选：A ．12．（5分）一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）四边形；（3）五边形；（4）六边形，其中正确的结论是()A．（1）（3）B．（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心．三角形截面不过正方体的中心，故（1）不正确；过正方体的一对棱和中心可作一截面，截面形状为长方形，故（2）正确；正方体容器中盛有一半容积的水，任意转动这个正方体，则水面在容器中的形状不可能是五边形，故（3）不正确；过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形，故（4）正确．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知椭圆2212516x y+=上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．【解答】解：椭圆2212516x y+=的长轴长为10根据椭圆的定义，Q椭圆2212516x y+=上的点P到一个焦点的距离为3P∴到另一个焦点的距离为1037-=故答案为：714．（5分）命题“2240x ax --->不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是 22a -剟 ． 【解答】解：命题“2240x ax --->不成立”是真命题， 即：命题“2240x ax ---„成立为真命题”． 故：△24160a =-„， 解得：22a -剟． 故答案为：22a -剟．15．（5分）圆锥的侧面展开图为一个扇形，其圆心角为23π，半径为3，则此圆锥的体积为． 【解答】解：依题意，圆锥的母线长为3，底面圆的周长为2323ππ⨯=， 设底面圆的半径为r ，则22r ππ=，即1r =，∴圆锥的高h ==∴2113V π=⨯⨯⨯．．16．（5分）已知圆22:1O x y +=，点P ，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，记C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则四边形PACB 的面积为．【解答】解：根据题意，连接PO ，如图，P ，则||2PO ==，C 为圆O 上到点P 距离最远的点，则||||13PC PO =+=， 过点A 作AE OP ⊥，垂足为E ，Rt AOP ∆中，||1OA =，||2OP =，则||PA =则||||||||OA AP AE OP ⨯==，故1222ACP PACB S S AE PC ∆⎛⎫==⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭四边形，．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线．若q ⌝是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【解答】解：p ：式子2log ()(k a a -为常数）有意义，k a >，q ：方程221(13x y k k k+=+-为实数）表示双曲线， 则(1)(3)0k k +-<，即(k ∈-∞，1)(3-⋃，)+∞， 若q ⌝是p 的充分不必要条件，[1k ∈-，3]是{|}a k a >的真子集， 故1a -…．18．（12分）已知直线1:23l x y -=与直线2:4350l x y --=． （1）求直线1l 与2l 的交点坐标；（2）求经过直线1l 与2l 的交点，且与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程． 【解答】解：（1）联立23x y -=与直线2:4350l x y --=．解得2x =，1y =． ∴直线1l 与2l 的交点坐标(2,1)．（2）设与直线320x y -+=垂直的直线l 的方程为30x y m ++=， 把(2,1)代入解得：7m =-．∴要求的直线方程为：370x y +-=．19．（12分）已知关于x ，y 的方程22:420C x y x y m +--+=． （1）若方程C 表示圆，求实数m 的取值范围；（2）若圆C 与直线:240l x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值． 【解答】解：（1）由22:420C x y x y m +--+=，得22(2)(1)5x y m -+-=-， 若方程C 表示圆，则50m ->，即5m <；（2）圆C 的半径为5m -，圆心(2,1)到直线240x y +-=的距离55d ==， 又45||MN =， ∴222525()()(5)m +=-，解得4m =． 20．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90ABC PCD ∠=∠=︒，60BAC CAD ∠=∠=︒，设E 、F 分别为PD 、AD 的中点． （Ⅰ）求证：CD AC ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面CEF ；【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）PA ⊥Q 平面ABCD ，PA CD ∴⊥．90PCD ∠=︒Q ，PC CD ∴⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分） PA PC P =Q I ，CD ∴⊥平面PAC ，AC ⊂Q 平面PAC ，CD AC ∴⊥．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） （Ⅱ）由（Ⅰ）得90ACD ∠=︒．在直角三角形ACD 中，60CAD ∠=︒，CF AF =，60ACF ∴∠=︒，//CF AB ∴．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（6分） CF ⊂/Q 平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，//CF ∴平面PAB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（8分） E Q 、F 分别是PD 、AD 中点，//EF PA ∴，又EF ⊂/Q 平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，//EF ∴平面PAB ． CF EF F =Q I ，∴平面//CEF 平面PAB ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）PB ⊂Q 平面PAB ，//PB ∴平面CEF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）21．（12分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点．（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90︒的角）的余弦值．【解答】解：（1）以{AB u u u r ，AC u u u r，1}AA u u u r 为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -， 则由题意知(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(0C ，2，0)， 1(0A ，0，4)，(1D ，1，0)，1(0C ，2，4)，∴1(2A B =u u u r ，0，4)-，1(1C D =u u u u r，1-，4)-，1cos A B ∴<u u u r ，11111310||||2018A B C D C D A B C D >==u u u r u u u u ru u u u r g u u u r u u u u r g ，∴异面直线1A B 与1C D 310． （2）(0,2,0)AC =u u u r是平面1ABA 的一个法向量，设平面1ADC 的法向量为(,,)m x y z =r， Q (1,1,0)AD =u u u r ，1(0,2,4)AC =u u u u r∴10240m AD x y m AC y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g ，取1z =，得2y =-，2x =， ∴平面1ADC 的法向量为(2m =r，2-，1)， 设平面1ADC 与1ABA 所成二面角为θ， cos |cos AC θ∴=<u u u r ，2|||329n >==r，∴平面1ADC 与1ABA 所成二面角的余弦值为：23．22．（12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 与椭圆22:143x y Γ+=的右焦点重合，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程；（2）记抛物线C 的准线与x 轴的交点为H ，试问：是否存在λ，使得()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r，且22||||40HA HB +…成立？若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）依题意，椭圆22:143x y Γ+=中，24a =，23b =，得2221c a b =-=，则(1,0)F ，得14p=，即4p =，故抛物线C 的方程为24y x =．（2）设:1l x ty =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程241y x x ty ⎧=⎨=+⎩消去x ，得2440y y --=，∴121244y y ty y +=⎧⎨=-⎩①且112211x ty x ty =+⎧⎨=+⎩，又()AF FB R λλ=∈u u u r u u u r ，则1(1x -，12)(1y x λ-=-，2)y ，即12y y λ=-，代入①得222(1)44y t y λλ-=⎧⎨-=-⎩， 消去2y 得2142t λλ=+-，易得(1,0)H -，则2222221122||||(1)(1)HA HB x y x y +=+++++22221212122()2x x x x y y =++++++2222121212(1)(1)2(2)2ty ty ty ty y y =+++++++++2221212(1)()4()8t y y t y y =+++++22(1)(168)448t t t t =++++g42164016t t =++， 由4216401640t t ++=， 解得212t =或23t =-（舍)，将212t =代入2142t λλ=+-，解得2λ=．故存在实数2λ=满足题意．。