dS
穿过任意表面S的电流等于电流密度矢量穿过这个表面的 穿过任意表面 的电流等于电流密度矢量穿过这个表面的 v v 通量， 通量，即
I = ∫ J ⋅ dS
S
3、电流密度和电场强度之间的关系 、 对于均匀截面的导体， 对于均匀截面的导体，有
R = L γS
γ为电导率，单位是 为电导率， 为电导率 S/m（西/米）。 （ 米
dl dU = dI γdS
v v v v dl E ⋅ dl = J ⋅ dS γdS
v v J = γE
——欧姆定律的微分形式 欧姆定律的微分形式
适用范围：对恒定电场或非恒定电场均适用。 适用范围：对恒定电场或非恒定电场均适用。 4.1.2 电动势 为维持导体中的恒定电流，必须依靠外电源。 为维持导体中的恒定电流，必须依靠外电源。 把电源中 v 能将正负电荷分离开来的非静电力 Fe 称为局外力，作用于单 称为局外力， 局外力 v 设想为一等效场强，称为局外场 位正电荷上的局外力 Fe / q 设想为一等效场强，称为局外场 v 其方向由电源的负极指向正极 只存在于电源内部 由电源的负极指向正极， 电源内部。 强 Ee ，其方向由电源的负极指向正极，只存在于电源内部。 电源的电动势表示为 + + v v Ee E
I 20 20 J= = = × 106 A / m 2 S π (0.002 / 2) 2 π
20 ×10 / π E= = = 0.2 V / m 8 γ 10 / π J
6
6
v 2 v 2 v 2 v 例2 已知电流密度矢量 J = 10 y zex − 2 x ye y + 2 x zez A / m 2 ，
正方向规定为正电荷运动的方向，或是自由电子运动的反方向。 正方向规定为正电荷运动的方向，或是自由电子运动的反方向。 正电荷运动的方向 自由电子运动的反方向
v 表示电流在导体内分布的矢量——电流密度 J 电流密度 表示电流在导体内分布的矢量
场中某点电流密度矢量的大小等于与该点的电荷运动方向垂直 的单位面积上的电流强度，其方向是该点正电荷运动的方向， 的单位面积上的电流强度，其方向是该点正电荷运动的方向， dI 即 J= 单位： 单位：A/m2(安/米2) 安米 2
试求： ）穿过面积x=3，2≤y≤3，3.8≤z≤5.2，沿 试求：1）穿过面积 ， ， ， 流。 2）在上述面积中心处的电流密度。 ）在上述面积中心处的电流密度。 解：1） ）
v ex 方向的总电
v v dS = dydzex v v v 2 v 2 v 2 v J ⋅ dS = (10 y zex − 2 x ye y + 2 x zez ) ⋅ dydzex
= 10 y 2 zdydz
I = ∫ 10 y dy ∫ zdz = 399 ( A)
2 2 3.8
3
5.2
v 2）中心点的位置坐标为 ）中心点的位置坐标为x=3，y=2.5，z=4.5，代入 J 的 ， ， ，
表达式即得
v v v v J = 281.25ex − 45e y + 81ez ( A / m 2 )
γ
v v J E
v v 由电流密度的定义， 由电流密度的定义，有 dI = J ⋅ dS v v 由电压的定义， 由电压的定义，有 dU = E ⋅ dl
横截面均匀的 柱形导体
在任意长为dl，截面积为 的导体上 利用欧姆定律U=IR 的导体上， 在任意长为 ，截面积为dS的导体上，利用欧姆定律
3
v v 的法线方向， 因为 dl 的方向就是dS 的法线方向，所以
作业： 作业：P89 4.1 4.3
8
v v v v E + Ee = 0 Ee = − E + v − v v v + v v e = ∫ Ee ⋅ dl = ∫ (− E ) ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl =U 端电压 +
（电源内） 电源内）
−
−
电源内） （电源内）
基尔霍夫电压定律
5
直径为2mm的导线，如果流过它的电流为 的导线， 例1 直径为 的导线 如果流过它的电流为20A，且电流 ， 密度均匀，导体的电导率为10 密度均匀，导体的电导率为 8/πS/m。求导线内部的电场强 。 度。 由于电流密度均匀， 解： 由于电流密度均匀，所以有
4
v v e = ∫ Ee ⋅ dl
电源内） （电源内）
−
+
v v e = ∫ Ee ⋅ dl
电源内） （电源内）
−
+
即把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时， 即把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，局外 v 所作的功。此时，在电源内部， 电场 Ee 所作的功。此时，在电源内部，欧姆定律的微分 形式改为 v v v + J = γ (E + Ee ) + v v Ee E 电源端电压与电动势之间的关系： 电源端电压与电动势之间的关系： 假设电源内阻为零，则电导率为无穷大， 假设电源内阻为零，则电导率为无穷大，此时
第四章 恒定电场
4.1 电流密度和电动势 4.2 恒定电场的基本方程和边界条件 4.3 恒定电场与静电场的相似对比 4.4 球形接地极和点源 4.5 镜像法 4.6 接地极附近的跨步电压
前 言
静电场——相对于观察者静止、且其电量不随时间变化 相对于观察者静止、 静电场 相对于观察者静止 的电荷所产生的电场。 的电荷所产生的电场。 此时，在静电场中的导体处于静电平衡状态， 此时，在静电场中的导体处于静电平衡状态，导体中 v ，电荷都分布在导体的表面，为一等位体。 E =0，电荷都分布在导体的表面，为一等位体。 如果将导体与直流电源的正、负极板相连接， 如果将导体与直流电源的正、负极板相连接，则因两电极 间的电位差在导体中形成电场， 间的电位差在导体中形成电场，该电场驱使导体中的自由 电子在电场力作用下作持续的定向运动，即呈现恒定电流， 电子在电场力作用下作持续的定向运动，即呈现恒定电流， 或者说，在导体中建立了电流场。它不随时间而变化， 或者说，在导体中建立了电流场。它不随时间而变化，故 被称为恒定电场，与静电场一样同属于静态电场。 被称为恒定电场，与静电场一样同属于静态电场。 v 但是， 但是，导体中E ≠0，它不再是等位体。除了导体中有电场外， ，它不再是等位体。除了导体中有电场外， 导体表面的电荷也在空气（或其它介质）中产生电场， 导体表面的电荷也在空气（或其它介质）中产生电场，该电 场满足静电场的基本方程。 场满足静电场的基本方程。
7
v v 问答题：在恒定电场中， 问答题：在恒定电场中，局外电场 Ee 和库仑电场 E 是否
都满足无旋 满足无旋场的条件
v v ∫ E ⋅ dl = 0
v 而局外电场 Ee 不满足无旋场的条件
l
v v ∫ Ee ⋅ dl = e ≠ 0
l
1
4.1 电流密度和电动势
4.1.1 电流和电流密度 1、电流 、 在导体内任取一个面，单位时间内穿过这个面的电量， 在导体内任取一个面，单位时间内穿过这个面的电量， 称为这个面上的电流强度，简称为电流 电流。 称为这个面上的电流强度，简称为电流。
dq I= dt
2、电流密度 、
单位： 安培 安培) 单位：A(安培