即在时域乘以因子
e
j0t
导致频谱产生平移。
⊙卷积特性
F[ x(t )] X ( j )
F[ x(t ) y(t )]
，F [
y( t )] Y ( j )
X ( j ) Y ( j )
证明： 令
z (t ) x(t ) y (t )

x( ) y (t )d
主瓣将变“矮”变胖，若
变成近似水平的带宽。
0，则主瓣
Aτ
π
-4π
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
-6π -4π
τ
τ
-2π
τ
0 2π
τ
4π
τ
6π
τ
2）将周期矩形脉冲的频谱
An
2A n A sa ( ) sa (n0 ) n T0 T0 2
A 与单个脉冲频谱 X ( j ) 2作比较： sa( )
dt
1 x(kt )e k 1 j X( ) k k

j
kt k
dkt
例子：求下图波形的频谱
用线性叠加定理简化 X1(f)
+
X2(f)
频谱分析的应用
频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是 信号分析中最常用的一种手段。
案例：在齿轮箱故障诊断 通过齿轮箱振动信号频谱分析， 确定最大频率分量，然后根据 机床转速和传动链，找出故障 齿轮。
j ( )
X ( j ) Re（ω）、Im(ω）分别为 的实部和虚部。 为幅值。 X ( j) . ( ) Re（ω） -ω为实频函数（实频曲线） Im(ω）-- ω为虚频函数（虚频曲线）
X ( j ) Re ( ) I m ( )
2 2
( ) arctg

T 2
T 2
x(t )e jn 0 t d t
0 d T0 , 时，有n0 求和运算变成积分运算
该式积分后将是频率的函数，且一般为复数
记为
X ( j ) lim
2π
0 0
0
X ( n0 ) lim X ( n0 )T
T
将 称之为随机过程 X（t ) 状态。
i
时刻的
X（t )在t t i
2、随机过程的分类 1）均值（数学期望） (t ) lim X (t ) E X t 随机变量的 集合特性，指集合的平均。 2）自相关函数 Rx (ti , ti )
N x i N 1 N k 1 k i i

[ x( )e


j
d ] [ y( t )e j ( t )d ( t )]


X ( j ) Y ( j )
⊙尺度变换证明
x(t ) X ( j )
F [ x(kt )] x(kt )e
jt
■从能量角度上看： 周期信号用功率谱表示； 时限信号用能量谱表示。 ■周期信号幅值谱纵坐标表示相应的谐波 分量的幅值； 时限信号幅值谱纵坐标表示幅值谱密度； ■周期信号采用傅立叶级数（FS）分析； 时限信号采用傅立叶积分分析。
2.4.5傅里叶变换的主要性质
⊙延时性：若
f (t )
证明：
F ( )
即
（3）乘积（抽样）特性 若函数 在 处连续，则有
（4）卷积特性 两个信号 与 卷积的定义： 即定义 为信号 与 的卷积，记 作 ，写成
对于时延单位脉冲
，有
3.
信号的频谱
单位脉冲信号的频谱为常数，说明信号 包含了 所有频率成分，且任一 频率的频谱密度函数相等。这种频谱为“均 匀频谱”，或“白色谱”。
随机过程 所有样本函数的集合,是依赖于时间t上的 一簇随机变量或以时间t作为参量的随机函数.
x1 (t ) x (t ) 用X (t ) 2 表示 x3 (t ) 或X(t) x k (t) (k 1, 2,3.....N)
很显然，信号在时域平移，相当于信号中各个频率成分产生 了相移，所以频谱中应反映出相移的大小。
例： sin[0 (t t0 ) ] sin(0t 0t0 ) 延迟时间t0导致产生相移ω0t0。
⊙频移性：若
f (t )
F ( )
j0t f ( t ) e F ( 0 ) 则：
x(t )
1 2Leabharlann x(t ) e jt dt e jt d
jt x(t ) 1 x ( j ) e d 2 有 jt x( j ) x(t ) e d
记为：X ( j ) x(t ) x (t ) F 1 X ( j)
F
x( j ) x( t ) e jt d


x( t )
1 2


x( j ) e jt d
X ( j ) 意义：1） 称为信号的傅立叶积分变换，为 x(t ) 的频谱密度函数。 x(t ) X ( j ) 2） 称为 的傅立叶积分逆变换 3） 构成一对傅立叶变换对。 x(t ) X ( j ) 4） 能被分解为连续的无限个频率为ω的， 并且有无限个小幅值的频率分量组成。 x(t )

2
2 当 n=1， 0 时，在周期脉冲的基波圆频率下， T0
2 A A1 sa ( ) T0
2 T0 AT0 2 2A X(j ) sa ( ) sa ( ) 2 T0 2 T0 T0
2 AT0 2 2 A1 sa( ) X( j ) 有： T0 T0 T0 T0
2.5.1 冲激函数及其谱分析
1. 冲激函数 定义1 （1）图中的矩形脉冲G(t)，宽为 ，高 为 ，其面积为1。保持脉冲面积不变，逐渐 减小 ，则脉冲幅度逐渐增大，当 时，矩形脉冲的极限称为单位冲激函数，记 为 ，即 函数，表达式为
表示只在 点有“冲激”；在 点 以外各处，函数值均为0，其冲激强度 （脉 冲面积）是1。一个强度为E倍单位值的函数. 用 来表示。
I m ( ) Re( )
称为 x(t) X ( j ) 的幅值谱密度函数 θ（ω）-- ω为x(t)相位谱密度函数
--ω为 X ( jx(t) ) 幅值谱密度曲线
讨论： ●瞬态量的频谱是连续的，它的形状为周期量的离 散谱的包络线是相似的，有一个主瓣和一些副瓣 组成。 1） 主瓣将变“高”变瘦；
(a)
(b)
（2）狄拉克（Diract）定义 狄拉克给出的冲激函数定义为
对于在任意点 示为
处出现的冲激，可表
2. 冲激函数的性质 （1）积分筛选特性 当单位冲激函数 与一个在 处连续且有 界的信号 相乘时，其积的积分只有在 处得到 ，其余各点之乘积及积分均为零， 从而有
类似地，对于
当连续时间函数 与单位冲激信号 或 者 相乘，并在 时间内积分，可得 到 在点 的函数值 或者点 的函数 值 ，即筛选出 或者 。 （2）冲激函数是偶函数
条件①是充分但不是必要条件； 条件②、③则是必要而不是充分条件。 因此对于许多不满足条件①，即不满足 绝对可积的函数，如周期函数，但满足 条件②、③的也能进行傅里叶变换。
3、时限信号的几点说明： X ( j ) 是一个复数，可写成
X ( j ) Re( ) jI m ( ) X ( j ) e
2、傅立叶变换存在的条件 不是所有的时限信号都可进行傅里叶变换， 时限信号是否存在傅里叶变换同样需要 满足下述狄里赫利条件： ①信号 绝对可积，即： x(t ) x(t ) dt x(t ) ②在任意有限区间内，信号 只有有限 个最大值和最小值； x(t ) ③在任意有限区间内，信号 仅有有限 个不连续点，而且在这些点的跃变都必 须是有限值。
案例：螺旋浆设计 可以通过频谱分析确定螺旋浆 的固有频率和临界转速，确定 螺旋浆转速工作范围。
工程信号及其可测性分析
在选择测量仪器时，测量仪器的工作频率范
围必须大于被测信号的频宽。
2.5典型激励信号描述
激励信号在测试信号的分析中起着重要的作用。 工程测试中常通过施加激励信号来求取系统的 冲激响应或阶跃响应等，以获得系统的动态特 性参数或传感器的灵敏度等。
Rx (ti , ti ) lim
N
1 N
x (t )x (t )
2.6 随机信号 2.6.1 随机信号的分类 1、几个基本概念
对随机信号在有限时间内的观测结果称之为样 本，所有可能样本的集合称之为总体。总体描述 了一个随机过程。比如：对每日气温的观测，地 球上温度的变化，只能以天为单位，或以年为单 位来进行分析。每天的观测构成一个样本函数。
x1 (t ), x2 (t ), x3 (t )

f (t t0 ) e jt0 F ()
jt
F[ f (t t0 )]

f (t t0 )e
dt


f (t t0 )e j (t t0 ) e jt0 d (t t0）
jt0 ＋ e

f (u )e ju du e jt0 F[ f (t )]
z( j ) z( t ) e jt dt

[ x( t ) y( t )e jt ]dt






x( )y( t )dte jt d

x( )[ y( t )e j ( t )d ( t )e j ] d
2.4.1 瞬态量的频谱
由周期量的幅值谱可知，相邻两条谱线间的 T0 2 圆频率间隔为 ，随着 T T的增大， 即周期量的周期愈长，则谱线间隔愈小，相 邻两谱线则愈靠近，愈密集。 当 T0 时，则有 0 离散谱线则变成了连续谱。 瞬态信号可以是周期 为无限大的量 T0 可见瞬态量的频谱是连续谱。