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吉林省舒兰市第一中学等差数列基础测试题题库doc

一、等差数列选择题1.《周碑算经》有一题这样叙述:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸,则后五个节气日影长之和为( )(注:一丈=十尺,一尺=十寸) A .一丈七尺五寸 B .一丈八尺五寸 C .二丈一尺五寸D .二丈二尺五寸2.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,3518a S +=,633a a =+,则n a =( ) A .1n - B .n C .21n - D .2n 3.在等差数列{a n }中,a 3+a 7=4,则必有( )A .a 5=4B .a 6=4C .a 5=2D .a 6=24.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且110a =,56S S ≥,下列四个命题:①公差d 的最大值为2-;②70S <;③记n S 的最大值为M ,则M 的最大值为30;④20192020a a >.其真命题的个数是( ) A .4个B .3个C .2个D .1个5.设a ,0b ≠,数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+,*n N ∈,则存在数列{}n b 和{}n c 使得( )A .n n n a b c =+,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B .n n n a b c =+,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列C .·n n n a b c =,其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D .·n n n a b c =,其中{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列 6.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列,且1109a a a +=,则12910a a a a ++⋅⋅⋅+=( ) A .278B .52C .3D .47.已知等差数列{}n a 中,前n 项和215n S n n =-,则使n S 有最小值的n 是( )A .7B .8C .7或8D .98.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若936S S =,则612SS =( ) A .177B .83 C .143D .1039.已知数列{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S ,若454a a +=,则8S =( )A .16B .-16C .4D .-410.设n S 是等差数列{}n a (*n N ∈)的前n 项和,且141,16a S ==,则7a =( ) A .7B .10C .13D .1611.已知数列{}n a 中,11a =,22a =,对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,则10a 等于( ) A .10BC .64D .412.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第2天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织5尺布,现一月(按30天计)共织390尺”,则从第2天起每天比前一天多织( ) A .12尺布 B .518尺布 C .1631尺布 D .1629尺布 13.已知等差数列{}n a 中,161,11a a ==,则数列{}n a 的公差为( ) A .53B .2C .8D .1314.已知{}n a 是公差为2的等差数列,前5项和525S =,若215m a =,则m =( ) A .4B .6C .7D .815.设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ,已知10100S =,则47a a +=( ) A .12B .20C .40D .10016.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{} n a ,则5a =( ) A .103B .107C .109D .10517.已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,则*n N ∈时,使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是( ) A .19B .20C .21D .2218.等差数列{}n a 中,若26a =,43a =,则5a =( ) A .32B .92C .2D .919.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()11213n n n n S S a n +++=+-+,现有如下说法:①541a a =;②222121n n a a n ++=-;③401220S =. 则正确的个数为( )A .0B .1C .2D .320.已知数列{}n a 中,132a =,且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈,若对于任意*n N ∈,都有n a nλ≥成立,则实数λ的最小值是( ) A .2B .4C .8D .16二、多选题21.已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和,且S 5>S 6>S 4,以下有四个命题,其中正确的有( )A .数列{}n a 的公差d <0B .数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C .S 10>0D .S 11>022.已知数列{}n a 满足:12a =,当2n ≥时,)212n a =-,则关于数列{}n a 的说法正确的是 ( )A .27a =B .数列{}n a 为递增数列C .221n a n n =+-D .数列{}n a 为周期数列23.题目文件丢失!24.题目文件丢失! 25.题目文件丢失!26.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,则下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则50a >,60a <;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15;C .若150S >,160S <,则{}n S 中7S 最大;D .若89S S <,则78S S <.27.已知数列{}n a :1,1,2,3,5,…其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是( ) A .68S a = B .733S =C .135********a a a a a ++++= D .2222123202020202021a a a a a a ++++=28.已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,67S S <,且78S S >,则( ) A .在数列{}n a 中,1a 最大 B .在数列{}n a 中,3a 或4a 最大C .310S S =D .当8n ≥时,0n a <29.首项为正数,公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,现有下列4个命题中正确的有( )A .若100S =,则280S S +=;B .若412S S =,则使0n S >的最大的n 为15C .若150S >,160S <,则{}n S 中8S 最大D .若78S S <,则89S S <30.公差为d 的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,110S >,120S <,下列说法正确的有( ) A .0d <B .70a >C .{}n S 中5S 最大D .49a a <【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、等差数列选择题 1.D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和,已知条件为985.5S =,14731.5a a a ++=,由等差数列性质即得5a ,4a ,由此可解得d ,再由等差数列性质求得后5项和. 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列,设为{}n a ,n S 是其前n 项和, 则()19959985.52a a S a +===(尺),所以59.5a =(尺),由题知1474331.5a a a a ++==(尺),所以410.5a =(尺),所以公差541d a a =-=-, 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=(尺). 故选:D . 2.B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组,求解出首项和公差,则等差数列{}n a 的通项公式可求.【详解】因为3518a S +=,633a a =+,所以11161218523a d a d a d +=⎧⎨+=++⎩, 所以111a d =⎧⎨=⎩,所以()111n a n n =+-⨯=, 故选:B. 3.C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7=2a 5=4,所以a 5=2. 故选:C 4.B 【分析】设公差为d ,利用等差数列的前n 项和公式,56S S ≥,得2d ≤-,由前n 项和公式,得728S ≤,同时可得n S 的最大值,2d =-,5n =或6n =时取得,结合递减数列判断D . 【详解】设公差为d ,由已知110a =,56S S ≥,得5101061015d d ⨯+≥⨯+,所以2d ≤-,A 正确;所以7710217022128S d =⨯+≤-⨯=,B 错误;1(1)10(1)0n a a n d n d =+-=+-≥,解得101n d≤-+,11100n a a nd nd +=+=+≤,解得10n d≥-, 所以10101n d d-≤≤-+,当2d =-时,56n ≤≤, 当5n =时,有最大值,此时51010(2)30M =⨯+⨯-=,当6n =时,有最大值,此时61015(2)30M =⨯+⨯-=,C 正确. 又该数列为递减数列,所以20192020a a >,D 正确. 故选:B . 【点睛】关键点点睛:本题考查等差数列的前n 项和,掌握等差数列的前n 和公式与性质是解题关键.等差数列前n 项和n S 的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由10n n a a +≥⎧⎨≤⎩求得.5.D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式,再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征,逐项判断,即可得出正确选项. 【详解】 解:(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+,∴当1n =时,有110S a a ==≠;当2n ≥时,有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅, 又当1n =时,01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式,1()2n n a a bn b -∴=-+⋅,令n b a b bn =+-,12n n c -=,则数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列,故n n n a b c =,其中数列{}n b 为等差数列,{}n c 为等比数列;故C 错,D 正确;因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅,0b ≠,所以{}12n bn -⋅即不是等差数列,也不是等比数列,故AB 错. 故选:D. 【点睛】 方法点睛:由数列前n 项和求通项公式时,一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解,考查学生的计算能力. 6.A 【分析】根据数列{}n a 是等差数列,且1109a a a +=,求出首项和公差的关系,代入式子求解. 【详解】因为1109a a a +=, 所以11298a d a d +=+, 即1a d =-, 所以()11295101019927278849a a a a a d a a d d a d ++⋅⋅⋅+====++.故选:A 7.C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数,结合二次函数的图象与性质可以求解.【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭,∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点.又抛物线开口向上,以152x =为对称轴,且1515|7822-=-|, 所以当7,8n =时,n S 有最小值. 故选:C 8.D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列,结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ,∴3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, 所以()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =.又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,∴31210S S =,从而126103S S =. 故选:D 【点睛】 思路点睛:(1)利用等差数列前n 项和性质得3S ,63S S -,96S S -,129S S -构成等差数列, (2)()()633962S S S S S ⋅-=+-,且936S S =,化简解得633S S =, (3)()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-,化简解得31210S S =. 9.A 【详解】 由()()18458884816222a a a a S +⨯+⨯⨯====.故选A.10.C 【分析】由题建立关系求出公差,即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,141,16a S ==,41464616S a d d ∴=+=+=,2d ∴=,71613a a d ∴=+=.故选:C 11.D 【分析】利用等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,根据11a =,22a =可求得数列{}3n a 的公差,可求得310a 的值,进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+,由等差中项法可知,数列{}3n a 为等差数列,由于11a =,22a =,则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=,所以,33101919764a a d =+=+⨯=,因此,104a .故选:D. 12.D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,根据15a =,30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布,前()N n n *∈天工织布n S 尺,则数列{}n a 为等差数列,设其公差为d ,由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=,解得1629d =.故选:D. 13.B 【分析】设公差为d ,则615a a d =+,即可求出公差d 的值. 【详解】设公差为d ,则615a a d =+,即1115d =+,解得:2d =, 所以数列{}n a 的公差为2, 故选:B 14.A 【分析】由525S =求出1a ,从而可求出数列的通项公式,进而可求出m 的值 【详解】 解:由题意得15452252a ⨯+⨯=,解得11a =,所以1(1)12(1)21n a a n d n n =+-=+-=-, 因为215m a =,所以22115m ⋅-=,解得4m =, 故选:A 15.B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+,再由1011045100S a d =+=,从而可得结果. 【详解】 解:1011045100S a d =+=,12920a d ∴+=, 4712920a a a d ∴+=+=.故选:B. 16.B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2,即可写出通项,求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2,21+2n a n ∴=, 5215+2107a ∴=⨯=.故选:B. 17.B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,再由等差数列的通项公式可得1n n a ,进而可得1n a n=,再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ,所以12211n n n a a a ++=+, 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,设其公差为d ,由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅,所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩,解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩,所以()1111n n d n a a =+-=,所以1n a n=,所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立,又10020n n +≥=,当且仅当10n =时,等号成立, 所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 18.A 【分析】由2a 和4a 求出公差d ,再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】设公差为d ,则423634222a a d --===--, 所以5433322a a d =+=-=. 故选:A 19.D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-,再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-,22165k k a a k -=+-,然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+,所以()11132n n n a a n ++=-+-,所以()212621k k a a k +=-+-,()221652k k a a k -=+-, 联立得:()212133k k a a +-+=, 所以()232134k k a a +++=, 故2321k k a a +-=,从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=,22162k k a a k ++=-,222161k k a a k ++=++,则222121k k a a k ++=-,故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++,()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++,()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220,故①②③正确. 故选:D 20.A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+,由等差数列的定义得出22n n n a +=,从而得出()22nn n λ+≥,求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值,即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时,11122n n n a a -=+,所以11221n n n n a a --=+,而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列,故22nn a n =+,从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立,即()22nn n λ+≥恒成立,所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,所以2λ≥,即实数λ的最小值是2 故选:A二、多选题21.AC 【分析】由564S S S >>,可得650,0a a ,且650a a +>,然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解:因为564S S S >>,所以650,0a a ,且650a a +>,所以数列的公差0d <,且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5,所以A 正确,B 错误,所以110105610()5()02a a S a a +==+>,11111611()1102a a S a +==<, 所以C 正确,D 错误, 故选:AC 22.ABC 【分析】由)212n a =-1=,再利用等差数列的定义求得n a ,然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时,由)212n a =-,得)221n a +=,1=,又12a =,所以是以2为首项,以1为公差的等差数列,2(1)11n n =+-⨯=+,即221n a n n =+-,故C 正确;所以27a =,故A 正确;()212n a n =+-,所以{}n a 为递增数列,故正确;数列{}n a 不具有周期性,故D 错误; 故选:ABC23.无 24.无 25.无26.ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质,逐一检验选项,即可得答案. 【详解】对于A :因为正数,公差不为0,且100S =,所以公差0d <, 所以1101010()02a a S +==,即1100a a +=, 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=,又0d <,所以50a >,60a <,故A 正确; 对于B :因为412S S =,则1240S S -=,所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=,又10a >, 所以890,0a a ><, 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>,116891616()16()022a a a a S ++===, 所以使0n S >的最大的n 为15,故B 正确; 对于C :因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>,则80a >, 116891616()16()022a a a a S ++===,则890a a +=,即90a <,所以则{}n S 中8S 最大,故C 错误;对于D :因为89S S <,则9980S a S =->,又10a >, 所以8870a S S =->,即87S S >,故D 正确, 故选:ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负,再根据等差数列的性质,对求和公式进行变形,求得项的正负,再分析和判断,考查等差数列性质的灵活应用,属中档题. 27.BCD 【分析】根据题意写出8a ,6S ,7S ,从而判断A ,B 的正误;写出递推关系,对递推关系进行适当的变形,利用累加法即可判断C ,D 的正误. 【详解】对A ,821a =,620S =,故A 不正确; 对B ,761333S S =+=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,…,202120222020a a a =-,可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故C 正确;对D ,该数列总有21n n n a a a ++=+,2121a a a =,则()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,…,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-, 22019a =2019202020192018a a a a -,220202020202120202019a a a a a =-, 故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=,故D 正确.故选:BCD 【点睛】关键点睛:解答本题的关键是对CD 的判断,即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进28.AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >,80a <,即可求公差0d <,然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <,所以7670S S a -=> , 因为78S S >,所以8780S S a -=<, 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<, 所以{}n a 是递减数列,故1a 最大,选项A 正确;选项B 不正确;10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>,所以310S S ≠,故选项C 不正确;当8n ≥时,80n a a ≤<,即0n a <,故选项D 正确; 故选:AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ,属于基础题. 29.BC 【分析】根据等差数列的性质,以及等差数列的求和公式,逐项判断,即可得答案. 【详解】A 选项,若1011091002S a d ⨯=+=,则1290a d +=, 那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确; B 选项,若412S S =,则()5611128940a a a a a a ++++=+=,又因为10a >,所以前8项为正,从第9项开始为负, 因为()()116168916802a a S a a +==+=, 所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确; C 选项,若()115158151502a a S a +==>,()()116168916802a a S a a +==+<, 则80a >,90a <,则{}n S 中8S 最大.故C 正确;D 选项,若78S S <,则80a >,而989S S a -=,不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选:BC .本题考查等差数列性质的应用,涉及等差数列的求和公式,属于常考题型. 30.AD 【分析】先根据题意得1110a a +>,1120a a +<,再结合等差数列的性质得60a >,70a <,0d <,{}n S 中6S 最大,49a a <-,即:49a a <.进而得答案.【详解】解:根据等差数列前n 项和公式得:()111111102a a S +=>,()112121202a a S +=< 所以1110a a +>,1120a a +<, 由于11162a a a +=,11267a a a a +=+, 所以60a >,760a a <-<, 所以0d <,{}n S 中6S 最大, 由于11267490a a a a a a +=+=+<, 所以49a a <-,即:49a a <. 故AD 正确,BC 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式与等差数列的性质,是中档题.。

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