n n0
1 | an | 1 | an |
n n
存在或为 , 则收敛半径为 R lim
n n
性质
定理4
设幂级数 a n x 与 bn x 的收敛半径分别为
n n n0 n0
R1与R2 , 令R min R1 , R2 , 则在它们的公共收 敛区间( R, R )上, 有 : (1) 级数 a n x n bn x n 收敛, 并且
k 1 n
若 un ( x0 ) 收 敛, 则 称 x0 为 函 数 项 级 数 un ( x ) 的
n 1 n 1


收敛点，收敛点的全体称为收敛域。类似地 有发散点和发散域的定义。
对于任一 x 收敛域 B, un ( x ) 收 敛,因 而 有 一 个
n 1
确定的和 S( x) , 称 为 和 函 数 ， 和函数的定义域就 是级数的收敛域 B.
定义1
定理 2 中的正数 R 称为幂级数 a n x 的收敛半径,
n n0

对应的开区间( R, R ) 称为它的收敛区间.
幂级数的收敛域可能包含端点（而收敛区间只能 是开区间）：
x 0 处收敛时， 规定： (1) 当幂级数只在
{0}； R 0, 收敛域为
(2) 当幂级数对一切实数都 收敛时，
( 3) S ( x )在收敛区间( R, R )内可积, 并且可以逐项 积分, 即x ( R, R ), 有
S t dt
x 0
x 0
n ant dt n0
x n
an a n t dt x n 1 0 n0 n0 n 1 积分后所得幂级数与原 幂级数有相同的 收敛半径.
若级数 un 在D上处处收敛, 则称Rn S S n
n 1 k n 1
u

k
为该级数的余项, 并且
lim Rn ( x ) 0( x D ).
n
幂 级 数
定义:
形如 an x a0 a1 x a2 x an x
n 2 n n0
例 2
( 1) x 求 ( )n 收 敛 域 n 2x 1 n 1 1 x 1或x 3
n
例 3
求下列幂级数的收敛半径、收敛区间与
收敛域:
( x 1) (1) n n 1
n
xn ( 2) 1 1 1 n 1 1 2 3 n
函数项级数
函数项级数的处处收敛性
设un ( x )是定义在集合 D R上的一列函数 ( 称为函 数列), 将它的各项依次用加号 联结起来所得到的 表达式 : u1 u2 un 或
u
n 1

n
称为集合D上的函数项级数, un 称为它的通项. 前 n 项之和S n uk 称为它的部分和.
几何说明

绝对收敛区域

发散区域 R
O


R

发散区域
x
幂级数收敛区间关于原点对称！
定理2 幂级数 a n x n的收敛性仅有三种可能 :
n0
(1) 对于任何x R它都收敛, 并且绝对收敛 ; ( 2) 仅在x 0点收敛; ( 3) 存在一个正数 R,当 | x | R时绝对收敛,当 | x | R 时发散.

逐项求导或积分后所得到幂级数收敛半径不变。 但在收敛区间端点处的敛散性可能改变。
例 1 设 an ( x 2)n 在x 3处条件收 敛，
n 1

试求其收 敛区间。 若 an ( x 1)n 在x 3处 收 敛 ， 在 x 1
n 1
处 发 散 ， 则 其 收 敛 区为 间多 少 ？
R , 收敛区间为 (, )；
定理3
an 设有幂级数 a n x , 若a n 0, 并且 lim n a n0 n 1
n
an 存在或为 , 则收敛半径为 R lim n a n 1
定理3
设有幂级数 a n x , 若a n 0, 并且 lim

或者 an ( x x0 )n a0 a1 ( x x0 )
n0
a 2 ( x x0 ) 2 a n ( x x0 ) n 的函数项级数称为 幂级数.
定理1(Abel定理)
对于幂级数 a n x n , 下列命题成立:
n0
(1) 若它在点x 0 0处收敛, 则当 | x || x 0 | 时, 该级 数绝对收敛; ( 2) 若它在点x 0 处发散, 则当 | x || x 0 | 时, 该级数 发散.
定理5(内闭一致收敛性)
设幂级数 a n x 的收敛半径为 R,0 R ,
n n0

则它在其收敛区间 ( R, R )内的任何闭子区间 [a , b]上都是一致收敛的 .
定理6
设幂级数 a n x 的和函数S ( x ), 收敛半径为R,
n n0

则下列命题成立: (1) S ( x )在收敛区间 ( R, R )内是连续的, 即 S ( x ) C ( R, R ); ( 2) S ( x )在收敛区间 ( R, R )内有连续的导 数 , 并且可以逐项求导 , 即x ( R, R ), 有 n n 1 S ( x) an x na n x n 1 n0 求导后所得幂级数与原 幂级数有相同的收敛半 径;
n0 n0
a n x bn x ( a n bn ) x
n n n0 n0 n0



n
(其中 , R )
( 2) 它们的乘积级数收敛 , 并且
n n n an x bn x cn x n0 n 0 n0 其中c n a 0 bn a1 bn 1 a n b0