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(2) 如果 0, x 0,
有
a xn1 n1 an xn
0 (n ),
级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n0
(3) 如果 , x 0, 级数 an xn 必发散.
x
1
x
n1
x
1
故级数的收敛域为
2020/6/12 { x | x 1,2, , x }
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3.8课前回顾
一、绝对收敛和条件收敛
二、常数项级数复习
1、掌握一些基本概念：级数,部分和,收敛,正项级数,交错级数 ,任意项级数，绝对收敛，条件收敛等
2、能用级数收敛的必要条件证明级数发散，掌握2个重要级 数：几何级数和p级数
规定 (1)幂级数只在 x 0 处收敛, R 0, 收敛域 x 0;
(2)幂级数对一切x 都收敛,
R , 收敛域 (,).
问题 如何求幂级数的收敛半径?
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定理2 如果幂级数 an xn 的所有系数 an 0 ,
设
lim an1 a n
n
(
n0
或 lim n n
an
)
lim
n
rn
(
x)
0
(x在收敛域上)
注：函数项级数在某点 x 的收敛问题,实质上是
常数项级数的收敛问题.
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二 函数项级数举例
例1 求1 x x2 x3 xn , x (1,1)
的和函数.
解
前n项部分和
sn( x)
1 (1 xn ) 1 x
s( x)
lim n
sn( x)
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定理1 阿贝尔（Abel）定理
如果级数 an xn 在 x x0( x0 0)处收敛,则 n0
它在满足不等式| x || x0 |的一切 x 处绝对收敛；
如果级数 an xn 在 x x0 处发散,则它在满足不 n0
等式| x || x0 |的一切 x 处发散.
证明
(1) an x0n 收敛,
函数项级数.
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
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2.收敛点与收敛域
(1)如果x0
I
,常数项级数 un ( x0 )
n1
收敛,则称
x0
为级数 un( x) 的收敛点,否则称为发散的所有收敛点的全体称
n1
为收敛域,所有发散点的全体称为发散域.
1.定义1 形如 an ( x x0 )n的级数称为幂级数.
n0
当 x0 0 时, an xn , 其中 an为幂级数系数.
n0
2.收敛性:
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
当 x 1时,收敛；当 x 1 时,发散.
收敛域 (1,1); 发散域(,1] [1,).
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n0
lim
n
an
x0n
0,
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M , 使得an x0n M(n 0,1,2, )
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
n
当
x x0
1时,等比级数 M
n0
x x0
收敛,
an xn
收敛,即级数
an xn 收敛.
n0
n0
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(1)则当 0 时,R 1 ; (2)则当 0 时,R ;
(3)则当 时, R 0.
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
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(1) 如果 lim an1 ( 0) 存在
a n n
由比值审敛法, 当 | x | 1
时,级数 | an xn | 收敛,
n0
从而级数 an xn 绝对收敛.
n0
当 | x | 1
时,级数 | an xn | 发散,
n0
并且从某个n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
从而级数 an xn
n0
发散, 收敛半径 R 1 .
3、能根据具体题目灵活运用比较审敛法和比值（根值）审敛 法判断正项级数的敛散性
4、会用莱布尼茨定理判断交错级数的敛散性
三、函数项级数
函数项级数，收敛点，收敛域，发散点，发散域，和函数
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第三节 幂 级 数
一 幂级数及其收敛性 二 幂级数的运算及其性质
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一 幂级数及其收敛性
1 xn
lim n
1
x
1 1
x
x (1,1)
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例2
求
(
1
n1 x n
1) xn1
的收敛域.
解
un( x)
1 xn
1 xn1
(n 1,2,
)
的定义域为 x 1,2, ,
sn ( x)
n k 1
(
x
1
k
x
1 k
) 1
1 x 1
x
1 n
1
1
1
1
lim
n
sn( x)
lim
n
第二节 函数项级数
一 函数项级数的概念 二 函数项级数举例
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一 函数项级数的概念
1.定义 设 u1( x),u2( x), , un( x), 是定义 在 I R 上的函数,则由其构成的表达式
un( x) u1( x) u2( x) un( x)
n1
称为定义在区间 I 上的函数项无穷级数,简称
的正数 R存在,使得
当 | x | R 时,幂级数绝对收敛；
当| x | R 时,幂级数发散；
当 x R 与 x R时,幂级数可能收敛也可
能发散；
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定义2 正数R称为幂级数的收敛半径.开区间 (-R,R)称为幂级数的收敛区间.
从而决定了收敛域为以下四个区间之一:
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
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3.和函数(Sum function)
(1)在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数s( x), 称 s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x)
（2）函数项级数的部分和 sn( x),
lim
n
sn (
x)
s( x)
（3）余项 rn( x) s( x) sn( x)
(2) 假设当 x x0时发散, 而有一点 x1适合
使级数收敛.
| x1 || x0 |
由(1)结论,则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾. 几何意义
收敛区域
发散区域 R
•
•
•
R 发散区域 x
o
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推论 如果幂级数 an xn 不是仅在 x 0一点收敛,
n0
也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定