10.6费马原理 光学例题费马原理：光线在两点间的实际路径是使所需的传播时间为极值的路径。

在大部分情况下，此极值为极小值。

i i ixt t v ==∑∑i icn v =可得:i i n xt c=∑我们定义折射率与路径长的乘积为光程,用l 表示,l nx =,于是,费马原理又可表述为:光线在两点之间的实际路径,是使光程为极值的路径.例1、如图所示，湖中有一小岛A ，A 与直湖岸的距离为d ，湖岸边的一点B ，B 沿湖岸方向与A 点的距离为l ，一人自A 点出发,要到达B 点。

已知他在水中游泳的速度为v 1，在岸上走的速度为v 2，且v 1<v 2，要求他由A 至B 所用的时间最短，此人当如何先择其运动的路线?【解析】根据费马原理,若要人由A 到B 的时间最短,则所走路径应类似于光线所走路径. 这时的水和岸相当于介质,折射率分别为n 1、n 2.设最短时间为如图所示路径.则等效光线由水到岸满足下式:1221sin sin90v n Cv n ==o12sin v i v =这时的C 实际上为光线发生全反射的临界角. 所以,我们不难得到:当tan l d C >时,人所走的路径为如图所示的路径.即沿着和垂直于岸的方向成C 的角度游向岸边再在岸上走至B 点.当tan l d C ≤时,人由A 直接游到B 点.【点评】本题若从运动学角度分析,也可以作出解答,但比较麻烦.例1. 一曲率半径R=60cm 的凹面镜水平放置,使其凹面向上,并在其中装满水，水的折射率为43n =，假如装满水后水的的深度比半径R 小得多，试问平行光束成像于何处? 【解析】法一:直接用折射定律和反射定律来做,未装水时,平行光束经镜面反射后通过焦点F ′,它离开镜面顶点的距离为30cm,若装有水,当α、β为小角度,由图可知:l图16- 12tan sin a a f R αα=== tan sin afββ==,由折射定律: sin sin 2Rn fβα== 22.52Rf cm n== 法二:用逐次成像法,物体先经过平面折射成像:1110'n s s -= 再经球面反射成像:22112's s R+=- 由于是水很浅,所以:21's s =令1s →∞可得:2'2R s =- 再经平面折射:3310'ns s -= 32's s =3''22.52Rf s cm n==-=- d(b)(a)26．如图所示，在焦距f=0.15m 的凸透镜L 主轴上有一小光源S ，凸透镜L 另一侧有两个反射面相向放置的平面镜OM 1和OM 2．平面镜OM 1和OM 2彼此垂直，且与透镜L 主轴成450，两平面镜的交线与透镜主轴垂直．已知小光源中心到两平面镜的交线距离SO=O.9m ，透镜到两平面镜的交线距离O 1O=O.3m ，试求：(1)小光源S 在透镜主轴上共成多少个像? (2)小光源S 在透镜主轴外共成多少个像? 分别指出像的虚实、位置及放大率．由折射率为n=1.5的玻璃制成的对称的双凸透镜，在空气中焦距为30cm（1）把它放在平面镜上形成一个折、反射系统，该系统的焦距为多少？（2）在透镜和平面镜之间注满水，水的折射率为4/3，这个系统的折射率为多少？【解析】(1)由于平面镜成像的对称性,从S 发出的光线经透镜折射,再经平面镜反射,相当于从镜中对称的像点S ′发出,经镜中透镜像折折射出的,最后再经透镜的折射成像.因此,它相当于两个相同的透镜组成的密接透镜组,如图所示.该透镜组的焦距为:'152ff cm == (2)当在平面镜与透镜间加水后,相当于原透镜跟一个水透镜(平凹)密接,再经平面镜反射就相当于两个双凸透镜与一个双凹水透镜的密接.在空气中的透镜焦距可按下式求得:12111(1)()f n r r =--双凸透镜及水透镜的折射面曲率半径相同,但凸透镜和凹透镜半径的符号相反.设玻璃双凸透镜焦距为f 1,水双凹透镜的焦距为f 2 (均对周围介质为空气来说).则:122111f n fn -=-- 式中n 1、n 2分别为玻璃和水的折射率. 密接透镜组等效焦距为f,则有:1211111f f f f =++ 21111(2)1n f n -=-- 将n 1=1.5,n 2=43,f 1=30cm 代入得: f=22.5cm【答案】15cm ,22.5cm.【总结】此题要用到透镜的焦距公式,密接透镜的有关知识.此题非常困难,困难的原因就在于学生对这一块内容不熟悉,平时在这方面的练习不够.好象有点问题:中间的凹透镜的两个折射面的曲率均应为r 2?,答案题目把一个面的曲率看成是一个是r 1,另一个面的曲率看成是r 2,好象是值得研究了.研究的思路是:用四次平面折射来看看.例10、如图5所示，两个薄凸透镜12L L 、与一个平面镜及物屏共轴放在光具座上，每个凸透镜的两表面的曲率半径均为R ，12L L 、的焦距分别为12f f 、，它们之间的距离用d 表示，且1L 更靠近物屏。

物屏上开有一个箭形小孔，若左右移动物屏，同时改变d 的大小，发现在物屏上可以多次得到倒立的清晰像，且左右移动平面镜对像无影响。

问在物屏上能有几次得到这样的像，定量分析得到这些像的条件（在透镜面有部分光线发生反射，不考虑2次以上的反射成像）。

物屏上可以得到4个像。

1、凸透镜L 1的后有面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L 1的距离为u 1.11/1/1/1f R u =-得 )/(111f R Rf u +=此情况一定能通过移动物屏观察到像2、L 2前表面反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L 1的距离为u 212/1)/(1/1f R d u =++ )/()(112f R d f R d u -++=此情况出现的条件为 R f d ->13、L 2后表面反射达到自准直成像，光路如图，设对L 2成像时的物距为u ，物屏与L 1距离为u 3，则2/1/1/1f R u =- 311/1/()1/u d u f +-=联立二式 )/(/)/(2212213f R Rf f d f R Rf d f u +--+-= 此情况出现的条件为： )/()/(22221f R Rf d f R Rf f d +<+->或 4、由平面镜反射达到自准直成像，光路如图，设物屏到L 1的距离为u 4124/1)/(1/1f f d u =-+)/()(12124f f d f f d u ---= 出现此情况的条件为： 221f d f f d <+>或例15、在焦距为20.00cm 的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm 处有一小发光点S ，一个厚度可以忽略的光楔C （顶角a 很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于轴，与透镜的距离为2.00cm ，如图1-5-54所示，设光楔的折射率n=1.5，楔角a =0.028弧度。

在透镜另一侧离透镜中心46.25cm 处放一平面镜M ，其反射面向着透镜并垂直于主轴。

问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处（只讨论近轴光线，小角度近似适用。

在分析计算过程中应作出必要的光路图）？分析:这是一个光具成像问题，厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板，平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像，在这一过程中，我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算，就可得出最后结果。

解:共有五次成像过程。

（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角（出射光线与入射光C LM S 图1-5-541i 1i '2i 2i 'δa线方向的夹角）用δ表示，由图1-5-55可知11sin sin i n i '=，22sin sin i n i '=，α='+'21i i 对近轴光线，1i 很小，有11i n i '=； 因a 也很小，同样有22ni i =' 故有 )()(2211i i i i -'+'-=δ αα)1(21-=-'+=n i i 代入数值，得rad rad 014.0028.0)15.1(=⨯-=δ 因δ与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样角度δ。

又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角δ的薄平板，图1-5-56。

光点S 经光楔成一虚像点1S '。

对近轴光线，1S '在S 正上方，到S 的距离为h ，离光楔距离cm l 00.28=。

l n l h αδ)1(-== 代入数据，得cm h 39.0=（2）1S '为透镜L 的实物，像点2S '的位置可由下式求出f u 111=+υ 以u=30.00cm,f=20.00cm 代入，得cm 00.60=υ将1S S '视为与光轴垂直的小物，由透镜的放大率公式u M υ=1 可求得SS 图1-5-56图1-5-57cm h M h 78.012==' 即像点2S '在光轴下方与光轴的距离为0.78cm ，与透镜的中心距离为60.00cm 处，图1-5-57。

（3）2S '在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成像，像点3S '与2S '对称于平面镜（图1-5-57）cm d 75.13=cm h h 78.023='=' （4）3S '作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点2S ''，2S ''及3S '与L 的距离分别为和u '，则cm u 50.32='，cmf u u f 00.52)(=-'='υ2S ''在透镜左侧，主轴上方，图1-5-58。

cm h M h 25.1222='='' （5）第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折，再次成像，像点1S ''在2S ''正下方，离光楔距离为50cm ，离光轴的距离为（见图1-5-58）。

cm l h 70.0='=∆δcm h h h 55.02=∆-''=' 像点1S ''在光轴上的垂足与S 的距离为cm l l s 00.22=-'=∆即最后的像点在发光点S 左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm ，其在光轴上的垂足到S 的距离为22.00cm 。

图1-5-58。