§4.1磁场力
• 电荷在磁场中的受力－洛伦兹力 • 电流在磁场中受力
电荷受磁场力-洛伦兹力
磁感应强度的定义
• 在磁场中某点处，有一运动的试探电荷,其受磁 场力称为洛伦兹力，满足如下关系：
v v v F = qv × B
• 式中的矢量Ｂ定义为该点的磁感应强度，
– 磁感应强度是磁场的属性，不随测试电荷变化。可 以采用磁感应线描绘磁场。 – 在该点，小磁针Ｎ极指向Ｂ的方向。 – 当电荷速度与Ｂ平行或反平行，Ｆ为０ – Ｆ的方向垂直ｖ和Ｂ决定的平面, 并符合右手定则，大小为 F = qvB sin θ – B单位是特斯拉 (特)(1T=1N/(A.m))； – 此外还有高斯单位制也常用到(高斯，G ： 1T=104G)
v dB
体电流的磁场：
v μ0 B= 4π v ˆ j ×r dτ 2 ∫∫∫ r V
例：稳恒均匀直线电流的磁场
如图示，采用柱坐标系
在P点，任意电流元产生的磁场方向相同
v μ 0 Idz μ 0 Idz ˆ ˆ ˆ dB = k×r = Sin θ ⋅ ϕ 2 2 4π r 4π r
z
A2
θ2
Idz
P v
线电流的磁场： v
v μ0 B= 4π ˆ Idl × r 2 ∫ r L
Idl
v dS jσ
v r
v dB
v μ0 B= 4π
面电流的磁场： v
∫∫
S
ˆ jσ × r dS 2 r
体电流微元的磁场： v v dτ j v μ0 j × r ˆ dB = dτ 2 4π r (dτ是体积元)
v r
• * 一般的，小线圈远处任意位置的磁场：
v v v v v μ0 M 3( M ⋅ r ) r (− 3 + ) B= 5 4π r r 徐游《电磁学》科学出版社，2004 (第二版)P.220 贾起民《电磁学》上册,复旦大学出版社,1987,P.389
小线圈的受力
• 在均匀磁场中，线圈受合力为零。 • 在非均匀场中，受合力不为零。
第四章 稳恒磁场、电磁感应
磁学的发展
• 最初：有两种磁荷，形成了磁棒两极。
– 库仑：磁荷作用定律 – 历史证明磁荷是不存在的，只可以作为一种产生的。
– 安培：电流元间的磁相互作用力的定律 – 将磁现象的起源归于电流。
• 现在：磁现象的本质是磁场。
– 麦克斯维：电磁场理论 运动电荷 电磁场 运动电荷
v B
N S
I
＋ｑm －ｑm
• 载流小线圈的磁场和它在外磁场中的受 力和力矩，都可用线圈的磁矩来表征。
小线圈的磁场
• 圆线圈轴线上的磁场：
v B=
μ 0 IR 2
2( R 2 + r 2 )
3 2
ˆ ⋅k
r >> R
v v μ 0 IR ˆ = μ0M ⋅ B= k 2r 3 2π r 3
2
– r为圆心到轴线线上一点的距离 – 在远处，小线圈的磁场随r的3次方减小；和电偶极 子的电场的变化规律类似
§4.2 载流线圈与磁矩
载流线圈在均匀磁场中的受力
• 载流线圈在均匀磁场中受合力为零
r r r r r F = ∫ Id l × B = I ( ∫ d l ) × B = 0 r Q ∫ dl = 0
注意：整个环流合力为零，但线圈的每一部分导线 的受力不为零。 物理图像：环流可以等效为无数等量反向平行的电 流元对，每一电流元对的受力方向相反，所以合力 为零
B
I = nqv ⋅ bd
UH
IB = EH b = nqd
v E H
b
d
I
注意：载流子电荷的符号不同，霍尔电场的方向也不同
§4.2电流的磁场
• 电流元的磁场 • 磁场的叠加原理 • 电流磁场的计算和例题
稳恒电流元的磁场：毕奥-萨伐尔定律
v v μ 0 Idl × r ˆ 实验 dB = 定律： 4π r 2
v dB
P v
r
v Idl
I
Jean-Baptiste Felix Savart Biot( 1774(1791-1841) 1862 )法国 法国
（定律的发现过程参看《电磁学》陈秉乾， 王稼军，北京大学出版社，P.126-128）
• 真空磁导率： μ 0 = 4π × 10 −7 N / A 2是基本物理常数
实际对 电荷q：
v v μ 0 qv ˆ ×r B= 4π r 2
成立条件：(1)v<<c（相对论效应 可以忽略）(2)匀速直线运动，没 有加速度（则没有电磁辐射）
• 一般匀速条件下：（式中θ是ｖ和ｒ的夹角）
v2 1− 2 v μ0q v c ˆ) B= ( v ×r 3 2 2 4πr v (1 − 2 sin 2 θ ) 2 c
v dF
v B
• 微观解释：
v v l // v ⇒ dl ⋅ v = d l ⋅ v I = nqv ⋅ dS
– 安培力的本质是载流子受的洛伦兹力 – 设电流元中载流子数密度n，平均速度为v， 电流元截面积dS dS v v v d F = n ⋅ dSdl ⋅ q v × B v v
dl
v v v d F = Id l × B
θ
o
代入上式
v r
r0
z = − r0 ctg θ
r dz = 02 dθ sin θ
r r= 0 sin θ
I
A1
θ1
v dB p
v v μ0 I θ2 μ0 I ˆ ˆ ϕ ∫ Sin θ ⋅ dθ = B = ∫ dB = (cos θ 1 − cos θ 2 ) ⋅ ϕ 4π r0 θ1 4π r0
例：均匀磁场中半圆恒流导线受力
• 如图所示均匀磁场平行于半圆所在平面 oxy平面，和半圆两端连线的夹角为θ； y 设半圆半径为R〕
(b ) v v ⎛ (b ) v v ⎞ v F = ⎜ ∫ Id l × B ⎟ = I ( ∫ d l ) × B ⎟ ⎜ (a) ⎠ ⎝ (a) v ˆ = I ab × B = 2 IRB ⋅ Sin θ ⋅ k
l
平面载流线圈受均匀磁场的力矩(1)
• 为计算简单，分析平面载流线圈，均匀磁场。 • 先考虑平行于线圈平面的磁场。 • 如图用平行于磁场的线将线圈划分为无数宽为 dh的窄条，考虑线圈被截取部分的受力：
z
dh
o
x
v dl2
v dF2
v M
v dL
r
I
v dF1
v d l1
v B
y
v v v ˆ d F1 = Id l1 × B = − IBdh k v v v ˆ d F2 = Id l 2 × B = IBdh k
小线圈受的力矩
• 在均匀磁场中，已经证明：
v v v L = M ×B
• 在非均匀磁场中，若考虑小线圈比较 小，周围磁场的变化可以忽略，则仍可 以用上式计算力矩。 • 受力矩的结果是使线圈转动，转动的趋 势是使磁矩和磁场的方向相同： r
v F v B
r M
v F v F
v B
r M
v B
I
v v B v F F
I
I
I
v F
v F
v r F M
M和B同向时，合力指向B增 大的方向，
r M
M和B异向时，合力指向B减 小的方向
• * 非均匀磁场中小线圈的受力 v v v
F = (M ⋅ ∇)B
贾起民《电磁学》上册,复旦大学出版社,1987, P.385
平面载流线圈受均匀磁场的力矩(2)
• 垂直于线圈的磁场对线圈的作用力位于线圈平 面内，对线圈合力矩为零。
– 将线圈等效为无数大小相等方向相反的电流元对， 电流元对的受力大小相等，方向相反，且在同一条 直线上，故合力矩为零。
• 任意均匀磁场可以分解为垂直和平行线圈平面 的分量。由于垂直线圈的磁场对线圈的力矩为 零，故任意均匀磁场对平面载流线圈的力矩为：
μ 0 jσ Bz = − 4π
∫β
β2
1
Sin β d β ∫
2π
0
dϕ =
μ 0 jσ
2
(cos β 2 − cos β 1 )
dS v jσ
v jσ
v μ j ˆ B轴线 = 0 σ (cos β 2 − cos β 1 ) ⋅ k 2
v ˆ B轴线 = μ 0 jσ k 无限长柱面：
• 另解：也可将柱面电流看成无数环流构成，先求环流 在O点的磁场，再积分。
在速度远小于ｃ的情况 下，退化为低速电荷的 磁场的表示式。
磁感应强度的叠加原理
v v B = ∑ Bi
i
v v B = ∫ dB
I
线电流微元的磁场 v v μ 0 Idl × r ˆ dB = 4π r 2 面电流微元的磁场： v v μ 0 jσ × r ˆ dB = dS 2 4π r
v r dB v
UH = k IB (d是板的厚度，如图示；K称霍尔系数) d
E.H. Hall (1855-1938)美国
qE H = qvB
– 解释：导体中的运动电荷受洛伦兹力作用而侧向移 动，在导体侧面出现载流子积累，在导体中形成了 侧向电场，电荷不断积累 ，直至此电场对体内运动 电荷的电场力足以平衡其所受的洛伦兹力。 积累的电荷 – 如图所示情况(设载流子为正电荷) v
d L = − IBr ⋅ dh iˆ = − IBdS iˆ
两个力构成力偶，它们 对任一点的力矩为： v
dS近似为窄条的面积 v v 总力矩为： L = ∫ d L = − IB iˆ ∫ dS = − IBS iˆ v v v v 总力矩可以改写为： L = M × B ˆ 定义为磁矩 M = IS n